1、第 3 章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念教学目标：1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位 i 奎 屯王 新 敞新 疆2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 奎 屯王 新 敞新 疆3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 奎 屯王 新 敞新 疆 理解并掌握复数相等的有关概念 奎 屯王 新 敞新 疆教学重点：复数的概念，虚数单位 i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位
2、和作用 奎 屯王 新 敞新 疆教学难点：虚数单位 i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位 i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定 i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立 奎 屯王 新 敞新 疆教具准备：多媒体、实物投影仪教学设想：生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.教学过程： 学生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎
3、、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了 1，2，3，4 等数以及表示“没有”的数 0.自然数的全体构成自然数集 N 奎 屯王 新 敞新 疆随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展 奎 屯王 新 敞新 疆为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集 Q.显然 N Q.如果把自然数集(含正整数和 0)与负整数集合并在一起，构成整数集 Z，则有 Z Q、N Z.如果把整数看作分母为 1 的分数，那么有理数集实际上就是分数集 奎 屯王 新 敞新 疆有些量与量之间的比值，例如用正方形的
4、边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集 R.因为有理数都可看作循环小数 (包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集 奎 屯王 新 敞新 疆因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集 R 以后，像 x2=1 这样的方程还是无解的，因为没有一
5、个实数的平方等于1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数 ，叫做虚数i单位.并由此产生的了复数 奎 屯王 新 敞新 疆讲解新课：1.虚数单位 :i(1)它的平方等于-1，即 ; 21i(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. 与1 的关系: 就是1 的一个平方根，即方程 x2= 1 的一个根，方程 x2=1 的另一个根是 ! ii i3. 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 奎 屯王 新 敞新 疆ii4.复数的定义：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部 奎 屯王 新 敞新 疆 全体复数所成的(,)abiRa
6、b集合叫做复数集，用字母 C 表示 * 奎 屯王 新 敞新 疆 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示，即 ，把复数表示成 a+bi 的形式，叫(,)zabiR做复数的代数形式 奎 屯王 新 敞新 疆4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：对于复数 ，当且仅当 b=0 时，复数(,)ia+bi(a、 bR)是实数 a；当 b0 时，复数 z=a+bi 叫做虚数 ；当 a=0 且 b0 时，z=bi 叫做纯虚数；当且仅当 a=b=0 时，z 就是实数 0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这
7、两个复数相等 奎 屯王 新 敞新 疆这就是说，如果 a，b，c，dR ，那么 a+bi=c+di a=c，b=d 奎 屯王 新 敞新 疆 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 奎 屯王 新 敞新 疆 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如 3+5i 与 4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 奎 屯王 新 敞新 疆 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 奎 屯王 新 敞新 疆 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 奎 屯王 新 敞新 疆 例 1 请说出复数 的实部和虚部，有没有纯虚数？iii 53,123,答：它们都是
8、虚数，它们的实部分别是 2，3，0， ;虚部分别是 3， ， ， ; i21531是纯虚数.例 2 复数2i+3.14 的实部和虚部是什么？答：实部是 3.14，虚部是2.易错为：实部是2，虚部是 3.14！例 3（课本例 1）实数 m 取什么数值时，复数 z=m+1+(m1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？分析因为 mR，所以 m+1，m 1 都是实数，由复数 z=a+bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定 m 的值.解：(1)当 m 1=0，即 m=1 时，复数 z 是实数；(2)当 m10 ，即 m1 时，复数 z 是虚数；(3)当 m+1=0，且 m10 时，即 m
