1、March 22, 2019,1,第三章 薄板理论,March 22, 2019,2,第一节 薄板的基本概念及基本假定平板是以两个平面为界，且两平面之间的距离远较其它尺寸为小的物体，此两平面之间的距离为平板的厚度S，与两平面等距离的中间面叫做平板的中面，参考坐标系位于中面内。,March 22, 2019,3,March 22, 2019,4,研究平板时，常把平板分为薄板与厚板。所谓薄板是指板的厚度S与板面最小尺寸之比相当小的平板，其定义范围一般为0.01 0.2 以区别于薄膜与厚板。 平板的形式很多,有方形、矩形、圆形、椭圆形等多种。对于圆形薄板，其定义范围是指板的厚度与其直径之比在上述范围
2、之内，即0.01 0.2,March 22, 2019,5,（1）中性面假设：板弯曲时，中面保持中性，即板中面内各点只有垂直位移w，无平行于中面的位移，即 ， 。 （2）直法线假设：弯曲变形前垂直于薄板中面的直线，变形后仍为直线，且长度不变，仍垂直于弹性曲面。由此可知，板中面内任何点处的剪应变 、 应等于零。 （3）不挤压假设：薄板各层纤维在变形前后均互不挤压，即垂直于板面的应力分量 和应变分量 略去不计。,上述假定统称为克希霍夫（Kirchhoff）假定。,弹性薄板小挠度理论的基本假设,March 22, 2019,6,第二节 圆板的轴对称问题 在化工设备中，应用最多的是受轴对称载荷的圆形薄
3、板，简称圆板。圆板的轴对称问题，采用圆柱坐标系（ 、 、 ）。,q,q,q,x,March 22, 2019,7,为了求得圆板在q(r) 作用下的各内力素，用相距d的两个圆柱面，夹角为d的两个径向平面，沿板厚截取一微小六面体abcd。作用在圆柱面沿中面单位长度上的径向弯矩；作用在径向平面沿中面单位长度上的周向弯矩；作用在圆柱面沿中面单位长度上的横向剪力。,March 22, 2019,8,（一）平衡方程 由微元六面体的空间力系，根据平衡条件，可列出六个平衡方程，其中自然满足，只能得到下列两个平衡方程,March 22, 2019,9,q,q,q,x,March 22, 2019,10,q,q,
4、x,March 22, 2019,11,沿z轴方向力的平衡方程 展开合并，略去高阶微量，得即 （3-1） 沿x轴方向力矩的平衡方程 因为d 是个小角度， ，略去高阶微量， 即 （3-2）,March 22, 2019,12,（二）几何方程 圆板受轴对称横向载荷后，其基本变形特点呈双向弯曲，即径向弯曲和周向弯曲，中面弯曲成以对称轴为旋转轴的回转曲面，仍保持中性。,（a）圆板中面的变形 （b） （a）中部放大图 图3-3 受轴对称载荷圆板的几何变形,March 22, 2019,13,1中面变形 根据基本假设（1），变形后，中面成回转曲面且仍保持中性，中面的径向应变和周向应变为零，即,March
5、22, 2019,14,2离中面距离为z处的变形 根据基本假设（2），变形前过m、n两点的1-1和2-2平面均垂直于中性面，变形后为1-1 和2-2，仍保持平面且垂直于中面，只是分别转过了角度 和 。这里有两个方向的变形： （1）径向变形 变形前m、n两点间距离即微线段长度mn为dr ，变形后微线段mn变为mn= 则离中面距离为z处的径向应变为（b）,March 22, 2019,15,2）周向(环向)变形 变形前过m点的圆周，其周长为2 ，变形后此圆周为过m点的圆周，其周长为2 ，则离中面距离为 处的周向(环向)应变为 （c）将式（a）代入式（b），（c），得（3-3）,March 22,
6、2019,16,March 22, 2019,17,（三）物理方程 根据基本假设（3）， ，圆板上任意一点均处于二向应力状态。在平面应力状态下，由广义虎克定律，圆板轴对称问题的物理方程为或 (3-4)式中，为圆板材料的弹性模量和泊松比。,March 22, 2019,18,板内二向应力 ， 均为 的函数，且沿板厚线性分布。在中性面 z = 0处， = =0；在板的上、下表面 = 处，两向应力分别达到最大值，其应力为（3-5）,March 22, 2019,19,（四）圆板轴对称弯曲的挠度微分方程微元体由取径向平面上中面线段ab，cd及同心圆柱面上中面线段ac，bd均为单位长度。,March 2
