1、二分倍增与补集转换思想的应用,长沙市第一中学 曹利国,分治思想,分治(divide-and-conquer)就是“分而治之”的意思，其实质就是将原问题分成n个规模较小而结构与原问题相似的子问题；然后递归地解这些子问题，最后合并其结果就得到原问题的解。其三个步骤如下； 分解(Divide)：将原问题分成一系列子问题。 解决(Conquer)：递归地解各子问题。若子问题足够小，则可直接求解。 合并(combine)；将子问题的结果合并成原问题的解。,分治思想,如果在将规模为n的问题分成k个不同子集合的情况下，能得到k个不同的可分别求解的子问题，其中1k=n，而且在求出了这些子问题的解之后，还可找到
2、适当的方法把它们合并成整个问题的解，那么，具备上述特性的问题可考虑使用分治策略设计求解。这种设计求解的思想就是将整个问题分成若干个小问题后分而治之。,分治思想,分治的应用,解决一类求方程的根的问题 解决真假硬币的称量问题 基于NLgN算法效率的排序和查找问题(归并排序，二分查 找) 倍增算法 快速幂,分治的应用(分段处理),例题：取余运算（mod.exe）输入b，p，k的值，编程计算bp mod k的值。其中的b，p，k*k为长整型数。 【输入输出样例】 mod.in 2 10 9 mod.out 210 mod 9=7,分析,1、用高精度计算比较烦，复杂度太高2、转而用其他方法求解（1）取模
3、运算的一个规律：a*b mod k=(a mod k)*(b mod k) mod k（2）运用规律可以把样例数据分解：b19=b2*9+1=b 9b9b，其中的指数9可以继续分解为241，4再分解程220，2120，1011。反过来，我们可以从0出发，通过乘以2再加上1或0推得1，2，4，9，19，然后依次以这些数为指数的自然数除以k的余数。,分析,（3）不难看出，前面乘以2后要加上的1或0就是该数对应二进制数各位上的数字1或0。如，19（10011）2 。求解的过程也就是将二进制数还原为十进制数的过程。 （4）综上所述，该题可采用分治得思想进行递推求解。我们计算出A(2k)，即A,A2,A
4、4,A8这需要logK的时间而我们回答AK，则根据K的二进制位上的1来相乘A11=A8*A2*A也只需要logK次,问题转化再二分,例题(北京08省选)： 在数轴上有N类点，每一类用S,E,D来表示，意思是这些点分布在 S,S+D,S+2DS+kD (S+kD=E) 已知最多只有一个坐标上有奇数个点，要求找出它或指出不存在。,分析,我们用0表示偶数个点，1表示奇数个点 那么数轴上的点分布如下 000000000000000000010000 因为数轴太大，点太多 我们无法快速判断1的位置,分析,000000000000000000010000 考虑前缀和 0000000000000000000
5、11111 我们可以用二分法找到0/1分界点，即唯一的1的位置 每次二分时，扫描每一类点，统计点的前缀和 复杂度O(N*logS)，S为数轴长，即值域,二分再转化问题,NOIP2010，第三题 关押罪犯 将N个人分成两组，其中M对人有Ci的不和谐值，其中如果两人在同一组，并且它们两人不和谐，那么就会有Ci的不和谐值。 要求找出一个分组方案，使得最大不和谐值最小。,分析,直接做不好下手 由于要求最大值最小，即一个上界，所以我们可以二分这个上界 那么我们就能确定哪些人不能在一组(不和谐值大于上界的) 此时我们只需判断这个图能否构成二分图即可。 用简单的BFS即可解决这个问题,用BFS做二分图判定,
6、二分图判定: 判断一个图能否形成二分图 我们从任一点开始，令其在二分图左边，然后开始BFS，每次搜到的点放对面即可，直至所有点放完或出现矛盾 正确性： 对于每个联通量而言，一个点如果确定，其他点均确定，而这个点放左，放右实际上是对称的方案,二分的选择,有趣的元素(2011克罗地亚竞赛): 如果一个数列中 2*K 的元素中前 K 个元素和与后 K 个元素和都不大于 S 那么我们说这些元素是有趣的。 给你一个长度为 N 的数列 A,求各个元素从本身开始能构成的最长有趣元素的 长度。,一个简单的想法,枚举i，二分最远j使得ij与j+1j+j-i+1为有趣的 i j j+1 j+j-i+1 时间复杂度
7、O(NlogN) 看似没问题的二分算法其实是错误的 如S=100,N个数为 1 1 98 98 1 1 当i=1，二分j=2时不合法，而其实j=3时合法,错误的原因,二分是需要问题满足单调性的 形象的说就如刚才讲过的北京省选题，每个点的状态形如: 00000000000011111111111 0代表合法，1代表不合法 而不能是凌乱的 00010110111010001010000,还是可以二分,我们考虑枚举起点再二分是不对的 但是如果枚举中间点再二分是没有错的! 所以我们枚举中间点，再二分最远扩展距离 这样我们得到若干区间，我们将包含的区间去掉 再处理一下就能得到答案！ 用单调队列还可以做到
8、O(N),倍增算法,如何设计最少的面值拼出连续最大的面值？ 答案自然是1,2,4,8即2k倍增算法就基于这个性质，我们通过解决所有2k的问题来解决整个问题,倍增算法解决RMQ问题,RMQ问题： 给定N个数，M个询问(a,b) 每次回答第a个数到第b个数中的最小值线段树等常数较大，能不能不利用高级数据结构做到O(NlogN),分析,我们用Fik表示从i开始，连续2k个数的最小值 那么有Fi0=Ai 容易得到由于2k个数的最小值是前2(k-1)个数的最小值或者后2(k-1)个数的最小值。 Fik =minFik-1,Fi+2(k-1)k-1,分析,那么我们很简单的预处理出了F数组 主要代码如下读入
