1、第5章 时域离散系统的基本网络结构与 状态变量分析法,5.1 引言 5.2 用信号流图表示网络结构 5.3 无奶长脉冲响应基本网络结构 5.4 有限长脉冲响应基本网络结构 5.5 状态变量分析法,5.1 引言,一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入输出服从N阶差分方程,其系统函数H(z)为,给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如：,5.2 用信号流图表示网络结构,观察(5.1.1)式，数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟，三种基本运算用流图表示如图5.2.1所示。,图5.2.1 三种基本运算的流图表示,和每个节点连接的有输入支路
2、和输出支路，节点变量等于所有输入支路的输出之和。在图5.2.2中，,(5.2.1),图5.2.2 信号流图 (a)基本信号流图；(b)非基本信号流图,不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有很多种信号流图相对应。从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图(Primitive Signal Flow Graghs)。(1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是z-1；(2) 流图环路中必须存在延时支路；(3) 节点和支路的数目是有限的。,例5.2.1 求图5.2.2(a)信号流图决定的系统函数H(z)。解 将5.2.1式进行z变换，得到,经过联立求解得到：
3、,FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述：,其单位脉冲响应h(n)是有限长的，按照(5.2.2)式， h(n)表示为,其它n,另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。例如一个简单的一阶IIR网络差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n)其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类不同的网络结构各有不同的特点，下面分类叙述。,5.3 无奶长脉冲响应基本网络结构,1.直接型对N阶差分方程重写如下：,图5.3.1 IIR网络直接型结构,例5.3.1 IIR数字滤波器的系统函数H(z)为,画出该滤波器的
4、直接型结构。解 由H(z)写出差分方程如下：,图5.3.2 例5.3.1图,2. 级联型在(5.1.2)式表示的系统函数H(z)中，公子分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数，现将分子分母多项式分别进行因式分解，得到,(5.3.1),形成一个二阶网络Hj(z)；Hj(z)如下式：,(5.3.2),式中，0j、1j、2j、1j和2j均为实数。这H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式：H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z) (5.3.3)式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图5.3.3所示。,图5.3
5、.3 一阶和二阶直接型网络结构 (a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构,例5.3.2 设系统函数H(z)如下式：,试画出其级联型网络结构。解 将H(z)分子分母进行因式分解，得到,3.并联型如果将级联形式的H(z)，展开部分分式形式，得到IIR并联型结构。,图5.3.4 例5.3.2图,式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为,(5.3.4),式中，0i、1i、1i和2i都是实数。如果 a2i=0则构成一阶网络。由(5.3.4)式，其输出Y(z)表示为Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+Hk(z)X(z),例5.3.3 画出
6、例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。解 将例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：,将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结 构如图5.3.5所示。,图5.3.5 例5.3.3图,5.4 有限长脉冲响应基本网络结构,FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程为,1.直接型按照H(z)或者差分方程直接画出结构图如图5.4.1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。,图5.4.1 FIR直接型网络结构,2. 级联型将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形
