1、,结束,实际问题,模型设计,算法设计,问题的解,上机计算,程序设计,第一章 绪论,数值分析是计算数学的一个主要部分，方法解决科学研究或工程技术问题，一般按如下途径进行：,其中算法设计是数值分析课程的主要内容.,数值分析课程研究常见的基本数学问题的数值解法.包含了数值代数(线性方程组的解法、非线性方程的解法、矩阵求逆、矩阵特征值计算等)、数值逼近、数值微分与数值积分、常微分方程及偏微分方程的数值解法等.它的基本理论和研究方法建立在数学理论基础之上，研究对象是数学问题，因此它是数学的分支之一.,但它又与计算机科学有密切的关系.我们在考虑算法时，往往要同时考虑计算机的特性，如计算速度、存贮量、字长等
2、技术指标，考虑程序设计时的可行性和复杂性.如果我们具备了一定的计算机基础知识和程序设计方法，学习数值分析的理论和方法就会更深刻、更实际，选择或设计的算法也会更合理、更实用.,结束,在科学研究、工程实践和经济管理等工作中，存在大量的科学计算、数据处理等问题.应用计算机解决数值计算问题是理工科研究生应当具备的基本能力.,解决某类数学问题的数值方法称为算法.为使算法能在计算机上实现，它必须将一个数学问题分解为有限次的+、-、运算和一些简单的基本函数运算.,结束,1.1 算法,1、用数学公式和文字说明描述，这种方式符合人们的理解习惯，和算法的推证相衔接，易于学习接受，但离上机应用距离较大.,2、用框图
3、描述，这种方式描述计算过程流向清楚，易于编制程序，但对初学者有一个习惯过程.此外框图描述格式不很统一，详略难以掌握.,1.1.1 算法的表述形式,算法的表述形式是多种多样的.,3、算法描述语言，它是表述算法的一种通用语言。有特定的表述程序和语句。可以很容易地转化为某种计算机语言，同时也具有一定的可读性。,结束,4、算法程序，即用计算机语言描述的算法，它是面对计算机的算法。我们以后讨论的算法，都有现成的程序文本和软件可资利用. 但从学习算法的角度看，这种描述方式并不有利.,结束,我们将采用前三种方式表述各种算法,1.1.2 算法的基本特点1算法常表现为一个无穷过程的截断：,例1 计算 sin x
4、的值，,根据sin x 的无穷级数,( 1.1),这是一个无穷级数，我们只能在适当的地方“截断”，使计算量不太大，而精度又能满足要求.,如计算 sin 0.5，取n=3,结束,据泰勒余项公式，它的误差应为,( 1.2),可见结果是相当精确的.实际上结果的六位数字都是正确的.,2算法常表现为一个连续过程的离散化,例2 计算积分值,结束,将0，1分为4等分，分别计算4个小曲边梯形的面积的近似值，然后加起来作为积分的近似值(如图1-1).记被积函数为 f(x) ，即,结束,图1-1,计算有：I0.697 024，与精确值0.693 147比较，可知结果不够精确，如进一步细分区间，精度可以提高.,3、
5、算法常表现为“迭代”形式.迭代是指某一简单算法的多次重复，后一次使用前一次的结果.这种形式易于在计算程序中实现，在程序中表现为“循环”过程.,例3 多项式求值。,结束,用tk表示 xk，uk表示(1.4)式前k+1项之和. 作为初值令：,(1.5),对k=1,2,n，反复执行：,显然Pn(x)=un，而(1.6)式是一种简单算法的多次循环.,结束,对此问题还有一种更好的迭代算法.,k=1,2, ,n (1.7),显然 Pn(x)=vn .,这两种算法都是将n次多项式化为n个一次多项式来计算，这种化繁为简的方法在数值分析中经常使用.,下面估计一下以上两种算法的计算量：第一法：执行n次(1.6)式
6、，每次2次乘法，一次加法，共计 2n 次乘法，n 次加法；,第二法：执行n 次(1.7)式，每次1次乘法，一次加法，共计n次乘法， n 次加法.,令,结束,显然第二种方法运算量小，它是我国宋代数学家秦九韶最先提出的（1247年），被称为“秦九韶算法”.,例4 不用开平方计算,结束,一个小于,(a0)的值.,可以设想它们的平均值应为,平均值，于是设计一种算法：,的更好的,如计算 ，取 x0 =2，有,计算有：x0=2x1=1.75x2=1.732 142 9x3=1.732 050 8,可见此法收敛速度很快，只算三次得到8位精确数字.迭代法应用时要考虑是否收敛、收敛条件及收敛速度等问题，今后课程
