1、第六章 离散系统的z域分析,离散时间信号与系统也可以采用变换域的方法进行分析 离散时间信号与系统的变换域分析方法主要有傅里叶变换和z变换两种(离散时间信号不能进行拉普拉斯变换） 离散时间信号的傅里叶变换问题将在数字信号处理课程中介绍，本章讨论离散时间系统的z变换分析, 6.1 z变换,z变换的导出 z变换的定义 z变换的收敛域 常用离散信号的z变换,一. z变换的导出,抽样信号的拉普拉斯变换离散信号的z变换,对 取拉氏变换,二. z变换的定义,对z变换式的直观理解,三. z变换的收敛域,收敛的所有z 值之集合为收敛域（ROC）。,对于任意给定的序列f(k) ，能使幂级数,注意：不同的f(k)可
2、能具有相同的z变换表达式，只是其收敛域不同。因此给出一个z变换时，必须同时指明收敛域，该z变换才与某个时域序列唯一对应。,收敛域,有限长序列的收敛域,所以，收敛域为 的z平面。,例6-1-1,ROC：,因果序列的收敛域,例6-1-2,若该序列收敛，则要求,即收敛域为：,ROC:,反因果序列的收敛域,例6-1-3,收敛域为：,=2k,说 明,双边序列的收敛域,例6-1-4,ROC:,总 结,f(k)的收敛域（ROC）为 z 平面以原点为圆心的圆环区域,有限长序列的ROC为整个 z 平面（可能除去z = 0 和z = ）,右边序列的ROC为 的圆外,左边序列的ROC为 的圆内,双边序列的ROC为
3、的圆环（若z变换存在）,四. 常用离散信号的z变换,单位样本序列,单位阶跃序列,右边（因果）指数序列,左边（反因果）指数序列, 6.2 z变换的性质,线性 移位特性 z域尺度变换 时域卷积定理 z域微分 z域积分 k域反转 部分和 初值定理和终值定理,一线性,ROC：一般情况下，取二者的重叠部分,如果线性组合是两个序列相减，则收敛域可能扩大,例6-2-1,解：,已知,并且,同理可得,例6-2-2,收敛域扩大为整个z平面。,原序列不变，只改变在时间轴上的位置。,双边z变换的位移性质,二移位（时移）特性,说明,单边z变换的位移性质,若f(k)为双边序列，其单边z变换为,左移位性质,右移位性质,与右
4、移位序列的双边z变换形式相同,例6-2-3,解:,方程两边取z变换,带入边界条件,整理为,三z域尺度变换,证明：,同理,例6-2-4，教材例6.2-6,解：,同理：,四时域卷积定理,ROC：至少为二者的重叠部分，即,描述：两序列在时域中的卷积的z变换等效于在z域中两序列z变换的乘积。,注意：如果在某些线性组合中产生零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大（根据卷积结果分析ROC）,证明时域卷积定理,例6-2-5,解：,五序列乘k（z域微分）,共求导m次,例6-2-6,解：,六序列除k+m（z域积分）,证明：,七. k域反转,证明：,例6-2-7，教材例6.2-11,八. 部分和,证明：,例如：,九初
5、值定理和终值定理（适用于右边序列）,初值定理,证明初值定理,例6-2-8,解：,另外，用长除法也可以求因果序列的初始值，即,终值定理,无,无,有，1,有，0,例题,1，-1，1，-1，1, 6.3 逆z变换,幂级数展开法 部分分式展开法 围线积分法留数法（自学）,一幂级数展开法（长除法）,对于有理函数形式的z变换式：,直接用长除法展开为幂级数形式,幂级数展开法,右边（因果）序列的逆z变换,左边（反因果）序列的逆z变换,例6-3-1,例6-3-2,双边序列的逆z变换,故通常只需分别考察右边（因果）和左边（反因果）序列的逆z变换,二部分分式展开法,z变换式的一般形式,部分分式法求逆z变换的步骤,便
6、于部分分式展开以及求部分分式的逆变换,F(z)的极点为互不相等的实数,这里指ROC是在极点圆外还是极点圆内,例6-3-3,同理：K22,右 右,右 左,左 左,F(z)有共轭单极点,F(z)有r重极点,例6-3-4,三围线积分法求z逆变换(略）, 6.4 离散LTI系统的z域分析,用z变换求解差分方程 系统函数 系统的z域框图 s域与z域的关系,一用z变换求解差分方程,用z变换求解差分方程的一般步骤,(1)对差分方程进行单边z变换；,(2)由z变换方程求出响应Y(z) ；,(3) 求Y(z) 的逆变换，得到y(k) （右边序列）。,离散LTI系统差分方程的单边z变换,z域的零输入和零状态响应,离散LTI系统的时域全响应,例6-4-1,解：,方程两端取z变换,零输入响应,零状态响应,或,小结,二系统函数,教材例6.4-8,三系统的z域框图,某LTI系统的k域框图如图(a)所示，已知输入 。,（1）求系统的单位序列响应h(k)和零状态响应yf(k)。 （2）若y(-1) = 0，y(-2) = 1/2，求零输入响应。,教材例6.4-7,四 s域与z域的关系,
