1、Computation Method,序 言,数值计算方法 能够做什么？ 课程的特点、方法及意义？,计算机解决实际问题的步骤建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算,在计算机上是否根据数学公式编程就能得到正确结果?,研究例子：求解线性方程组其准确解为x1 = x2 = x3 = 1,如把方程组的系数舍入 成两位有效数字,解为 x1 6.222.x238.25x333.65.,计算机运算速度极快是否就可以不考虑算法的效率?,用Grammer法则求解n元线性方程组 需计算 n+1个 n 阶行列式 用定义计算，需n!(n-1)(n+1)次乘法 当 n20时，总次数为9.710 20 10亿次秒
2、速度，需300多年。,数值分析研究的对象,计算方法又称：计算数学、数值方法、数值分析等。计算方法的分支有：最优化方法、计算几何、计算概率统计等。,研究数值方法的设计、分析和有关理论基础与软件实现。包括：方法的收敛性、稳定性及误差分析，及效率问题。,计算方法的内容,连续系统的离散化 离散性方程的数值求解,计算机能做什么？一般编程方法只能对具有一定数位的数进行四则运算 计算方法：怎样把数学问题的求解运算，归结为对有限数位的数的四则运算,课 程 特 点,面向计算机，根据计算机特点提供实际可行的有效算法。 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要进行误差分析
3、 要有好的计算复杂性(节省时间与存储空间)。 要有数据实验，证明方法行之有效。,主要方法简介,1. 离散变量与离散化 有些函数本来就是对自变量的离散值给出的，如实验数据表；但象y = sinx 或 y =ln x 等函数，本身是连续的，人们却把它们列成表，其中的x已经不再看成连续变量，而是每隔一定步长就跳跃取一个值的离散变量了。典型方法：微分方程数值解、数值积分反过来，也可以把离散的变量“联成”连续变量的函数，如“插值、最小二乘法”。,2. 函数逼近 用简单函数 y(x)近似代替函数 f(x) , 称为函数逼近。两者的差E(x) = f(x) - y(x)叫做逼近的误差或余项。在数值分析中 ,
4、 所谓的简单函数, 主要是指可用“四则运算”进行计算的函数，一般是有理函数式；最简单的是多项式。除了选择逼近函数类外，逼近方法的选择同样重要。常用的典型方法：插值法 一致逼近 均方逼近,3. 迭代法 重要方法之一。除了用于求方程的根及方程组的解之外，也是求解微分方程的主要方法。收敛速度是衡量迭代法的一个重要准则，而迭代一步所用的计算量也常作为一个衡量标准，但二者得到的结果往往是矛盾的。,计算机中数的计算特点: 1. 加法先对阶, 后运算, 再舍入 2. 乘法先运算, 再舍入 3. 不在计算机数系中的数做四舍五入处理,例如: 在四位浮点十进制数的计算机上计算1+ 104 解: 1+ 104 =0
5、.1000 101+ 0.1000 105 = 0.00001 105 + 0.1000 105 (对阶)= 0.10001 105 = 0.1000 105 = 104,1、模型误差 2、观测误差 3、截断误差 4、舍入误差,误 差 的 来 源,绝对误差：e = x* x , x* 是准确数 x是近似数 绝对误差限 ：| e | = | x* x | 常表示为x = x* 或 x* x x* + 相对误差：er =(x* x)/x* , x* 是准确数, x是近似数 相对误差限 r：| er / x*| = | x* x |/| x*| r 相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异 例
6、:考虑 1. x* =10, x =11 e = 1 er= 0.12. x* =1000, x=1001 e = 1 er= 0.001,误 差 定 义,2019/3/22,15,有 效 数 字,用四舍五入得到的数都是有效数字。 有效数字越多, 误差越小, 计算结果越精确。,如果| e | = | x* x | 0.5 10-k 称近似数 x 准确到小数点后第k位 , 从这小数点后第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字.,四则运算的误差 绝对误差：e = x* x =x dx 相对误差：er =(x* x)/x* dx/x*= lnx 利用这个关系可以讨论四则运算的误差和函