9、=1 时，复数 z 是纯虚数 .例 4 已知(2x1)+i= y(3y)i，其中 x，yR，求 x 与 y.解：根据复数相等的定义，得方程组 ，所以 x= ，y=4 奎 屯王 新 敞新 疆)3(,225巩固练习：1.设集合 C=复数 ，A=实数 ，B=纯虚数 ，若全集 S=C，则下列结论正确的是( )A.AB=C B. A=B C.A B= D.B B=CSSCS2.复数(2x 2+5x+2)+(x2+x2)i 为虚数，则实数 x 满足( )A.x= B.x=2 或 C.x2 D.x1 且 x2113.已知集合 M=1，2，(m 23m1)+( m25m6) i ，集合 P=1，3.MP=3
10、，则实数 m 的值为( )A.1 B.1 或 4 C.6 D.6 或14.满足方程 x22x 3+(9y 2 6y+1)i=0 的实数对(x，y)表示的点的个数是_.5.复数 z1=a+bi，z 2=c+di(a、b、c、dR)，则 z1=z2 的充要条件是_.6.设复数 z=log2(m23m3)+ilog 2(3m )(mR)，如果 z 是纯虚数，求 m 的值.7.若方程 x2+(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根，试求实数 m 的值.8.已知 mR，复数 z= +(m2+2m3)i，当 m 为何值时，1)(1)zR; (2)z 是虚数； (3)z 是纯虚数； (4)z= +
11、4i.答案：1.D 2.D 3. 解析：由题设知 3M，m 23m 1+(m 25m6)i=3 ， m=1，故选 A.065132m64或或4. 解析：由题意知 ,01932yx3yx或点对有(3， )，(1， )共有 2 个.答案：235. 解析：z 1=z2 a=c 且 b2=d2.答案：a=c 且 b2=d2|db6.解：由题意知 ,0)3(log2m031m ，m=1.42m且 2且或7. 解：方程化为(x 2+mx+2)+(2x+m)i=0. ，0xx= ， m 2=8，m =2 .2m,0428. 解：(1)m 须满足 解之得：m=3.1,32(2)m 须满足 m2+2m30 且
12、m10，解之得：m 1 且 m3.(3)m 须满足 解之得：m=0 或 m=2.,)(2(4)m 须满足 解之得：m 奎 屯王 新 敞新 疆.431)(2 课后作业：课本第 106 页 习题 3.1 1 , 2 , 3教学反思：这节课我们学习了虚数单位 i 及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题 奎 屯王 新 敞新 疆 复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩
13、充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类 奎 屯王 新 敞新 疆3.1.2 复数的几何意义教学目标：知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系过程与方法：了解复数的几何意义情感、态度与价值观：画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系教学难点：复数的几何意义。教具准备：多媒体、实物投影仪。教学设想：复数 z=a
14、+bi(a、bR)与有序实数对( a，b)是一一对应关系 奎 屯王 新 敞新 疆 这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、bR)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定.教学过程：学生探究过程：1.若 ， ，则(,)Axy(0,)O,Axy2. 若 ， ，则 ，1a),2bba),(2121yxb,(2yx两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 奎 屯王 新 敞新 疆3. 若 ， ，则),(1yxA),(2yB1212,yxA一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 奎 屯王 新 敞新 疆即 = =( x2, y2) (x1,y1)
15、= (x2 x1, y2 y1) 奎 屯王 新 敞新 疆O讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数 z=a+bi(a、bR)与有序实数对( a，b)是一一对 应关系 奎 屯王 新 敞新 疆 这是因为对于任何一个复数 z=a+bi(a、bR)，由复数相等 的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b )惟一确定，如 z=3+2i 可以 由有序实数对(3，2) 确定，又如 z= 2+i 可以由有序实数对(2，1) 来确定；又 因为有序实数对( a， b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有 序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点 A，横坐标为 3，纵坐 标为 2，建立了一一对应的关系 奎 屯王 新
16、敞新 疆 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z=a+bi(a、bR)可用点 Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 奎 屯王 新 敞新 疆实轴上的点都表示实数 奎 屯王 新 敞新 疆 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0) ， 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 奎 屯王 新 敞新 疆在复平面内的原点(0，0)表示实数 0，实轴上的点(2，0) 表示实数 2，虚轴上的点(0
