1、8 2 信 号 的 采 样 和 复 现 的 数 学 描 述一 、 采 样 过 程所 谓 理 想 采 样 ， 就 是 把 一 个 连 续 信 号 )( te ， 按 一 定 的 时 间 间 隔 逐 点 地 取 其 瞬 时 值 ， 从 而 得到 一 串 脉 冲 序 列 信 号 )( te*。 可 见 在 采 样 瞬 时 ， )( te*的 脉 冲 强 度 等 于 相 应 瞬 时 )( te 的 幅 值 ， 即)0( Te , )1( Te , )2( Te , )( n Te ， 如 图 8 8 所 示 。 因 此 ， 理 想 采 样 过 程 可 以 看 成 是 一 个 幅 值 调 制 过 程 ，
2、如 图 8 9 所 示 。 采 样 器 好 比 是 一 个 幅 值 调 制 器 ， 理 想 脉 冲 序 列 )( tTd 作 为 幅 值 调 制 器 的 载 波 信 号 ， )( tTd的 数 学 表 达 式 为=-nn T )-( t)( dd tT( 8 1 )其 中 =n 0 , 1 , 2 ,)( te 调 幅 后 得 到 的 信 号 ， 即 采 样 信 号 )( te*为- =*-=nTn Tttettete )()()()()( dd ( 8 2 )通 常 在 控 制 系 统 中 ， 假 设 当 0t 时 ， 信 号 0)( =te ， 因 此L+-+-+=*)2()2()()()
3、()0()( TtTeTtTetete dddL+-+ )()( n Ttn Te d ( 8 3 )或=*-=0)()()(nn Ttn Tete d ( 8 4 )式 ( 8 4 )为 一 无 穷 项 和 式 ， 每 一 项 中 的 )( n Tt -d 表 示 脉 冲 出 现 的 时 刻 ； 而 )( n Te 代 表 这 一 时 刻 的 脉 冲 强度 。式 ( 8 2 )或 ( 8 4 )表 示 了 采 样 前 的 连 续 信 号 与 采 样 后 的 离 散 信 号 之 间 的 关 系 。 然 而 ， 一 个 值 得 提 出 的 问题 是 ： 采 样 后 的 断 续 信 号 能 否 全
4、 面 而 真 实 地 代 表 原 来 的 连 续 信 号 呢 ? 或 者 说 它 是 否 包 含 了 原 连 续 信 号 的 全部 信 息 呢 ? 因 为 从 采 样 (离 散 化 )过 程 来 看 ，“ 采 样 ” 是 有 可 能 会 损 失 信 息 的 。 下 面 我 们 将 从 频 率 域 着 手 研 究这 个 问 题 。二 、 采 样 信 号 的 频 谱假 设 连 续 信 号 )( te 的 富 氏 变 换 式 为 )( wjE ， 采 样 后 信 号*( )e t 的 富 氏 变 换 式 用*( )E j w 表 示 ， 下 面 我们 来 看 )( wjE*的 具 体 表 达 式 。
5、由 于 理 想 脉 冲 序 列 )( tTd 是 一 个 周 期 函 数 ， 其 周 期 为 T ， 因 此 它 可 以 展 开 成 指 数 形 式 的 富 氏 级 数 ， 即- =ntj nTseTtwd1)( （ 8 5 ）其 中 Tspw 2= 为 采 样 角 频 率 。将 式 ( 8 5 )的 结 果 代 入 ( 8 2 )式 得- =*=ntj nTseteTttetewd )(1)()()( （ 8 6 ）根 据 复 位 移 定 理 ； 若 ( ) ( )F e t E j w= ， 则 ( ) ( )a tF e t e E j aw= m因 此 ， 式 ( 8 6 )的 富 氏
6、 变 换 式 为- =*-=nsj njETjEteF )(1)() ( www ( 8 7 )假 定 连 续 信 号 )( te 的 频 谱 如 图 8 1 0 ( a )所 示 ，则 根 据 式 ( 8 7 )可 得 采 样 (离 散 )信 号 )( te*的 频 谱 如 图 8 1 0 ( b )所 示 。由 图 8 1 0 ， 可 得 到 如 下 结 论 ：( 1 ) 0=n 的 项 为 )(1wjET， 通 常 称 为 基 本 频 谱 。 它 正 比 于 原 连 续 信 号 )( te 的 频 谱 。( 2 ) 同 时 派 生 出 以sw 为 周 期 的 ， 无 限 多 个 高 频
7、频 谱 分 量 )(1sj njETww - ， 其 中 =n 1 ， 2 , 。 h以 上 表 明 了 连 续 信 号 与 它 所 对 应 的 离 散 信 号 在 频 谱 上 的 差 别 。 从 富 氏 变 换 及 其 反 变 换 的 有 关 定 理 可知 ， 在 一 定 条 件 下 ， 原 函 数 )( te 与 其 富 氏 变 换 式 )( wjE 是 一 一 对 应 的 ， 亦 即 由 富 氏 变 换 式 )( wjE 可 以 唯一 地 还 原 成 原 函 数 )( te 。 可 以 设 想 ， 如 果 让 采 样 信 号 通 过 一 个 图 8 1 1 所 示 的 理 想 滤 波 器
8、 ， 将 所 有 派 生 出来 的 高 频 分 量 全 部 滤 掉 ， 而 同 时 保 留 其 基 本 频 谱 信 号 。 那 么 经 过 这 样 处 理 后 的 信 号 ， 只 要 将 其 幅 值 放 大 T倍 ， 就 能 完 全 重 现 原 信 号 。由 图 8 1 0 不 难 看 出 ， 要 想 完 全 滤 掉 高 频 分 量 ， 筛 选 出 基 本 频 谱 ， 从 而 根 据 采 样 信 号 )( te*来 复 现 采样 前 的 连 续 信 号 )( te ， 采 样 频 率sw 必 须 大 于 或 等 于 连 续 信 号 )( te 频 谱 中 最 高 频 率m a xw 的 两 倍