7、2, 2019,20,在ac面上作用径向应力 ，离中性面为 处取微小条d ， 其上作用的力为 ，所引起的力矩在ac面上作用的总力矩为（f）,March 22, 2019,21,在cd面上作用环向应力 ，离中性面为 处的微小条dz 上作用的力为， 所引起的力矩, 为 在cd面上作用的总力矩为,March 22, 2019,22,（3-4）代入式（f），（g），并积分得（3-6）式中 为板的抗弯刚度。 比较式（3-）与式（3-6），可得(3-7-a）,March 22, 2019,23,如图3-5所示板内应力分布，沿板厚应力分量的最大值发生在上、下板面（ ）处，其值为（3-7-b）,图3-5应力分
8、布图,March 22, 2019,24,上式可改写为直接积分形式：（3-） 将平衡方程式（3-1）代入上式，得（3-9） 或（3-10） 上式为圆板轴对称弯曲的挠度微分方程.,March 22, 2019,25,March 22, 2019,26,圆板轴对称弯曲的小挠度微分方程,March 22, 2019,27,求解圆平板弯曲应力的基本步骤,March 22, 2019,28,承受均布载荷的圆平板，即 常数。取分离体，由静力平衡条件，可确定离板中心距离为r处圆柱形截面上的剪力 为（3-11） 代入式（3-8），得,二、受均布载荷圆平板的应力分析,March 22, 2019,29,经连续积
9、分，得中面弯曲后转角和挠度的一般解为 （3-12-a） （3-12-b） 式中 均为积分常数，可由板的边界条件确定。,March 22, 2019,30,对于实心圆平板，在板中心 = 0处的挠度w为有限值，因此必须 ，则上述解为,C1, C3 由圆板周边条件确定。,(3-13),(3-14),March 22, 2019,31,（一）周边固支实心圆板 周边固支实心圆板，其边界条件为：， = 0，w = 0 边界条件 代入式（3-13）联立求解上述二个方程，,March 22, 2019,32,将 代入（3-13）式，得周边固支实心圆板在任意半径处的挠度和转角表达式（3-15-a）（3-15-b
10、） 由此可知，最大挠度发生在板中心 = 0处（3-16）,March 22, 2019,33,将C1代入式（3-14），得周边固支实心圆板在任意半径处的弯矩表达式（3-17）将式（3-15）代入式（3-4），得周边固支实心圆板在任意半径处的应力表达式（3-18）,March 22, 2019,34,由此，在板中心 r = 0处在板边缘 处可见，最大弯矩为板边缘处的径向弯矩，相应的最大应力为板边缘上、下表面处的径向应力，即（3-19）（3-20）,March 22, 2019,35,周边固支圆平板应力分布,March 22, 2019,36,（二）周边简支实心圆板 周边简支实心圆板，其边界条件为
11、：代入（3-13），（3-14）式联立求解上述二个方程，得,March 22, 2019,37,代入式（3-13），得周边简支实心圆板在任意半径r处的转角和挠度表达式（3-21-a）（3-21-b）显然，最大挠度仍发生在板中心 处（3-22）,March 22, 2019,38,将C1代入式（3-14），得周边简支实心圆板在任意半径处的弯矩表达式（3-23）将式（-21）代入式（3-4），得周边简支实心圆板在任意半径处的应力表达式（3-24）,March 22, 2019,39,在板中心 处在板边缘 处可见，最大弯矩及相应的最大应力发生在板中心处，即（3-25）（3-26）,March 22,