7、将进一步讨论.,结束,(k=0,1,2,) (1.8),(k=0,1,2,),1.2.1 误差的来源在运用数学方法解决实际问题的过程中，每一步都可能带来误差.,1、模型误差 在建立数学模型时，往往要忽视很多次要因素，把模型“简单化”，“理想化”，这时模型就与真实背景有了差距，即带入了误差.,2、测量误差 数学模型中的已知参数，多数是通过测量得到.而测量过程受工具、方法、观察者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响必然带入误差.,结束, 1.2 误差,3、截断误差 数学模型常难于直接求解，往往要近似替代，简化为易于求解的问题，这种简化带入误差称为方法误差或截断误差.,4、舍入误差 计算机只能处理有
8、限数位的小数运算，初始参数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这必然产生舍入误差.,结束,在数值分析课程中不分析讨论模型误差；截断误差是数值分析课程的主要讨论对象，它往往是计算中误差的主要部分，在讲到各种算法时，通过数学方法可推导出截断误差限的公式(如(1.2)式)；,舍入误差的产生往往带有很大的随机性，讨论比较困难，在问题本身呈病态或算法稳定性不好时，它可能成为计算中误差的主要部分；至于测量误差，我们把它作为初始的舍入误差看待.,误差分析是一门比较艰深的专门学科.在数值分析中主要讨论截断误差及舍入误差.但一个训练有素的计算工作者，当发现计算结果与实际不符时，应当能诊断出误差的来源，并采取相应的
9、措施加以改进，直至建议对模型进行修改.,结束,1.2.2 误差的基本概念1、误差与误差限定义1.1 设x*是准确值，x是它的一个近似值，称e=x -x*为近似值 x的绝对误差，简称误差.,误差是有量纲的量，量纲同x，它可正可负.误差一般无法准确计算，只能根据测量或计算情况估计出它的绝对值的一个上限，这个上界称为近似值 x的误差限，记为,x-x*，其意义是：x-x*x+ 在工程中常记为：x*= x.,结束,如 l=10.2.mm，R=1500100,2、相对误差与相对误差限 误差不能完全刻画近似值的精度.如测量百米跑道产生10cm的误差与测量一个课桌长度产生1cm的误差，我们不能简单地认为后者更
10、精确，还应考虑被测值的大小.下面给出定义：,结束,定义1.2 误差与精确值的比值称为x的相对误差，记作er.,相对误差是无量纲的量，常用百分比表示，它也可正可负.相对误差也常不能准确计算，而是用相对误差限来估计.,相对误差限：,实际上由于真值x*不知道，用上式无法确定r ，常用 x代 x*作 分母，此时：,结束,以后我们就用 表示相对误差限.,例5 在刚才测量的例子中，若测得跑道长为1000.1m，课桌长为1201cm ，则 显然后者比前者相对误差大.,结束,1.2.3 有效数字定义1.3 如果近似值 x 的误差限是它某一数位的半个单位，我们就说 x 准确到该位，从这一位起直到前面第一个非零数
11、字为止的所有数字称 x 的有效数字.,如：x=0.a1a2an10m，其中a1，a2，an是 09之中的整数，且a10，如e=|x-x*|=0.510m-l，1 ln则称x有 l 位有效数字.,结束,如：=3.14159265 则3.14和3.1416分别有3位和5位有效数字.而3.143相对于也只能有3位有效数字,在更多的情况，我们不知道准确值x*.如果我们认为计算结果各数位可靠，将它四舍五入到某一位，这时从这一位起到前面第一个非零数字共 l 位，它与计算结果之差必小于该位的半个单位.我们习惯上说将计算结果保留 l 位有效数字.,结束,如计算机上得到方程 x3-x-1=0 的一个正根为 1.