7、数的误差,定理：(有效数字与相对误差限的关系)若近似数 x = 0.a1 a2a t10m ( )有n位有效数字，则其相对误差限为： r (12a 1 )10 (n-1)反之，若 x 的相对误差限 r 1(2a 1+1 )10 (n-1) 则 x 至少有n位有效数字。,问题的敏感性,对于一个问题，所使用的数据集记作D，所得的解集为S，于是问题简记为Sf (D)。然而在实际中，使用的数据为D*且有一定误差，从而所得解集S*f (D*)也将不会精确地为S(不考虑输入误差及公式误差)。一个重要的问题是：当数据集D*很接近精确值D时，其解集是否也一定很接近精确解S呢？这就是“解对数据的敏感性”问题。定
8、义：对问题 f (*)，如数据集非常接近精确值D时，相应解集S* f (D*)也非常接近精确解S f (D)，则称问题 f (*)是良态的，或解对数据不敏感；否则，称f (*)是病态的，或解对数据敏感。,描述问题的敏感性，常采用“条件数”这一概念。对不同的问题，条件数的具体定义及计算也不尽一样。作为实例，后面将讨论求解线性方程组问题。例：多项式p(x)=(x-1)(x-2)(x-20)=x 20-210x 19 + 显然，它有20个精确零点1、2、3、20。但若其系数有一微小变化，其零点变化如何呢？仅考虑 x 19 的系数变化 2 -23 10 -7 ，即考察多项式p(x)+ 2 -23x 1
9、9 。现用2,t90的浮点系统(双精度)求其零点，(结果略)将产生10个复数零点，其中有两个离开实轴的距离超过2.8。需要指出，这种变化并不是由舍入误差引起，也不是计算公式造成，而是由问题本身对系数的敏感性决定的。求高阶多项式的零点问题往往是病态的。,对于良态问题，原则上讲可以求得满足精度要求的解。但输入误差不可避免，因而还应保证所使用的算法不会扩展误差在计算结果中的影响，否则计算结果仍不可信。定义：对于一个由多阶段运算组成的算法，若每经过一个阶段的运算，原有的初值误差或舍入误差的影响不增长，则称这个算法是数值稳定的。,算法的数值稳定性,例1：用5位有效数计算e 5. 5利用Taylor展式，
10、第26项后，每项的绝对值10-7，在取5位有效数时，不再对计算结果产生影响，故可取前25项进行计算。,e -5. 51.0000 -5.5000+15.125 27.730+0.0026363但精确值为0.00408677。其原因是进行了大数相减，损失了有效数字，使舍入误差的影响增强了。而若改为计算 0.0040865，其相对误差仅为0.07%, 基本准确。,例2：用3位有效数计算其中n=0, 1, 2, ,8由y n +5y n-1 =1/n, 得递推公式y n =1/n -5y n-1 易见，y 0 =ln6 ln50.182 ， y 1 =1 5y 00.0900y 2 =1/2 5y
11、10.0500, y 3 =1/3 5y 20.0830y 4 =1/4 5y 3- 0.165 ， ， y 8 =1/8 5y 7-131,然而，由y n 的表达式， y n0且。计算结果不正确。算法不是数值稳定的。可以改变算法： 显然不会造成误差增长。由于 ，可见，当n增大 时， y n 趋于 ，可取算出y 80.0185 ， y 70.0213 ， y 60.0243 ，y 50.0284 ， y 40.0343 ， y 30.0431 ，y 20.0581 ， y 10.0884 ， y 00.182,一、防止相近的两数相减(会耗失许多有效数字,可以用数学公式化简后再做)。 例1: 各
