1、1.1.1+2 变化率问题 导数概念课后知能检测 新人教 A 版选修 2-2一、选择题1将半径为 R 的球加热，若球的半径增量为 R，则球的表面积增量 S 等于( )A8 R R B8 R R4( R)2C4 R R4( R)2 D4( R)2【解析】 球的表面积 S4 R2，则 S4( R R)24 R28 R R4( R)2.【答案】 B2一质点运动的方程为 s53 t2，若该质点在时间段1,1 t内相应的平均速度为3 t6，则该质点在 t1 时的瞬时速度是( )A3 B3C6 D6【解析】 由平均速度和瞬时速度的关系可知，V s(1)li (3 t6)6.m t 0【答案】 D3某手机配
2、件生产流水线共有甲、乙两条，产量 s(单位：个)与时间 t(单位：天)的关系如图 112 所示，则接近 t0天时，下列结论中正确的是( )图 112A甲的日生产量大于乙的日生产量B甲的日生产量小于乙的日生产量C甲的日生产量等于乙的日生产量D无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小【解析】 由平均变化率的几何意义可知，当接近于 t0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量【答案】 B4设函数 f(x)在点 x0附近有定义，且有 f(x0 x) f(x0) a x b( x)2(a， b 为常数)，则( )A f( x) a B f( x) bC f( x0) a D
3、f( x0) b【解析】 f( x0)li m x 0f x0 x f x0 xli li (a b x) a，m x 0a x b x 2 x m x 0 f( x0) a.【答案】 C5若 f(x) x3， f( x0)3，则 x0的值是( )A1 B1C1 D3 3【解析】 y f(x0 x) f(x0)( x0 x)3 x 3 x x3 x0( x)2( x)30 203， 3 x 3 x0 x( x)2， y x 20 f( x0) 3x 3 x0 x( x)23 x ，lim x 0 20 20由 f( x0)3 得 3x 3， x01.20【答案】 C二、填空题6汽车行驶的路程
4、s 和时间 t 之间的函数图象如图 113 所示在时间段 t0， t1，t1， t2， t2， t3上的平均速度分别为 1， 2， 3，其三者的大小关系是_v v v图 113【解析】 1 kMA，vs t1 s t0t1 t02 kAB，vs t2 s t1t2 t13 kBC，vs t3 s t2t3 t2由图象可知： kMA 2 1.v v v【答案】 3 2 1v v v7过曲线 y f(x) x21 上两点 P(1,2)和 Q(1 x,2 y)作曲线的割线，当 x0.1 时，割线的斜率 k_.【解析】 y(1 x)21(1 21)2 x( x)2， 2 x. y x从而割线 PQ 的
5、斜率为 2 x，当 x0.1 时，割线 PQ 的斜率 k20.12.1.【答案】 2.18设函数 f(x) mx32，若 f(1)3，则 m_.【解析】 y f(1 x) f(1) m(1 x)3 m3 m x3 m( x)2 m( x)3， 3 m3 m x m( x)2， y x f(1) 3m3 m x m( x)23 m，lim x 0由 f(1)3 得 3m3， m1.【答案】 1三、解答题9正弦函数 ysin x 在区间0， 和 ， 的平均变化率哪一个较大？ 6 3 2【解】 ysin x 在区间0， 的平均变化率为 6 .sin 6 sin 0 6 012 0 6 3ysin x
6、 在区间 ， 的平均变化率为 3 2 ，sin 2 sin 3 2 31 32 6 6 33 .3 6 33正弦函数 ysin x 在区间0， 的平均变化率比在区间 ， 的平均变化率 6 3 2大10一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s3 t t2(位移：m；时间：s)(1)求此物体的初速度(2)求此物体在 t2 时的瞬时速度(3)求 t0 到 t2 时的平均速度【解】 (1)初速度 v0 lim t 0 s t s 0 t lim t 0 3 t t 2 t(3 t)3(m/s)lim t 0即物体的初速度为 3 m/s.(2)v lim t 0s 2 t s 2 t l
7、im t 03 2 t 2 t 2 32 4 t ( t1)1(m/s)lim t 0 t 2 t t lim t 0即此物体在 t2 时的瞬时速度为 1 m/s，方向与初速度相反(3) 1(m/s)vs 2 s 02 0 6 4 02即 t0 到 t2 时的平均速度为 1 m/s.11柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状如果开始加热后第 x 小时的沥青温度(单位：)为f(x)Error!求开始加热后第 15 分钟和第 4 小时沥青温度变化的瞬时速度，并说明它们的意义【解】 15 分钟0.25 小时，且当 0 x1 时， f(x)80
8、 x220， f x x f 0.25 x f 0.25 x80 0.25 x 2 20 800.252 20 x 4080 x.800.5 x x 2 x f(0.25)li li (4080 x)40.m x 0 f x x m x 0又当 1x8 时， f(x) (x22 x244)，2049当 x4 时， f x x 2049 4 x 2 2 4 x 244 2049 42 24 244 x (6 x)， 20496 x x 2 x 2049 f(4)li li (6 x)m x 0 f x x m x 0 2049 6 .2049 12049在第 15 分钟与第 4 h 时，沥青温度的瞬时变化率分别为 40 与 ，它说明在第 1512049分钟附近，沥青的温度大约以 40 /h 的速率上升；在第 4 h 附近，沥青温度大约以 12049/h 的速率下降.