17、 ，1)表示纯虚数i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数 5i 奎 屯王 新 敞新 疆非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(2，3) 表示的复数是 2+3i，z=53i 对应的点(5，3)在第三象限等等.复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点zabi 一 一 对 应 (,)Zab这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.复平面内的点 平面向量(,)Zab 一 一 对 应 OZ2. 复数 平面向量zi 一 一 对 应例 1 （200
18、7 年辽宁卷）若 ，则复数 在复平面内所对354， (cosin)(sico)i应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解：选 B .例 2 （2003 上海理科、文科）已知复数 z1=cos i，z 2=sin+i，求| z 1z2|的最大值和最小值.解 |)sin(cosin1|z b Z(a，b)aoyx.2sin41cosin2)()1(2故 的最大值为 最小值为 .|1z,3例 3 （2004 北京理科）满足条件 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）|ziiA. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆解：选 C.巩固练习：课后作业：课本第 106 页
19、 习题 3. 1 A 组 4，5，6 B 组 1,2教学反思：复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点zabi 一 一 对 应 (,)Zab这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.1 （2000 广东，全国文科、理科，江西、天津理科）在复平面内，把复数 对i3应的向量按顺时钟方向旋转 ，所得向量对应的复数是：（ B ）3（A）2 （B） （C） （D ）3+3i2ii32 (1992 全国理科、文科)已知复数 z 的模为 2
20、,则z-i 的最大值为：( D )(A)1 (B)2 (C) (D)33 （2003 北京理科）若 且 的最小值是（ B ）z|2|,1|2| izi则A2 B3 C 4 D54 （2007 年上海卷）若 为非零实数，则下列四个命题都成立：,ab 若 ，则10a22abab若 ，则 则对于任意非零复数 ，上述命题仍然成立的序号是 。2b, _4，5(2005 上海文科)在复数范围内解方程 （ 为虚数单位） 。iz23)(|2【思路点拨】本题考查共轭复数的模的概念和运算能力，可根据复数的代数形式进行处理.【解】原方程化简为 ,iz1)(2设 z=x+yi(x、yR),代入上述方程得 x 2+y2
21、+2xi=1-i, x 2+y2=1 且 2x=-1,解得 x=- 且 y= ,3原方程的解是 z=- i.2133.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义教学目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义 奎 屯王 新 敞新 疆情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 奎 屯王 新 敞新 疆 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的
22、向量的对应关系教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。教具准备：多媒体、实物投影仪 。教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。复数 z=a+bi(a、bR)与有序实数对( a，b)是一一对应关系 奎 屯王 新 敞新 疆 这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、bR)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定.教学过程：学生探究过程：1.虚数单位 :(1)它的平方等于-1，即 ; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，i 21i原有加、乘运算律仍然成立 奎 屯王 新 敞新 疆2. 与1
23、的关系: 就是1 的一个平方根，即方程 x2= 1 的一个根，方程 x2=1 的另一个根是 奎 屯王 新 敞新 疆ii i3. 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 奎 屯王 新 敞新 疆ii4.复数的定义：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部 奎 屯王 新 敞新 疆 全体复数所成的(,)abiRab集合叫做复数集，用字母 C 表示 * 奎 屯王 新 敞新 疆 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示，即 ，把复数表示成 a+bi 的形式，叫(,)ziR做复数的代数形式 奎 屯王 新 敞新 疆4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：
24、对于复数 ，当且仅当 b=0 时，复数(,)abia+bi(a、 bR)是实数 a；当 b0 时，复数 z=a+bi 叫做虚数 ；当 a=0 且 b0 时，z=bi 叫做纯虚数；当且仅当 a=b=0 时，z 就是实数 0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等 奎 屯王 新 敞新 疆 即：如果 a，b，c， dR，那么 a+bi=c+di a=c，b=d 奎 屯王 新 敞新 疆 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 奎 屯王 新 敞新 疆 只有