12、有五位有效数字的23.034与22.993相减。23.034 22.993=0.041 0.041只有两位有效数字,有效数字的耗失,说明准确度减小。因此,在计算时需要加工计算公式,以免这种情况发生。,数值计算中值得注意的问题,例2: 当x较大时,计算,二、防止大数吃小数.当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运算时,绝对值小的数有可能被绝对值大的数“吃掉”从而引起计算结果很不可靠。例: 求一元二次方程x2 (108 +1)x+108=0 的实数根.采用因式分解法,很容易得到两个根为x1=108,x2=1.如采用字长为16位的单精度计算机来计算,求得根为x1108 , x20。(怎样计算可得较好
13、的结果?)两者结果不同,因为计算机计算时做加减法要 “对阶”,“对阶”的结果使大数吃掉了小数，产生了误差。为了避免由于上述原因引起的计算结果严重失真,可以根据一些具体情况,存在需要把某些算式改写成另一种等价的形式。,四、注意计算步骤的简化,减小运算次数.简化计算步骤是提高程序执行速度的关键，它不仅可以节省时间，还能减少舍入误差。 例1：计算9255 的值，若逐个相乘要用254次乘法，但若写成9255 = 9 92 94 98 916 932 964 9128 只需做14次乘法运算即可。,三、防止接近零的数做除数分母接近零的数会产生溢出错误，因而产生大的误差，此时可以用数学公式化简后再做。此外，
14、如果分子分母数量级悬殊太大(分母很小)，同样会造成误差增大。,方程（组）求解问题总结,一、主要内容小结,(一)方程求根 有根判定：介值定理 初始近似值确定：搜索法(二分法) 不动点迭代法：考察f(x)=0, 变形构造等价方程确定迭代函数：x =(x), 并由此构造迭代格式： xk+1=(xk)所产生的序列xk，若收敛则为方程的根。所构造的迭代函数不同，对应不同的迭代法，其收敛性也有很大差异。,8,定理一：假定函数 满足下列条件：1. 对任意 有 ；(1.1)2. 存在正数 L1，使对任意 有(1.2) 则迭代过程 对于任意初值 均收敛于方程 的根 ，且有如下的误差估计式：(1.3),实用中(1
15、.2)式常用,13,定义1：如果存在 的某个邻域 ，使迭代格式 对于任意初值 均收敛， 则称迭代格式 在根 邻近具有局部收敛性。 定理二：设 为方程 的根， 在 的邻近连续，且 ， 则上述迭代格式在 邻近具有局部收敛性。,当迭代收敛时，收敛的快慢用收敛阶来衡量。 定义2：设迭代格式收敛于x*，并记误差为 若有常数p0和c0使得 ，则称迭代格式是 p 阶收敛的。,11,定理 三：对于迭代过程 , 如果 在所求根 的邻近连续，并且 (*) 则该迭代过程在点 邻近是p 阶收敛的。,迭代终止准则：,Newton迭代法若 ，则至少二次收敛,在一元方程解法中，最有效的是Steffensen迭代法和Newt
16、on法。前者不需要求导数，但不易推广到多元的情形，后者需要计算导数，但可直接推广到多元方程组。,(二)方程组直接解法 Gauss消元法 列(全)主元消元法 直接LU三角分解,直接LU三角分解 消元法及三角分解的可行性定理(条件) 定理1. 矩阵A的各项顺序主子式均不为0。 定理2. A对称正定。 定理3. A 为严格对角占优。,(三)方程组求解的迭代法 Jacobi迭代公式Gauss-Seidel迭代法,Jacobi迭代和GS迭代格式可表述为统一形式:对于其收敛性，我们有如下定理： 定理：对任意初始向量x(0)及任意右端向量 g，由此产生的迭代向量序列x(k)收敛的充要条件是,定理：若|B|1
17、, 则迭代法 收敛. 推论1：若 满足下列条件之一：(1),(2) (3) 则迭代法 收敛。推论2：如果A为严格对角占优阵，或弱对角占优且不可约，则其 Jacobi迭代和Seidel迭代对任意x(0)都收敛。推论3：如果A为对称正定阵，则其 Seidel迭代对任何初始向量x(0)都收敛。,误差与收敛速度问题：1. 误差公式2. |B|越小，收敛越快，且与x( 0)的选取无关。由于 (B)|B|，说明(B)越小，迭代法收敛越快。3. 定义：R(B)= -ln (B)，称为迭代法的渐近收敛速度,(四)方程组直接解法之误差分析 三种常用的向量范数：,三种常用的矩阵范数：,谱半径：设 nn 阶矩阵A的