12、32472，保留4位有效数字的结果为1.325，保留5位有效数字的结果为1.3247.相对误差与有效数位的关系十分密切.定性地讲，相对误差越小，有效数位越多，反之亦正确.定量地讲，有如下两个定理.,定理1.1 设近似值x=0.a1a2an10m有n位有效数字，则其相对误差限 此定理的证明不难，可作为习题完成.,结束,定理1.2 设近似值 x=0.a1a2an10m 的相对误差限不大于 ，则它至少有 n位有效数字.,由定义1.3知x有n位有效数字.,证明: x |(a1+1）10m-1,结束,例6 计算sin 1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%.,解关于n的不等式 10
13、-n1810-5=1.810-4.所以取n=4，即可满足要求.对有效数字的观察比估计相对误差容易得多，故监视有效数字是否损失，常可发现相对误差的突然扩大.,结束,解 sin1.2=0.93，故a1=9,m=0,例6 计算 ，视已知数为精确值，用4位浮点数计算.,解 原式=0.131810-2-0.131610-2=0.210-5 .结果只剩一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的扩大.若通分后再计算：,原式=就得到4位有效数字的结果.下文将会提到相近数字相减会扩大相对误差.,结束,1.3.1数值运算时误差的传播当参与运算的数值带有误差时，结果也必然带有误差，问题是结果的误差与原始误差相比
14、是否扩大.,1.3 设计算法时应注意的原则,1)对函数 f(x)的计算:设 x 是x *的近似值，则结果误差,用泰勒展式分析,结束,忽略第二项高阶无穷小之后，可得函数f(x)的误差限估计式,结束,2)对多元函数 f(x1*,x2*,xn*)=A*, 设 x1,x2,xn 是x1*,x2*,xn* 的近似值，则A=f(x1,x2,xn) 是结果的近似值。,其中,结束,略去高阶项后,3）四则运算中误差的传播 按（1.10）易得:,结束,例7：若电压V=220 5V，电阻R=300 10 ，求电流I并计算其误差限及相对误差限。 解：,所以,结束,结束,1.3.2 算法中应避免的问题 1）避免相近数相
15、减 由公式(1.11),当 x1 和 x2 十分相近时， x1-x2接近零，,将很大，所以,和,从直观上看，相近数相减会造成有效数位的减少， 本章例6就是一个例子.有时，通过改变算法可以避 免相近数相减.,大很多，即相对误差将显著扩大.,将比,结束,结束,例8: 解方程 x 2-18 x +1=0，假定用4位浮点计算. 解: 用公式解法,可见第二个根只有两位有效数字,精度较差.若第二个根 改为用韦达定理计算,可得较好结果。,如,等等,都可以得到比直接计算好的结果。,可改为,如,可改为,结束,结束,若,则,这时,将比,扩大很多。,3)防止小数被大数“吃掉” 在大量数据的累加运算中，由 于加法必须进行对位，有可能出现小数被大数“吃掉”.,2)避免除法中除数的数量级远小于被除数 由公式(1.13),结束,如用六位浮点数计算某市的工业总产值，原始数据是各企业 的工业产值，当加法进行到一定程度，部分和超过100亿元 （0.11011），再加产值不足10万元的小企业产值，将再也加 不进去.而这部分企业可能为数不少，合计产值相当大.这种情 况应将小数先分别加成大数，然后相加，结果才比较正确. 这个例子告诉我们，在计算机数系中，加法的交换律和结合律 可能不成立，这是在大规模数据处理时应注意的问题.,4)注意运算步骤的简化 减少算术运算的次数以减少误差的积 累效应。,