25、当两个复数不全是实数时才不能比较大小 奎 屯王 新 敞新 疆 7. 复平面、实轴、虚轴：点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数z=a+bi(a、bR)可用点 Z(a，b) 表示，这个建立了直角 坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴 奎 屯王 新 敞新 疆实轴上的点都表示实数 奎 屯王 新 敞新 疆 b Z(a，b)aoyx对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0) ， 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 奎 屯王 新 敞新 疆复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关
26、系，即复数 复平面内的点zabi 一 一 对 应 (,)Zab这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法 奎 屯王 新 敞新 疆8.若 ， ，则(,)Axy(0,)O,Axy9. 若 ， ，则 ，1a),2bba),(2121yx,(2yx两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 奎 屯王 新 敞新 疆10. 若 ， ，则),(1A),(2B1212,yxA一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 奎 屯王 新 敞新 疆即 =
27、=( x2, y2) (x1,y1)= (x2 x1, y2 y1) 奎 屯王 新 敞新 疆O讲解新课：一复数代数形式的加减运算复数 z1 与 z2 的和的定义：z 1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2. 复数 z1 与 z2 的差的定义：z 1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z2=z2+z1.证明：设 z1=a1+b1i，z 2=a2+b2i(a1，b 1，a 2，b 2R).z 1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.z2+z1=(a2+b2i)+(
28、a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.又a 1+a2=a2+a1，b 1+b2=b2+b1.z 1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.4. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z2)+z3=z1+(z2+z3)证明：设 z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z 3=a3+b3i(a1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3R).(z 1+z2)+z3=(a 1+b1i)+(a2+b2i)+(a 3+b3i)=(a 1+a2)+(b1+b2)i+(a 3+b3)i=(a 1+a2)+a3+(b 1+b2)+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z1+(
29、z2+z3)=(a1+b1i)+(a 2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)+(a 2+a3)+(b2+b3)i=a 1+(a2+a3)+b 1+(b2+b3)i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i(a 1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b 1+b2)+b3=b1+(b2+b3).(z 1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律 奎 屯王 新 敞新 疆讲解范例：例 1 计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)(5-2-3)+(-6-1-4) i=11 i 奎 屯王 新 敞新 疆例 2 计算：(
30、12i)+(2+3 i)+(34i)+(4+5 i)+(2002+2003i)+(20032004i)解法一：原式=(12+34+ 2002+2003)+( 2+34+5+20032004i)=(20031001)+(10012004)i=10021003i .解法二：(12i)+(2+3 i)=1+i， (34i)+( 4+5i)=1+ i，(20012002i)+(2002+2003) i=1+i.相加得(共有 1001 个式子)：原式=1001(1+i )+(20032004i)=(20031001)+(10012004)i =10021003i 奎 屯王 新 敞新 疆二.复数代数形式的
31、加减运算的几何意义复数的加(减) 法 (a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i. 与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加 (减). 复平面内的点 平面向量,Zb 一 一 对 应 OZ2. 复数 平面向量zai 一 一 对 应3.复数加法的几何意义：设复数 z1=a+bi，z 2=c+di，在复平面上所对应的向量为 、1Z，即2OZ、 的坐标形式为 =(a，b) ， =(c，d) 奎 屯王 新 敞新 疆 以 、1OZ21OZ2O为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2，则对角线 OZ 对应的向量是 ， = + =(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d) (a+c)
32、+(b+d)i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设 z=(ac)+( bd)i，所以 zz 1=z2，z 2+z1=z，由复数加法几何意义，以 为一条对角线， 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ1ZOZ2 所表示的向量 就与复数 zz 1 的差( ac)+(bd)i 对应 奎 屯王 新 敞新 疆 由于 ，所以，两个复数的差2 21OZzz 1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.例 3 已知复数 z1=2+i，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为 A、B，求 对应的复数 z，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：z=z 2z 1=(1+2i)(2