18、特征值为 i(i=1, 2, 3n), 则称 (A)=max | i| 为矩阵A的谱半径.1 in矩阵范数与谱半径之间的关系：定理: (1) (A) |A|.(2)若ATA, 则 (A) |A|2,常用的条件数有：(1)(2)若A为对称，则cond (A)的几条性质：(1)若detA0, 则(2)若detA0, c0为常数，则cond (cA) = cond (A)(3)若A为正交阵，则cond (A)21。且对任意B及|B|0, 有cond (AB)2 cond (BA)2 cond (B)2,误差分析与估计 定理1 设Ax=b, detA0，b0, 且A与b均有扰动 A与 b，若A的扰动
19、A非常小，使|A-1| A|1, 则有事前误差估计式,定理2 设Ax=b, detA0，b0, 是方程的近似解，x是精确解，残差 ，则有事后误差估计式,函数插值总结,2019/3/22,44,插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用。在生产和实验中, 函数 f (x)或者其表达式不便于计算、复杂, 或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的且便于计算的函数 (x)，使其近似的代替 f (x)。有很多种插值法, 其中以拉格朗日(Lagrange) 插值和牛顿(Newton) 插值为代表的多项式插值最有特点, 常用的插值还有Hermit插值、分段插值和
20、样条插值。,一、基本知识,用代数多项式作为研究插值的工具，就是所谓的代数插值。对代数插值来说，问题的提法是这样的，当给出了n+1个点上的一张函数表后，要构造一个多项式(x)，满足下面两个条件：(1) (x)是一个不超过 n 次的多项式；(2) 在给定的点xi( i =0,1, ,n)上与 f (xi)取相同值，即 (xi)=yi (i=0,1, ,n)。我们称(x) 为 f (x) 的插值函数，点 xi 为插值节点。插值函数是计算方法的基本工具。若在a，b上用Ln(x)近似 f (x) , 则截断误差为 Rn(x)=f (x) -Ln(x) , 也称为插值多项式的余项。,一、Lagrange插
21、值多项式1. 线性插值,2. 抛物插值,定理1 假设x0 , x1, , xn 是n+1个互异节点, 函数 f (x)在这组节点的值 f (xk) (k =0, 1, , n)是给定的, 那么存在唯一的n 次次多项式pn (x)满足pn (xk) = f (xk), k=0, 1, , n 余项公式,二、差商及其性质 定义 给定一个函数表，记 类似于高阶导数，称一阶差商的差商 为 f (x)关于x i , x j , x k 的二 阶差商，记作f x i , x j , x k ,一般地， f (x)关于x 0 , x 1 , , x k 的k 阶差商，定义为定理: 差商具有如下性质 (1)差
22、商与函数值的关系为(2)差商的值与结点排列顺序无关,三、牛顿差商插值,因此，每增加一个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了 Lagrange插值的缺点。,必须注意, n 次代数插值问题的解是存在且唯一的，因此，Newton插值与Lagrange 插值只是形式上不同，若将它们按x的幂展开，所得的多项式是完全一样的。,定理：Newton插值多项式的余项为 Rn(x) = f x, x0, x1, xn (x)其中 (x) = (x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-xn),差 商 表x k f (x k) 一阶 二阶 三阶 四阶 x 0 f (x 0) x 1 f (x 1) f x