9、 ， 即m a x2 ww s( 8 8 )这 就 是 有 名 的 香 农 ( S h a n n o n )采 样 定 理 。 这 一 定 理 告 诉 我 们 ， 只 要 采 样 频 率 足 够 高 ， 我 们 完 全 不 必 担 心 采 样过 程 会 损 失 任 何 信 息 。由 图 8 1 0 也 可 看 出 ， 若 采 样 频 率 不 够 高 ， 即m a x2 ww s时 ， 则 将 会 出 现 如 图 8 1 2 所 示 的 频 谱 重叠 现 象 。 很 明 显 ， 这 时 ， 我 们 就 无 法 再 把 基 本 频 谱 和 派 生 高 频 频 谱 分 开 ； 从 而 ， 也 就
10、无 法 重 现 原 信 号 ， 或者 说 ， 采 样 过 程 将 损 失 信 息 。 另 外 ， 需 要 指 出 的 是 ， 如 图 8 1 1 所 示 的 理 想 滤 波 器 ， 实 际 上 是 不 存 在 的 。因 此 在 工 程 上 ， 通 常 采 用 性 能 与 理 想 滤 波 器 相 近 似 的 低 通 滤 波 器 ， 其 中 最 常 用 的 低 通 滤 波 器 就 是 零 阶 保 持器 。三 、 零 阶 保 持 器 的 数 学 模 型零 阶 保 持 器 的 输 入 、 输 出 关 系 如 图 8 1 3 所 示 。 因 此 ， 零 阶 保 持 器 的 作 用 是 在 信 号 传 递
11、 过 程 中 ， 把 第n T 时 刻 的 采 样 信 号 值 一 直 保 持 到 第 Tn )1( + 时 刻 的 前 一 瞬 时 ， 把 第 Tn )1( + 时 刻 的 采 样 值 一 直 保 持 到Tn )2( + 时 刻 ， 依 次 类 推 ， 从 而 把 一 个 脉 冲 序 列 )( te*变 成 一 个 连 续 的 阶 梯 信 号 )( teh。 因 为 在 每 一 个 采样 区 间 内 )( teh的 值 均 为 常 值 ， 亦 即 其 一 阶 导 数 为 零 ， 故 称 为 零 阶 保 持 器 ， 可 用 “ Z O H ” 来 表 示 。如 果 把 阶 梯 信 号 )( t
12、eh的 中 点 连 起 来 ， 则 可 以 得 到 与 )( te 形 状 一 致 而 时 间 上 迟 后 半 个 采 样 周 期 )2( T的 响 应 曲 线 )2(Tte - ， 如 图 8 1 3 中 的 虚 线 所 示 。 由 此 也 可 初 步 估 计 到 零 阶 保 持 器 对 于 系 统 动 态 性 能 的 影响 。为 了 求 取 零 阶 保 持 器 ( Z O H )的 数 字 模 型 ， 可 以 从 图 8 1 3 中 任 取 一 个 采 样 周 期 来 进 行 分 析 。 零 阶 保 持器 的 输 入 是 脉 冲 函 数 ， 为 了 叙 述 方 便 ， 假 设 脉 冲 强
13、度 为 1 ， 即 为 单 位 脉 冲 函 数 ， 于 是 零 阶 保 持 器 的 输 出 就是 单 位 脉 冲 过 渡 函 数 ， 该 单 位 脉 冲 过 渡 函 数 的 拉 氏 变 换 式 ， 即 为 零 阶 保 持 器 的 传 递 函 数 。零 阶 保 持 器 的 单 位 脉 冲 过 渡 函 数 的 图 形 是 高 度 为 1 ， 宽 度 为 T 的 矩 形 波 ， 如 图 8 1 4 ( a )所 示 。 为 了 求其 拉 氏 变 换 式 ， 可 以 把 它 分 解 成 两 个 阶 跃 函 数 之 和 ， 如 图 8 1 4 ( b )所 示 。 于 是 ， 脉 冲 过 渡 函 数 可
14、 表 示 为)(1)(1)( Tttty -=相 应 的 拉 氏 变 换 式 为seesssYT sT s-=-=111)(这 就 是 零 阶 保 持 器 的 传 递 函 数 ， 即sesGT sh-=1)( ( 8 9 )而 零 阶 保 持 器 的 频 率 特 性 为22)2s i n(1)( TTTTjejGTjhwwwwww-=-=-其 频 率 特 性 曲 线 如 图 8 1 5 所 示 。 与 理 想 滤 波 器 图 8 1 1 相 比 较 ， 可 见 ， 两 者 都 能 起 低 通 滤 波 作 用 。 不 过零 阶 保 持 器 的 频 率 特 性 不 很 理 想 。 信 号 经 过
15、零 阶 保 持 器 以 后 ， 其 高频 分 量 不 能 完 全 滤 掉 。 此 外 ， 零 阶 保 持 器 具 有 2Tw 的 相 角 迟 后 。因 此 ， 零 阶 保 持 器 的 引 入 将 会 使 系 统 的 稳 定 性 变 差 。零 阶 保 持 器 的 一 个 优 点 是 ， 可 以 近 似 地 用 无 源 网 络 来 实 现 。 如果 将 零 阶 保 持 器 传 递 函 数 中 的T se 项 展 开 成 幂 级 数 ， 并 取 前 两 项 ，则 有111111111)(+=+-=-=-T sTT ssessesGT sT sh这 是 就 图 8 1 6 所 示 R C 网 络 的 传 递 函 数 。