9、Ai，Fi0=Ai 循环k=1logN 循环i=1N Fik=minFik-1,Fi+2(k-1)k-1,分析,至于回答，类似拼钱 我们每次找出一张最大面值 如回答26的最小值 我们先找到22=4，用F22更新答案 那么现在变成56，我们找到21=2 用F51更新答案 总时间复杂度O(NlogN)，常数小，方便写，容易理解。,倍增的其他应用,LCA（最近公共祖先问题）或一些静态的树路径询问(树上两点路径权和/最值) 我们用Fik表示i到其2k个祖先的的信息 用跟刚才类似的倍增的方法可以在logN的时间内回答询问 后缀树组的倍增法构造 ,例一 单色三角形问题（POI9714 TRO）,题目大意,
10、空间里有n个点，其中任意三点不共线。每两点间都有红色或黑色边（只有一条，非红即黑！）连接。若一个三角形的三边同色，则称它为单色三角形。对于给定的点数和红色边的列表，找出单色三角形的个数。例如下图中有5个点，10条边，形成3个单色三角形。,输入点数n、红色边数m以及这m条红色的边所连接的顶点标号，输出单色三角形个数R。 3=n=1000，0=m=250000。,初步分析,自然的想法：用一个数组记录每两点间边的颜色。枚举所有的三角形（这是通过枚举三个顶点实现的），判断它的三边是否同色，若同色则总数R加1（当然，初始时R为0）。,空间上： O(n2)，需要一个1000*1000的大数组,时间上： O
11、(n3)，n达到1000，无法接受！,常用技巧：无从下手。,深入思考,本题中单色三角形的个数可以非常庞大，所以一切需要枚举每个单色三角形的方法都是不可能高效的。,单纯的枚举不可以，那么组合计数是否可行呢？,从总体上进行组合计数很难想到。我们尝试枚举每一个点，设法找到一个组合公式来计算以这个点为顶点的单色三角形的个数。,深入思考,组合公式很难找到！,补集转化,从反面来看问题：每两点都有边连接，所以每三个点都可以组成一个三角形（单色或非单色的），所有的三角形数S=C(n,3)=n*(n-1)*(n-2)/6。,单色三角形数R加上非单色三角形数T就等于S，所以如果我们可以求出T，那么显然，R=ST。
12、,原问题转化为：怎样高效地求出T,补集转化,原先的枚举组合计数算法的障碍是无法在“边”与“单色三角形”之间建立确定的对应关系。,YES!,补集转化,非单色三角形的三条边共有红黑两种颜色,其中两条边同色，另一条边异色,如果从一个顶点B引出两条异色的边BA、BC，则无论AC边是何种颜色，三角形ABC都只能是一个非单色三角形,补集转化,A,C,B,A,C,B,非单色三角形数T=“有公共顶点的异色边”的总对数Q/2,补集转化,补集转化,Q求出之后，R=ST=n*(n-1)*(n-2)/ 6-Q/2,时间复杂度：O(m+n) 空间复杂度：O(n),优秀的算法！,小结,通过补集转化，我们在原来无法联系起来
13、的“边”和“三角形”之间建立起确定的关系，并以此构造出组合计数的公式。,WC2007剪刀石头布,在一些一对一游戏的比赛（如下棋、乒乓球和羽毛球的单打）中，我们经常会遇到A胜过B，B胜过C而C又胜过A的有趣情况，不妨形象的称之为剪刀石头布情况。有的时候，无聊的人们会津津乐道于统计有多少这样的剪刀石头布情况发生，即有多少对无序三元组(A, B, C)，满足其中的一个人在比赛中赢了另一个人，另一个人赢了第三个人而第三个人又胜过了第一个人。注意这里无序的意思是说三元组中元素的顺序并不重要，将(A, B, C)、(A, C, B)、(B, A, C)、(B, C, A)、(C, A, B)和(C, B,
14、 A)视为相同的情况。 有N个人参加一场这样的游戏的比赛，赛程规定任意两个人之间都要进行一场比赛：这样总共有 场比赛。比赛已经进行了一部分，我们想知道在极端情况下，比赛结束后最多会发生多少剪刀石头布情况。即给出已经发生的比赛结果，而你可以任意安排剩下的比赛的结果，以得到尽量多的剪刀石头布情况。,分析,题目大意 对于一个竞赛图，给定一些边，要求你通过给剩下的边定向，最大化图中的三元环。 竞赛图：基础图(将有向边变为无向边)为完全图的有向图 三元环：三个点组成的环,分析,最大化三元环并不好想，利用补集转化 三元环的个数P=图中所有由三个点构成的子图个数-这些子图中不是三元环的个数。 容易证明，三个
15、点的竞赛图不是三元环的充要条件是图中有一点入度等于2。,分析,三元环的个数P= 图中所有由三个点构成的子图个数A-这些子图中不是三元环的个数B，入度为Di P=A-B =C(n,3) - sigma C(Di,2) =n*(n-1)*(n-2)/6 - sigma Di*(Di-1)/2 =n*(n-1)*(n-2)/6 - sigma Di2/2 + sigma Di/2 =n*(n-1)*(n-2)/6 + n*(n-1)/4 - sigma Di2/2 =n*(n-1)*(n-2)/6 + m/2 - sigma Di2/2,分析,可以发现除Di2外，全为常数项，所以我们的问题转化为最小化 sigma Di2 即我们需要给每条未定向边定向，使得 sigma Di2/2 最小。这是一个最小费用流模型,这里不再赘述。 至此我们顺利地使用补集转化解决了此题。,