23、0,x 1 x 2 f (x 2) f x 1,x 2 f x 0,x 1,x 2 x 3 f (x 3) f x 2,x 3 f x 1,x 2,x 3 f x 0,x 1,x 2 , x 3 x 4 f (x 4) f x 3,x 4 f x 2,x 3,x 4 f x 1,x 2,x 3 , x 4 f x 0,x 1,x 2 , x 3, x 4,四、差分及其性质差商适用于任意节点的插值问题。当节点等距时，为进一步简化插值计算，引入差分的概念。设y=f (x)在等距节点x k =x 0+kh(k=0, 1, , n)上的函数值y k=f (x k)已知，步长h为常数。定义： 与 分别称
24、为f(x)在节点x k 处以步长h的一阶向前(后)差分。类似地，定义差分的差分为高阶差分。如二阶差分， 一般地，m阶差分为：，,此外，还可定义 f(x)在节点x k 处以步长h的向中心差分m阶中心差分为：向前差分表如下：,定理：差分与差商的关系,Newton向前插值公式：余项为：Newton向后插值公式：余项为：,定义： f(x) 在区间 a, b 上 n+1个互异节点 a=x0x1x2xn=b 定义在a,b上函数f(x) 在节点上满足 f(xi) = yi ， f (xi)=yi i=0, 1, 2, , n 求一个次数不高于2n+1次的插值多项式H(x)满足2n+2个条件H(xi) = y
25、iH (xi)= yi i=0, 1, 2, , n 若H(x)存在, 则叫函数f(x) 的Hermite插值多项式。因为 H(x)是一个次数不高于2n+1次的多项式, 常记为H2n+1(x).,五、 Hermit插值,函数逼近总结,一、内积与范数设点列xi , i=0 , 1, , m, 且a=minxi , b=maxxi。记f (x)Ca , b在点列 xi 处的值向量为f= f (x0), f (x1), , f (xm)T 离散意义下的内积定义为函数值向量的内积,其中wi 0为给定的权数。类似地，带权 wi 的欧氏范数即2范数为,一、基本知识,称为f(x)的带权 (x)的欧氏范数即2
26、范数。,权函数: 设a , b是有限或无限区间, (x)是定义在a , b上的非零可积函数，若其满足则称 (x)是a , b上的一个权函数。,设f(x), g(x)Ca , b, (x)是a , b上的一个权函数，称为f(x)与g(x)在为 a , b上以权函数 (x)的内积。,两种意义下的内积都满足可交换、齐次性、可加性、正定性。对连续函数和它的值向量使用同一记号。,若函数组 k(x) Ca ,b满足则称 k(x)为正交函数序列。,有了内积, 就可以定义正交性。若函数f(x), g(x) Ca ,b 的内积 (f , g)0, 则称两者正交。,正交的函数序列是线性无关的。正交性的概念和性质对
27、离散和连续型的内积都适用。离散型的正交性还意味着 k(x)的值向量组 k也线性无关。,二、离散点列上的正交多项式给定m+1个点xi及对应的权数wi , i= 0 , 1, , m。设有n+1个多项式 k= 0 , 1, , n, 其中 。若它们在点xi处的值向量 k = k(x0), k(x1), , k(xm)T 满足正交性则称 为在离散点列xi上的带权wi的正交多项式序列。,推论：三项递推公式其中：,正交多项式 k(x)的最高次项是xk , 称为首项系数为1 的多项式，简称首1多项式。显然有如下性质： 定理2：设 k(x)是由上述递推公式生成的正交多项式序列，则(1)任何k次多项式都可用
28、0(x), 1(x), , k(x) 的线性组合表示；(2) k+1(x)与任何不超过k次的多项式正交；(3)序列 0(x), 1(x), , n(x) 线性无关，从而是多项式子空间Pn=Span(1，x，x2 , , xn)的一组基。注：正交多项式可以不是首1的。对于给定的离散点及权数，首1的正交多项式序列是唯一的。,三、连续区间上的正交多项式定义：给定区间a , b和对应的权函数 ， 设有n+1个多项式 k=0 , 1, , n, 其中 。若它们满足正交性则 称为在a , b上带权 的正交多项式序列.,连续区间上的正交多项式序列也可用正交化方法构造，并由同样的三项递推公式。 此外，对定理2