7、式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。例5.4.1 设FIR网络系统函数H(z)如下式：H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3画出H(z)的直接型结构和级联型结构。,解 将H(z)进行因式分解，得到：H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)其直接型结构和级联型结构如图5.4.2所示。,图5.4.2 例5.4.1图,3. 频率采样结构频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真，此时原序列的z变换H(z)与频域采样值
8、H(k)满足下面关系式：设FIR滤皮器单位脉冲响应h(n)长度为M，系统函数H(z)=ZTh(n)，(5.4.1)式中H(k)用下式表示：,(5.4.1),要求频率域采样点数NM。(5.4.1)式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。请读者分析IIR滤波网络，为什么不采用频率采样结构。将(5.4.1)式写成下式：,(5.4.2),式中,Hc(z)是一个梳状滤皮网络(参考第八章)，其零点为,图5.4.3 FIR滤波器频率采样结构,(1)在频率采样点k，H(ejk)=H(k)，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k)，就可以有效地调整频响特性，使实际调整方便。(2)只要h(n
9、)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便于标准化、模块化。,然而，上述频率采样结构亦有两个缺点：(1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的。 (2)结构中，H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。首称将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为r的圆上，取r1且r1。此时H(z)为,(5.4.3),另外，由DFT的共轭对称性知道，如果h(n)是实数序列，则其离散傅里叶变换H(k)关于N/2点共轭对称，即H(k)
10、=H*(N-k)。而且W-kN=W-(N-k)N，我们将hk(z)和H N-k(z)合并为一个二阶网络，并记为Hk(z)，则,显然，二阶网络Hk(z)的系数都为实数，其结构如图5.4.4(a)所示。当N为偶数时，h(z)可表示为,式中,(5.4.4),式中，H(0)和H(N/2)为实数。(5.4.4)式对应的频率采样修正结构由N/2-1个二阶网络和两个一阶网络并联构成，如图5.4.4(b)所示。,图5.4.4 频率采样修正结构,当N=奇数时，只有一个采样值H(0)为实数，H(z)可表示为,(5.4.5),5.5 状态变量分析法,1. 状态方程和输出方程状态变量分析法有两个基本方程，即状态方程和
11、输出方程。状态方程把系统内部一些称为状态变量的节点变量和输入联系起来；而输出方程则把输出信号和那些状态变量联系起来。,图5.5.1是二阶网络基本信号流图，有两个延时支路，因此建立两个状态变量w1(n)和w2(n)。下面建立流图中其它节点w2和输出y(n)与状态变量之间的关系。,(5.5.1),(5.5.2),(5.5.3),将以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)写成矩阵形式：,(5.5.4),图5.5.1 二阶网络基本信号流图,图5.5.2示出更为一般的二阶网络基本信号流图，两个延时支路输出节点定为状态变量w1(n)和w2(n)。按照信号流图写出以下方程：,图5.5.2 一般二阶网络基
12、本信号流图,将以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)写成矩阵形式：,(5.5.6),(5.5.7),再用矩阵符号表示：,(5.5.8),(5.5.9),式(5.5.8)和式(5.5.9)分别称为图5.5.2二阶网络的状态方程和输出方程。如果系统中有N个单位延时支路，M个输入信号：x1(n),x2(n),xM(n)，L个输出信号y1(n),y2(n),，yL(n)，则状态方程和输出方程分别为,(5.5.10),(5.5.11),式中,图5.5.3 状态变量分析法,例5.5.1 建立图5.5.4流图的状态方程和输出方程。,图5.5.4 例5.5.1图,信号流图中有两个延时支路，分别建立两个状
13、态变量w1(n)和w2(n)(如图5.5.4所示)，然后列出延时支路输入端节点方程如下：,将上式写成矩阵方程：,(5.5.12),输出信号y(n)的方程推导如下： y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n)将上面w1(n+1)的方程代入上式：y(n) =a1b0w1(n)+b0a2w2(n)+b0x(n)+b1w1(n)+b2w2(n)=(a1b0+b1)w1(n)+(a2b0+b2)w2(n)+b0x(n),例 5.5.2直接写出图5.5.4信号流图的 A、B、C和D参数矩阵。解,要注意：从wi(n)到输出节点可能不止一条通路， 要把所有通路增益加起来，即,d表示从输入节点