33、+i)=1+i，z 的实部 a= 10，虚部 b=10，复数 z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即 所表示的复数是 zBz A. ，而 所表示的复数是 zAz B，故切不可把被减数与减数搞错 奎 屯王 新 敞新 疆 尽管向量AB的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量 所对应的复数是惟一AB的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关 奎 屯王 新 敞新 疆例 4 复数 z1=1+2i，z 2=2+i ，z 3=12i ，它们在复平面上的对应
34、点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用 ，求点 D 的对应复数.BCA解法一：设复数 z1、z 2、z 3 所对应的点为 A、B、C，正方形的第四个顶点 D 对应的复数为x+yi(x， yR)，是：=(x+yi)(1+2i)=(x1)+(y2) i;OD=(12i)(2+ i)=13i.BC ，即(x1)+(y 2) i=13i，A 解得,32y.1,故点 D 对应的复数为 2i.分析二：利用原点 O 正好是正方形 ABCD 的中心来解.解法二：因为点 A 与点 C 关于原点对称，所以原点 O 为正方形的中心，于是(2+i)+(x+yi)=0，x=2，y=1
35、.故点 D 对应的复数为 2i.点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用 奎 屯王 新 敞新 疆巩固练习：1.已知复数 z1=2+i,z2=1+2i,则复数 z=z2z 1 在复平面内所表示的点位于A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限2.在复平面上复数32i, 4+5i,2+i 所对应的点分别是 A、B、C，则平行四边形 ABCD 的对角线 BD所对应的复数是A.59i B.53i C.711i D.7+11i3.已知复平面上AOB 的顶点 A 所对应的复数为 1+2i,其重心 G 所对应的复数为 1+i,则以 OA、O
36、B 为邻边的平行四边形的对角线长为A.3 B.2 C.2 D.2254.复平面上三点 A、B、C 分别对应复数 1，2i,5+2i,则由 A、B、C 所构成的三角形是A.直角三角形 B.等腰三角形 C. 锐角三角形 D.钝角三角形5.一个实数与一个虚数的差（ ）A.不可能是纯虚数 B.可能是实数 C.不可能是实数 D.无法确定是实数还是虚数6.计算( =_.)23()()23()2 iii 7.计算：(2x+3 yi)(3x 2yi)+(y2xi)3xi=_(x、yR).8.计算（12i)(23i)+(3 4i)(2002 2003i ).9.已知复数 z1=a23+(a+5)i,z 2=a1
37、+(a 2+2a1) i(aR)分别对应向量 、 （O 为原点） ，若向1Z2量 对应的复数为纯虚数，求 a 的值.21Z解： 对应的复数为 z2z 1，则例 2 图z2z 1=a1+(a 2+2a1)i a23+(a+5)i =(aa 2+2)+(a2+a6) iz 2z 1 是纯虚数 解得 a=1.0610已知复平面上正方形的三个顶点是 A（1，2） 、B（2，1） 、C（1，2） ，求它的第四个顶点D 对应的复数.解：设 D（x,y),则对应的复数为(x+yi) (1+2i )=(x1)+(y2) iOA对应的复数为：(12i)( 2+i )=13 iBC (x 1)+(y 2)i =1
38、3i ,解得32y1D 点对应的复数为 2i。答案：1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.2 i 7.(yx)+5(yx) i8.解：原式=(12+34+ +20012002）+(2+34+ 2002+2003)i=1001+1001i 奎 屯王 新 敞新 疆 课后作业：课本第 112 页 习题 3.2 1 , 2 , 3教学反思：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等 奎 屯王 新 敞新 疆 即：如果 a，b，c，dR ，那么a+bi=c+di a=c，b=d 奎 屯王 新 敞新 疆 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以
39、比较大小 奎 屯王 新 敞新 疆 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 奎 屯王 新 敞新 疆 复数的加法法则：(a+bi)+(c +di)=(a+c)+(b+d)i(a，b，c，dR). 复数的加法，可模仿多项式的加法法则计算，不必死记公式。复数加法的几何意义：如果复数 z1，z 2 分别对应于向量 、 ，那么，以 OP1、OP 2 为两边作平1OP2行四边形 OP1SP2，对角线 OS 表示的向量 就是 z1+z2 的和所对应的向量 奎 屯王 新 敞新 疆 复数减法的几何意义：两个S复数的差 zz 1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学目
40、标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算 奎 屯王 新 敞新 疆过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 奎 屯王 新 敞新 疆情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。教学重点：复数代数形式的除法运算。教学难点：对复数除法法则的运用。教具准备：多媒体、实物投影仪。教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等 奎 屯王 新 敞新 疆 即：如果a，b，