29、中的性质及唯一性的结论，也同样成立。,定理3 设 n(x)是a , b上带权(x)的首项系数非0的n次正交多项式(n1), 则 n(x)的n个根都是单实根，并且分布在开区间(a , b)。,常见的正交多项式,勒让德多项式(Legendre) 切比雪夫多项式(Chebyshev) 拉盖尔多项式(Laguerre) 埃尔米特多项式 (Hermite),离散数据的曲线拟合,一、线性模型与最小二乘拟合当由实验提供了大量数据时, 不能要求拟合函数 在数据点 处的偏差, 即 (i=1, 2, , m) 严格为零, 但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势 , 需对偏差有所要求。通常要求偏差平方和最小,
30、 此即称为最小二乘原理。,定义：已知m+1对离散数据x i , y i和权数wi, 记,拟合模型 是待定参数 的线性函数， 故称之为线性最小二乘问题。注意到函数 (x)在离散点处的值,在连续函数空间Ca , b中选定 n+1 个线性无关的基函数 k(x)，并记它们张成的子空间为若有 使得则称 *(x)为x i , y i在子空间中带权wi的最小二乘拟合。,称之为正规方程(或法方程)。若记其中的系数阵为G , 向量 , 则正规方程可简记为： 。,矩阵G 称为格兰姆(Gram)矩阵，它是对称的。正规方程存在唯一解的必要条件是 | G |0。,定理： | G |0的充要条件是向量组 0 , 1 ,
31、, n 是线性无关。,当以x k为基的多项式作最小二乘拟合时，格兰姆矩阵G 的条件数很大，从而正规方程是病态的。实际经验表明，这种情况时有发生。正规方程的病态不是偶然的。事实上，当取权数wi=1时，G mHn+1(Hilbert阵)。为了避免多项式拟合时求解病态正规方程，一个可行的办法是在子空间,中寻找另一组基函数 k(x)，使得它们关于点列xi正交, 即向量组 k= k(x0), k(x1), , k(xm) 具有正交性,二、正交多项式拟合,这时，格兰姆矩阵为对角阵,从而正规方程简化为,它的解分量仅用简单的除法即可获得，即,所求的多项式拟合为,且有平方误差公式,函数的最佳平方逼近,有些函数由
32、于表达式较复杂而不易计算和研究，也需要用简单函数去近似，这是函数逼近所研究的问题。仍可采用最小二乘原理去解决。定义：设f (x) Ca , b， k(x) (k=0 , 1 , , m)为定义在a , b上的一组线性无关的连续函数。H=Span 0 , 1 , , m 。如果函数 (x)= a0 0(x) + a1 1(x) + + am m(x) 使得,其中w(x)为权函数, 则称 (x)为函数f (x)在H中关于w(x)的,最佳平方逼近函数。特别地, 如果 k(x) =x k(k=0 , 1 , , m), 则 (x)称为f (x)在a , b上关于w(x)的m次最佳逼近多项式。在具体问题
33、中, 权函数w(x) 是给定的 , 若无特别声明，则通常取w(x)1。与离散情形类似，由极值存在的必要条件，可得正规方程组 G a = d ，即,由于 0 , 1 , , m线性无关, G非奇异, 故解是唯一的。,如果取 k(x) (k=0 , 1 , , m)为 k 次多项式，且 0 , 1 , , m为a , b上关于权函数w(x)的正交多项式，则正则方程组的系数阵G为对角阵，g k=( k , k) , 方程组的解,数值积分总结,定义：若求积公式 , 对一切不高于m次的多项都准确成立，而对于m+1次多项式等号不成立，则称此公式的代数精度为m.代数精度越高，公式越精确。,代数精度的求法：从
34、(x)=1, x, x2, x3依次验证求积公式是否成立，若第一个不成立的等式是xm, 则其代数精度是m 1。,求积公式的一般形式：,一、基本知识,Newton-Cotes公式,下面分别考虑几种特殊请况。,柯特斯系数,（一）梯形公式,（二）辛卜生(Simpson)公式,定理： 由(n+1)个相异节点x0 、x1 、x n构造的求积公式的代数精度至少为n。,初步看来似乎n值越大，精确度越大。是不是 n 越大越好呢？答案是否定的。实际上, Newton-Cotes公式的系数在当n=8 时，公式系数为：989/28350， 928/28350， 4540/28350， 它的系数已出现负数，说明当n8
