1、平面向量应用举例,授课人：曾超,2.5.1平面几何中的向量方法,向量的线性运算（加法、减法、数乘）和数量积运算都具有鲜明的几何意义。 平面几何的许多性质：如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来。 因此，我们可以用向量的方法来解决平面几何中的一些问题。,例平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图1 AC=AB+AD，DB=AB-AD，你能发现平行四边形对角线的 长度与两条邻边长度之间的关系吗？,D,A,C,B,a,b,D,A,B,C,图1,图2,方法二： 作CEAB，DFAB于F， 则RTADF RT BCE， 所以AD=BC，AF=BE， 由于AC =AE
2、 + CE =（AB +BE）+CE =AB +2ABBE+BE +CE =AB +2ABBE+BC BD=BF + DF =（AB-AF）+DF =AB -2ABAF+ AF+ DF =AB -2ABAF+ AD =AB -2ABBE+ BC 所以AC +BD =2（AB +BC ）,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍,D,A,C,F,B,E,方法三： 以AB所在直线为X轴，A为坐标原点建立直角坐标系，设B(a,0),D(b,c)则C(a+b,c) |AC| =(a +b
3、) +c =a +2ab +b +c |BD| =(a -b) +c =a -2ab +b +c |AC| +|BD| =2a +2( b +c )=(2|AB| +|AD| ),2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,y,x,A,B(a,0),D(b,c),C(a+b,c),2,2,2,2,2,2,向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的联系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。,例：如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、
4、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？,分析：由于R、T是对角线AC上的两点，要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可。可以根据“三步曲”来进行解答： 第一步，用向量表示问题中的几何元素 第二步，通过向量计算，研究几何元素关系 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系,D,A,B,C,R,T,E,F,例3：已知：如图，AC为O的一条直径， ABC是圆周角，求证：ABC为直角。,分析：要证 ABC是直角，即只需要证明ABBC可转化为向量问题进行证明。,A,C,B,O,例4：用向量证明三角形的三条高线交于一点 已知：如图1，ABC边上的高线分别为AD、BE、CF 求证：三条高线AD、BE、CF交于一点。,A,B,C,F,D,E,A,B,C,D,F,E,H,图1,图2,
