1、第五章 变换域分析 Analysis of the Transform-Domain,5.1 离散时间傅氏变换 5.2 Z变换与拉氏变换、傅 氏变换的关系 5.3 系统的变换域分析,5.1 离散时间傅氏变换 5.1 Discrete Time Fourier Transforms,系统对复指数序列的稳态响应 设输入序列是频率为 的复指数序列，即x(n)e j n，n 且线性移不变系统的单位冲激响应为h(n)，利用卷 积和 ，得到输出为,可以表示成,其中,(5-1),(5-2),离散时间傅氏变换 如果有一序列x(n)，把类似于式(5-2)的形式,(5-3),称为序列x(n)的傅氏变换。,(5-4
2、a),(5-4b),正变换,反 变 换,正变换式子中的级数收敛条件为,用下列记号表示序列的傅氏变换对,表 5-1 一些常见的DTFT对,例题5-1：求序列 anu(n)，|a|1 的DTFT。,解：,利用几何级数的求和公式得,离散时间傅氏变换的对称性 共轭对称序列定义为满足xe(n)xe*(n) (5-5) 的序列xe(n)，对于实序列，xe(n)xe(n)，即为偶对称序列。 共轭反对称序列定义为满足xo(n)xo*(n) (5-6) 的序列xo(n)，对于实序列，xo(n)xo(n)，即为奇对称序列。 任一序列x(n)总能表示成x(n)xe(n)十xo(n) (5-7),xe(n) 1/2x
3、(n)+x*(n)，xo(n) 1/2x(n)x*(n) (5-8) 一个序列x(n)的傅氏变换X(e j )也可以分解成共轭对称与共轭反对称分量之和，即 X(e j )=Xe(e j )+Xo(e j ) (5-9)Xe(e j )= 1/2X(e j )+X*(e -j ) ， (5-10a) Xo(e j )= 1/2X(e j )X*(e -j ) (5-10b) 若x(n)是实序列，则其傅氏变换X(e j )满足共轭对称性，即X(e j )X*(ej ) (5-11)X*(e j )X(ej ) 得出ReX(e j )ReX(ej ) (5-12a)ImX(e j )ImX(ej )
4、 (5-12b),表示成极坐标形式，,对实序列x(n)来说，必有|X(e j)|X(ej)|幅度是的偶函数 (5-13a) argX(e j)argX(ej) 幅角是的奇函数 (5-13b),表 5-2 离散时间傅氏变换的主要性质,x(n)为实序列,5.2 Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系 5.2 Relations between the Z-Transform and the Laplace Transform,between the Z-T and the Fourier Transform,采样信号的 Z变换,连续时间信号拉氏变换,采样信号的拉氏变换,Z变换与拉氏变换之间的关系,连续时
5、间信号为xc(t)，理想采样后的采样信号为xs(t)，它们的拉氏变换分别为,将上章的式(4-5),代入上式可得,(5-14),采样序列x(n)xa(nT)的Z变换为,当z=esT时,(5-15),复变量s平面到复变量z平面映射关系为zesT，s1/T lnz (5-16),z用极坐标表示，s用直角坐标表示，得到z=re j =esT，即z= e(+j )T=eTe j T,采样信号的Z变换等于采样信号的拉氏变换,根据式(4-5) 的时域采样，其拉氏变换为Xc(s)在s域沿j 轴的周期延拓，,(5-17),将式(5-17)代入式(5-15)中，可得,(5-18),(1) r与的关系，reT a.
6、 0对应于r1； b. 0对应于r 1，其映射关系见图5-1,图5-1 与r映射关系图,(2) 与 的关系， T a. 0对应于 0； b. 0对应于 0T； c. 由 /T 到 /T，对应于由到，见图5-2。,图5-2 s平面与z平面的多值映射关系,序列的Z变换和傅氏变换之间的关系,(5-19),用sj 及ze j T代入式(5-18)，可得,(5-20),ze j (5-21) 数字频率和模拟角频率 (在s平频面上)的关系为 T (5-22),将(5-22)式代入(5-20)式可得,(5-23),序列在单位元上的Z变换为序列的傅氏变换,1、当z=esT时，采样信号的Z变换等于采样信号的拉氏
7、变换。（ s平面上多个不同的点映射到z平面上一个相同的点）。 2、采样信号的拉氏变换为其对应的连续时间信号的拉氏变换沿着虚轴的周期延拓，周期为2 /T。 3、由以上1，2可知，当z=esT时，采样信号的Z变换为其对应的连续时间信号的拉氏变换沿着虚轴的周期延拓，周期为2 /T。 4、傅氏变换为拉氏变换在虚轴上的特例，因此采样信号的傅氏变换等于采样信号在虚轴上的拉氏变换。 5、采样信号在虚轴上的拉氏变换等于采样信号在单位圆上的Z变换。 6、由4，5可知，采样信号在单位圆上的Z变换等于采样信号的傅氏变换。即等于其对应的连续时间信号的傅氏变换的周期延拓，周期为2 /T。,5.3 系统的变换域分析 5.