35、时，稳定性将得不到保证, 另一方面误差项中有高阶导数，一般地说， 难以进行误差估计。因此，在实际计算中，不用高阶的牛顿柯特斯求积公式, 一般我们只取n=1 , 2 , 3。,复化求积公式,从余项的讨论看到，积分区间越小，也可使求积公式的截断误差变小。因此，我们经常把积分区间分成若干小区间，在每个小区间上采用次数不高的插值公式，如梯形公式或抛物线公式，构造出相应的求积公式，然后再把它们加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。复化求积公式克服了高次Newton-Cotes公式计算不稳定的问题，其运算简单且易于在计算机上实现。 常用的复化求积公式是复化梯形公式和复化抛物线公式。
36、,复化梯形公式把区间a,b n等分，取节点xk=a+kh, k=0, 1, . , n, h=(a+b)/n, 对每个小区间xk , xk+1用梯形求积公式，在累加起来得：,内点,奇点,偶点,复化梯形公式、复化抛物线公式,（1）,复化抛物线Simpson公式令n=2m, m为正整数, 在每个小区间x2k-2 , x2k上用抛物线求积公式，有：,.（2）,梯形公式的逐次分半法将区间a , b分成n=2 m(m=0 , 1 , )等分，这时步长为hm=(b a)/2 m ，我们有,称之为梯形序列值。因为区间逐次减半，第 m 1次计算的节点是第m次计算时的偶数点，因此在计算T2 m时只需计算新节点处
37、的函数值。且有关系式,Romberg公式计算方法,T1 T2 S1 T4 S2 C1 T8 S4 C2 R1 T16 S8 C4 R2 T32 S16 C8 R4上面是Romberg的计算表若 则计算停止；否则用i+1代 i ，转入下一步。,高斯求积公式,为考虑一般性, 设求积公式为,定理： 求积公式 的代数精度最高不超2n-1次。,定义: 使求积公式 达到最高代数精度2n-1的求积公式称为Guass求积公式,Guass求积公式的节点xk称为Guass点, 系数Ak称为Guass系数。因为Guass求积公式也是插值型求积公式,Gauss点与正交多项式的关系,如何确定Gauss点xk和系数Ak呢
38、？最直接的方法是利用代数精度的概念，解2n+2元方程组，但却十分困难。一般利用正交多项式来确定Gauss点，然后利用插值原理确定Gauss求积系数,其中l k(x)是关于Gauss点的Lagrange插值基函数。,与任意次数不超过n -1的多项式p(x)在a , b上关于权函数(x)正交，即,定理： 求积公式,是Gauss点的充分必要条件是,的节点,推论： a,b区间上带权(x)的正交多项式n(x)的零点就是Gauss点。,事实上，正交多项式的两条重要性质是：正交多项式n(x)与比它次数低的任意多项式均正交， n次正交多项式恰好有n个互异的单实根，且在区间a,b内。,常微分方程数值解 总结,一
39、阶常微分方程初值问题是：y = f(x , y) (1.1) y(x0) = y0 (1.2) 其中f 是已知的xOy平面上某个区域D上连续函数，式(1.1)是微分方程，有无穷多解，式(1.2)是确定解的初始条件。,一、基本知识,求初值问题，是给出它的解在某些节点数值的近似值，这称为数值离散方法。求数值解一般逐步进行，分单步法与多步法：,单步法：在计算yk+1之时只用到yk 多步法：在计算yk+1之时不仅用到yk ，还要用yk-1，yk-2， 一般m 步法要用到yk , yk-1 , yk-2 , yk-m+1 二者都有显式方法和隐式方法之分。,(一)Euler公式：就是用差分方程的初值问题的解来近似微分方程初值问题的解。称为显式 Euler公式。,(二)隐式Euler公式：也称为向后 Euler公式。,(三)梯形公式：两种Euler公式作算术平均（隐式）,通常，对于隐式公式，采用预测校正技术，即先用显式方法计算，预测一个值 ，为隐式公式提供一个好的迭代初值，然后用隐式公式迭代一次，得到yk+1。如果用显式Euler公式预测，梯形公式校正，即,称为改进的Euler公式。为便于编程，常改写为：,