41、c，dR，那么 a+bi=c+di a=c，b=d 奎 屯王 新 敞新 疆 ，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 奎 屯王 新 敞新 疆教学过程：学生探究过程： 1.虚数单位 :(1)它的平方等于-1，即 ; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，i 21i原有加、乘运算律仍然成立 奎 屯王 新 敞新 疆2. 与1 的关系: 就是1 的一个平方根，即方程 x2= 1 的一个根，方程 x2=1 的另一个根是 奎 屯王 新 敞新 疆ii i3. 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 奎 屯王 新 敞新 疆ii4.复数的定义：形如 的数叫复数， 叫
42、复数的实部， 叫复数的虚部 奎 屯王 新 敞新 疆 全体复数所成的(,)abiRab集合叫做复数集，用字母 C 表示 * 奎 屯王 新 敞新 疆 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示，即 ，把复数表示成 a+bi 的形式，叫(,)ziR做复数的代数形式 奎 屯王 新 敞新 疆4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：对于复数 ，当且仅当 b=0 时，复数(,)abia+bi(a、 bR)是实数 a；当 b0 时，复数 z=a+bi 叫做虚数 ；当 a=0 且 b0 时，z=bi 叫做纯虚数；当且仅当 a=b=0 时，z 就是实数 0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q
43、R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等 奎 屯王 新 敞新 疆 即：如果 a，b，c， dR，那么 a+bi=c+di a=c，b=d 奎 屯王 新 敞新 疆 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 奎 屯王 新 敞新 疆 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 奎 屯王 新 敞新 疆 7. 复平面、实轴、虚轴：点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z=a+bi(a、bR)可用点 Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴
44、叫做虚轴 奎 屯王 新 敞新 疆 实轴上的点都表示实数 奎 屯王 新 敞新 疆 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0) ， 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 奎 屯王 新 敞新 疆8复数 z1 与 z2 的和的定义：z 1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9. 复数 z1 与 z2 的差的定义：z 1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.10. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z2=z2+z1.11. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z2)+z3=z1+(z
45、2+z3) 奎 屯王 新 敞新 疆讲解新课：乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设 z1=a+bi，z 2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad) i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 i2 换成1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 证明：设 z1=a1+b1i，z 2=a2+b2i，z 3=a3+b3i(a1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3R).z 1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1
46、a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又 a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b 1a2+a1b2=b2a1+a2b1.z 1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3证明：设 z1=a1+b1i，z 2=a2+b2i，z 3=a3+b3i(a1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3R).(z 1z2)z3=( a1+b1i)(a2+b2i)(a 3+b3i)=(a 1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i( a3+b3i)=(a 1a2-b1b2)a3-(b1a2+
47、a1b2)b3+( b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，(z 1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设 z1=a1+b1i，z 2=a2+b2i，z 3=a3+b3i(a1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3R).z 1(z2+z3)=(a1+b1i)(a 2+b2i)+(a3+b3i)=(a 1+b1i)( a2+a3)+(b2+b3)i=a 1(a2+a3)-b1(b2+b3)+b 1(a2+a3)+a1(b2+b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a