8、3 Analysis of the Transform-Domain of System,若一个系统是线性移不变系统，单位冲激响应为h(n)，则该系统在时域中的输入输出可以用卷积的形式表示为y(n)x(n)*h(n) (5-24)对等式两边取Z变换，得Y(z)H(z)X(z)那么H(z)Y(z)/X(z),系统函数与频率响应 H(z)称为线性移不变系统的系统函数，它是单位冲 激响应h(n)的Z变换，即,(5-25),取ze j ，即进行序列的傅氏变换，可以得到H(e j )Y(e j )/X(e j ) (5-26)把H(e j )称为线性移不变系统的频率响应，H(e j )=|H(e j )
9、|ejargH,对于一个线性移不变系统，可以用常系数线性差分 方程描述,如果系统的起始状态为零，那么对上式两边取Z变换，并利用Z变换的移位性，得,(5-27),例题5-2：有一线性时不变系统的系统函数是,求出满足该系统输入输出的差分方程。,解：分子和分母的各因式展开，得,其差分方程为,于是,理想频率选择性滤波器,由式(5-26) ，可得,Y(e j )X(e j )H(e j ) (5-29),理想低通滤波器,单位冲击相应,理想高通滤波器,单位冲击相应,系统的稳定性和因果性,系统的稳定性,当|z|1时，这个条件等价于,因果系统的单位冲激响应是因果序列，即，n0 时，h(n)=0。所以因果系统H
10、(z)的收敛域为Rx|z|，,系统的因果性,可实现系统,可实现系统是指一个系统既是稳定的又是因果的系统。由系统的稳定性和因果性可以得出，一个稳定的、因果的系统，其系统函数H(z)必须在从单位圆到的整个z域内收敛，即1|z| (5-30),例题 5-3： 假设输入输出通过下述差分方程表示的系统,确定该系统的可能收敛域ROC。,解：首先对该差分方程的两边取Z变换，得,H(z)的零极点见图5-3。有三种可能的ROC： 因果系统，|z|2； 稳定系统，1/2|z|2； 既不是稳定的也不是因果系统， |z|1/2。,图5-3 例5-3的零极点图,可逆系统 对于系统函数H(z)为LTI系统，它的可逆系统定
11、义 为：系统函数为G(z)且使 H(z)G(z)=1 的系统。根据 H(z)，可逆系统可以简单地表示为,有理系统函数的单位冲激响应,具有有理系统函数的的LTI系统可写,假设它只有一阶极点，且对所有的k和m，有dkcm。如果N M，H(z)可用部分分式展开,如果系统还是因果的，那么其单位冲激响应为：,当 时，则用部分分式展开为：,如果系统是因果的，那么其单位冲激响应为：,如果 ，那么全部 ，因此 只有零点：,并且 是有限长的序列，为：,这样的系统称为有限长单位冲激响应系统（或滤波器），这种系统在有限z平面上不能有极点。,如果N0，说明 至少有一个不等于零（k=1,2N），那么在有限z平面就会出现
12、极点，这时对其进行逆变换，得到的h(n)是无限长的。这样的系统称为无限长单位冲激响应系统（或滤波器）。,把 归一化为 ，系统函数可以表示为：,那么该系统的差分方程表达式变为：,当 时，需要将y(n)进行延迟为y(n-k)，结构上实际被反馈回来，因而有反馈回路，这种结构称为“递归型”结构。,有理函数系统的频率响应,根据式(5-27) ，对于任意输入，离散时间线性移不 变系统的频率响应为Y(e j )X(e j )H(e j ) (5-32) 得输出序列为,(5-33),(5-34),用ze j代入，得到系统的频率响应为,(5-35),(5-36),(5-37),其相角,其模值,在z平面上，可以把
13、由原点指向cm、dk点的复变量cm、dk表示成相应的矢量cm（m1，2，M）和dk（k1，2，N）（见图5-4），e j-cm用由零点cm指向e j的矢量Cm表示，即e jcmCm， e jdk用极点dk指向e j点的矢量Dk来表示e j dkDk，,(5-38),(5-39),从式(5-36)和式(5-37) 得到频率响应的模和相位为,图 5-4频率响应的 (a)几何解释和(b)频率响应的幅度,a几何解释,b频率响应的幅度,离散时间系统的频率响应包含了幅频响应和相频响应两部分。幅频响应反映了信号x(n)通过该系统后各个频率成分衰减的情况，而相频响应反映了x(n)中各频率成分通过该系统后在时间
14、上发生的位移情况。一个理想的离散时间系统，除了具有所希望的幅频响应外，最好还能具有线性相位。,系统的相位特性,相位的失真和延迟,理想延迟系统，用于说明一个线性系统相位的影响，其单位冲激响应为,相应的频率响应为,或者,当信号x(n)通过该系统后，其输出y(n)的频率特性：,所以,线性相位系统,一个系统的群延时可以定义为系统的相位对角频率的导数负值，即,如果一个线性移不变系统的频率响应有如下的形式,h()=,如果一个系统的频率响应有如下形式,则称这个系统具有广义线性相位。,线性相位条件：具有有理函数的因果系统，要使它具有线性相位，其单位冲激响应必须为有限长。一个FIR滤波器，具有长度为N的实值单位