14、到输出节点的通路增益，这里d=d0，最后得到四个参数矩阵为,例5.5.3 已知系统函数H(z)为,(1)画出H(z)的级联型网络结构； (2)根据已画出的流图写出其状态方程和输出方程。,图5.5.5 例5.5.3图,在延时支路输出端建立状态变量w1(n)、w2(n)和w3(n)(如图5.5.5所示)。写出状态变量 w1(n+1) =-0.5w1(n)+2x(n)w2(n+1)=w1(n+1)-w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)=-1.5w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)+2x(n)w3(n+1)=w2(n)将以上三个方程写成矩阵方程：,输出方程为 y(n)=w2(n
15、+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n) 将上面得到的w2(n+1)方程代入上式，得到： y(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0.11w3(n)+2x(n) 将y(n)写成矩阵方程，即是要求的输出方程。 y(n)=-1.5-0.514-0.11w1(n)w2(n)w3(n)T+2x(n),例5.5.4 已知FIR滤波网络系统函数H(z)为 解画出直接型结构如图5.5.6所示，在延时支路输出端建立状态变量w1(n)、w2(n)和w3(n)。根据参数矩阵中各元素的意义，直接写出状态方程和输出方程如下：,y(n)=a1 a2 a3w1(n) w2(n) w3(n)T+a0x(n
16、),图5.5.6 例5.5.4图,2. 由状态变量分析法转换到输入输出分析法把单输入单输出的状态方程和输出方程重写如下：W(n+1)=AW(n)+Bx(n) (5.5.14)y(n)=CW(n)+dx(n) (5.5.15)将上面两式进行Z变换zW(z)=AW(z)+BX(z) (5.5.16)Y(z)=CW(z)+dX(z) (5.5.17),式中 W(z)=W1(z)W2(z)WN(z)TWi(z)=ZTwi(n)X(z)=ZTx(n)Y(z)=ZTy(n)由(5.5.16)式得到：W(z)=zI-A-1 BX(z) (5.5.18)将上式代入(5.5.17)式，得到：,(5.5.19),
17、例5.5.5 已知二阶网络的四个参数矩阵如下：,求该网络的系统函数。,解,系统频响决定于H(z)的零、极点分布。设H(z)=B(z)/A(z)，其极点为A(z)=0的解。由(5.5.19)式得到：A(z)多项式称为A 矩阵的特征多项式，其根为A矩阵的特征值，因此A矩阵的特征值就是H(z)的极点。如果A矩阵全部特征值的模均小于1，系统因果稳定，否则系统因果不稳定。,(5.5.20),z2-3z+2=0特征值 1=1, 2=2极点 z1=， z2=2将状态方程重写如下：W(n+1)=AW(n)+Bx(n),方程式左端是n+1时刻的状态变量矢量，右端是n时刻的状态变量矢量和输入x(n)的线性组合。由
18、起始值 W(n0)，用递推法求出W(n)的时域解： n=n0时，W(n0+1) =AW(n0)+Bx(n0)n=n0+1时，W(n0+2)=AW(n0 +1)+Bx(n0 +1)=AAW(n0)+Bx(n0)+Bx(n0 +1)=A2W(n0)+ABx(n0)+B x(n0 +1) n= n0 +k时W(n0+k+1)=A k+1 W(n0)+AkBx(n0)+A k-1 Bx(n0+1)+ABx(n0+k-1)+Bx(n0+k),令n=n0+k+1，则,将n换成n，则,(5.5.21),为求单位脉冲响应，将(5.5.15)式中的x(n)用(n) 代替，W(n)用(5.5.21)式中的零状态响
19、应代替，且令 n0=0，此时y(n)=h(n)，得到：,(5.5.22),(5.5.23),例5.5.6 求图5.5.7所示的N阶FIR格形网络的系统函数以及单位脉冲响应。,图5.5.7 例5.5.6图,解 首先建立状态变量w1(n),w2(n),wN(n)，如图所示。这种网络没有反馈支路，直接写出各参数矩阵：,设N=2，则有,将上式进行反变换，得单位取样响应：h(n)=(n)+k1(1+k2)(n-1)+k2(n-2)如果用(5.5.22)式求h(n)，也得到同样的结果，但要求A矩阵的n-1次幂。关于求矩阵的幂，请参考本书附录B。,3. 线性变换下面研究在不改变系统传输函数的条件下，如何对状
20、态变量进行线性变换。设T是NN非奇异矩阵。系统中有N个延时支路。令G(k)=T-1W(k) (5.5.25)G(k+1)=T-1W(k+1)=T-1AW(k)+BX(k)=T-1 ATG(k)+T-1 BX(k) (5.5.26)Y(k)=CW(k)+DX(k)=CTG (k)+DX(k) (5.5.27),按照(5.5.26)式和(5.5.27)式，原来的状态矢量W(k)变成新的状态矢量G(k)，状态参数矩阵为A、B、C和D，即A=T-1 ATB=T-1 BC=CTD=D 经过(5.5.28)式线性变换后的状态方程和输出方程为G(k+1)=AG(k)+BX(k) (5.5.29)Y(k)=CG(k)+DX(k) (5.5.30),(5.5.28),H(z)=CzI-A-1 B +d=CTzI-T-1AT-1 T-1 B+d=CTT-1(zI-A)T-1 T-1 B+d=CTT-1(zI-A)-1 TT-1 B+d=C(zI-A)-1 B+d=H(z),例5.5.7设系统函数H(z)=z-2，画出信号流图如图5.5.8(a)所示。要求在保证H(z)不变的情况下，对状态变量进行线性变换。设T矩阵如下式所示：,解 根据图5.5.8(a)写出z-2的参数矩阵,按照(5.5.28)式，先求出T-1：,图5.5.8 例5.5.7图,