12、 2019,40,周边简支圆平板应力分布,March 22, 2019,41,对比,March 22, 2019,42,薄圆平板应力特点,板内为二向应力 、 ，平行于中面各层相互之间的正应力 及剪力 引起的剪应力 均可予以忽略。正应力 、 沿板厚度呈直线分布，在板的上下表面有最大值，是纯弯曲应力。应力沿半径的分布与周边支承方式有关，工程实际中的圆板周边支承是介于两者之间的形式。薄板结构的最大弯曲应力 与 成正比，而薄壳的最大拉（压）应力 与 成正比，故在相同 条件下，薄板所需厚度比薄壳为大。,March 22, 2019,43,三、承受轴对称载荷的环板 （一）内外边缘受均布弯矩的环板 环形板内
13、外边缘承受均匀弯矩M1和M2。由于环板面上无分布载荷q(r)=0，则剪力Qr=0，因此挠度方程式对此方程积分两次，得（3-27-a）,March 22, 2019,44,再积分一次，得（3-27-b） 将w的表达式代入式（3-6），得（3-28）式中均为积分常数 ，可由板的边界条件确定。,March 22, 2019,45,由图3-9所示外周边简支的圆环板，边界条件为 , 代入式（3-27）, 式（3-28）联立求解上述方程组，解出积分常数为,March 22, 2019,46,积分常数代入式（3-27）, 式（3-28），可得环板转角、挠度和内力矩关系式 (3-29-a）(3-29-b)（3
14、-30）将式（3-30）代入式（3-7），可得环板应力分量表达式（3-31),March 22, 2019,47,1仅作用内边缘力矩 ， 时（3-32-a）（3-32-b）（3-33）（3-34）,March 22, 2019,48,2仅作用外边缘力矩 ， 时（3-35-a）（3-35-b） （3-36）（3-37）,March 22, 2019,49,3若仅作用外边缘力矩 ， 时，且 ，相当于周边简支受均布弯矩作用,March 22, 2019,50,（二）内边缘受均布横剪力的环板 如图3-11所示的环形板，内边缘受均匀横剪力 作用，设均布横剪力之总和为 ，板内任意半径 处的剪力 为代入式（
15、3-8），得,March 22, 2019,51,经连续积分，得中面弯曲后转角和挠度的一般解为（3-41-a）（3-41-b） 代入式（3-6），有,(3-42),March 22, 2019,52,均为积分常数，可由下列边界条件确定， ， ， ， 代入式（3-41）, 式（3-42）联立求解上述方程，可得,March 22, 2019,53,代入式（3-41）, 式（3-42），得（3-43-a）（3-43-b）（3-44-a）（3-44-b）,March 22, 2019,54,当孔半径 趋于零时， 也趋于零，则相当于实心圆板中心受集中载荷作用，如图-12所示，此时积分常数为将代入式（3-
16、41），得周边简支实心圆板中心受集中载荷作用挠度关系式（3-45）,March 22, 2019,55,（三）用叠加法求环板的应力和变形 1沿外边缘简支，内边缘固支，受集中载荷作用的环板 如图3-13（a）所示，其受力可以看作图3-9和图3-11两种环板的叠加。,March 22, 2019,56,其中作用在环板内边缘上的均布剪力，其合力等于集中力 ，即 ；作用在环板内边缘上的弯矩 ，可由环板内边缘转角为零的条件决定。 当 时，（3-46） 式中 ， 表示在 处由 引起的转角； 表示在 处由 引起的转角。,March 22, 2019,57,由式（3-32-a） 由式（3-43-a） 将 ， 代入式（3-46），得（3-47） 将分别作用环板内周边所得到的转角、挠度和弯矩叠加，可得到所示环板的转角、挠度和弯矩为 （3-48）,March 22, 2019,58,沿外边缘简支，板面承受横向均布载荷q的环板可以看成受均布载荷的实心圆板与内周边受均布弯矩和剪力的环板的解相叠加。,March 22, 2019,59,还有不少诸如此类的问题，可用下列公式归类，其最大应力和最大挠度分别表示为或 或 均布载荷集中载荷和 计算系数,表3-1,