15、冲激响应h(n)，它有广义线性相位的充分条件是它的单位冲激响应h(n)具有对称性，见图5-5。,图5-5 h(n)偶对称图和h(n)奇对称图,偶对称h(n)h(N1n)，0nN1 (5-41) 奇对称h(n)h(N1n)，0nN1 (5-42) 其对称中心在n=(N1)/2处，那么滤波器就具有准确 的线性相位。 当h(n)是偶对称时，,(5-44),(5-45),相位函数argH(e j)是严格的线性相位，如图5-6所示，说明滤波器有(N1)/2个抽样的延时，它等于单位冲激响应h(n)的长度的一半。,图5-6 h(n)偶对称时的线性相位特性图,当h(n)为奇对称时，,(5-46),(5-47)
16、,因此,相位函数为,(5-48),I 型线性相位滤波器 一个I型线性滤波器有一偶对称的单位冲激响应，即h(n)h(N1n)，0nN1，N为奇数。 由式(5-44),幅度函数,可表示成,(5-49),(5-50),其中,II型线性相位滤波器,一个II型线性滤波器有一偶对称的单位冲激响应，即，h(n)h(N1n)，0nN1，N为偶数。与h(n)为偶对称、N为奇数情况的讨论一样，得到,(5-51),(5-52),其中,III型线性相位滤波器 一个III型线性滤波器有一奇对称的单位冲激响应， 即，h(n)h(N1n)，0nN1， N为奇数。 与上述讨论相仿，得到,(5-53),(5-54),其中,IV
17、型线性相位滤波器一个IV型线性滤波器有一奇对称的单位冲激响应，即 h(n)h(N1n)，0nN1， N为偶数。,(5-55),(5-56),其中,线性相位滤波器的零点分布 线性相位滤波器FIR的系统函数满足H(z)= z (N 1)H(z 1) (5-57),图5-7 具有广义线性相位合实单位冲激响应的FIR滤波器系统函数的零点约束。III型和IV型结构在z1必须有一零点，而II型和III结构在z1必须有一零点,最小相位系统,一个稳定的、因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定的、因果的，那么称这个系统为最小相位系统。,性质一,性质二,最小群延迟,最小能量延迟,1、在傅里叶变换 H(ejw) 相同
18、的所有系统中，最小相位系统具有最小的相位滞后，即它有负的相位，相位绝对值最小； 2、按照帕塞瓦定理由于傅里叶变换幅度相同的各系统的总能量应当相同，但最小相位延时系统hmin(n)的能量集中在n=0附近，一般系统的能量集中在n0处，也就是说如果hmin(n)，h(n)是N点有限长序列（n=0,1,2,N-1），则有3、由上一条关系可得出，对相同傅里叶变换幅度的个序列，最小相位序列的hmin(0)最大;4、在幅度响应 相同的系统中，只有唯一的一个最小相位延时系统； 5、利用级联全通函数的办法，可将最小相位系统的零点反射到单位圆外，而构成幅度响应相同的非最小相位延时系统。,全通系统,全通系统是指系统
19、频率响应的幅度在所有频率下均为1或某一常数的系统，即,简单的一阶全通系统的系统函数为,(5-58),(5-59),全通系统的应用： 1、任何一个因果稳定（非最小相位延时）的系统H(z)都可以表示成全通系统Hap(z)和最小相位延时系统Hmin(z)的级联，即：2、如果设计出的滤波器是非稳定的，则可用级联全通函数的办法将它变成一个稳定的滤波器；3、可以作为相位均衡器（群延时均衡器）用。IIR滤波器其相位特性是非线性的，因而群延时不为常数，而在视频信号的传输中希望系统具有线性相位，因而采用全通滤波器作为相位均衡器，来校正系统的非线性相位，以得到线性相位，同时又不改变系统的幅度特性。,例题5-4：将
20、系统函数,表示成全通系统Hap(z)和最小相位延时系统Hmin(z)的级联。,解：首先将H(z)的在单位圆外的零点z=3映射到它在单位圆内的共轭倒数点z=1/3上，即形成Hmin(z)为,把z=1/3处的零点映射回到单位圆外z=3上，即采用全通滤波器,因此有,例5-5 ：设一阶因果系统的差分方程为y(n)x(n)+ay(n1)，|a|1，a为实数 求出该系统的频率响应、单位冲激响应，同时指出 它是FIR还是IIR系统？并画出相应图形。解: 对差分方程的两端取Z变换，可求得,其单位冲激响应为h(n)=anu(n),而系统的频率响应为,即,幅度响应为,相位响应为,由看出此系统的冲激相应是无限长的序列，一阶系统特性见图5-8。,图5-11 一阶系统的特性 (a) 幅度响应；(b) 幅度响应(dB)；(c) 相位响应；(d) 群延时；(e)零极点分布；(f) 冲激响应(0a1)；,第五章 到此结束,谢 谢,
