1、第3章 离散时间信号与系统的频域分析,本章主要内容: 3.1 序列傅里叶变换的定义及性质 3.2 序列的Z变换 3.2.1 Z变换的定义 3.2.2 几种序列的Z变换及其收敛域 3.2.3 逆Z变换 3.2.4 Z变换的性质和定理 3.2.5 序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系 3.3 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 3.3.1 传输函数与系统函数 3.3.2 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 3.3.3 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性,3.1.1 序列傅里叶变换的定义,3.1 序列傅里叶变换的定义及性质,（3-1）,2.FT的反变换,(3-3),
2、1.FT,3.推导过程 用 乘（3-1）式两边，并在 内对 进行积分，得到：,因此,(3-3),一般为复数，可用它的实部和虚部表示为,其中,4. 的表示方法,或用幅度和相位表示为:,例3-1 求信号,的傅里叶变换。 解,图3-1 例3。1中信号的傅里叶变换的模和相位,序列傅里叶变换具有以下两个特点：,(1),是以,为周期的,的连续函数。这是因为,所以从式（3-1）可得出,。 (2) 当,为实序列时，,的幅值,在,区间内是偶对称,是奇对称函数,函数，相位,并不是任何序列,的傅里叶变换都是存在的。,满足绝对可和的条件，即,时，式(3-1)中右边的级数才是绝对收敛的，或序列,的傅里叶变换才存在。,5
3、.序列傅里叶变换存在的充分条件,只有当序列,3.1.2 序列傅里叶变换的性质,1序列的傅里叶变换的线性 设,F,，,F,，则,F,2序列的移位 设F,，则,F,3序列的调制 设F,，则,F,4序列的折叠 设F,5序列乘以n设F,F,6序列的复共轭设F,，则,，则,F,，则,F,F,7序列的卷积 设F,F,F ,=,8序列相乘 设F,F,9序列的傅里叶变换的对称性,(1) 共轭对称序列,，定义为,共轭反对称序列,，定义为,(2) 共轭对称序列的性质:,对其两边取共轭，则,再将,代入，则,根据定义，则,，,说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。特殊地，如果是实
4、序列，共轭对称序列就是偶对称序列。,对共轭反对称序列，同样有：,，,，,，,根据定义，则,说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数），而虚部是偶对称序列（偶函数）。特殊地，如果是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。,(3) 任一序列可表示为共轭对称序列与共轭反对称序列之和，即,其中,序列的傅氏变换也可表示为共轭对称分量与共轭反对 称分量之和，即,其中,(4) 序列的实、虚部与其傅里叶变换共轭对称分量和共轭反对称分量的关系：,（a）序列的实部的傅里叶变换等于其傅里叶变换的共轭对称分量，即F,。,（b）序列的虚部的傅里叶变换等于其傅里叶变换的共轭反对称分量，即F,（c）序列的共轭对称分量的傅
5、里叶变换等于其傅里叶变换的实部，即F,（d）序列的共轭反对称分量的傅里叶变换等于其傅里叶变换的虚部再乘以j。即F,(5) 特殊地，序列,为实序列的情况：,（a）,为偶序列、偶对称序列、偶函数；,为奇序列、奇对称序列、奇函数。,，,（d）F,即序列翻褶后的傅里叶变换,（b）,（c）,等于其傅里叶变换的共轭。,实序列傅里叶变换的虚部是关于,的奇函数，即,的偶函数，即,（f）实序列傅里叶变换的模是关于,的偶函数，即,其幅角是关于,的奇函数，即,（g）实序列还有如下性质：,F,F,实序列傅里叶变换的实部是关于,（e）,表3-1 序列的傅里叶变换的有关性质,续表3-1,3.2 序列的Z变换,信号与系统的
6、分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法1.连续时间信号与系统：信号的时域运算，时域分解，卷积积分等。2.离散时间信号与系统：序列的变换与运算，卷积和，差分方程的求解。,二.变换域分析法1.连续时间信号与系统：信号与系统的频域分析、复频域分析。2.离散时间信号与系统：Z变换，DFT(FFT)。Z变换可将差分方程转化为代数方程。,3.2.1 Z变换的定义,一、Z变换定义：序列的Z变换定义如下：,*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。,1. 定义:使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的集合称作X(z)的收敛域。,2. 收敛条件：X(z)收敛的充要条件是绝对可和。,3.2.2 几种序列
7、的Z变换及其收敛域,3. 一些序列的收敛域 (1)预备知识阿贝尔定理:如果级数 ，在 收敛,那么,满足0|z|z+|的z,级数必绝对收敛。|z+|为最大收敛半径。,同样,对于级数 ，满足的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。,(2)有限长序列,(3) 右边序列,*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数。,收敛域,第一项为有限长序列,其收敛域为0|z|; 第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,其收敛域为 Rx-|z|; 两者都收敛的域亦为Rx-|z|;Rx-为最小收敛半径。,(4)因果序列它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔定理可知收敛域为：,(5)左边序列,第二项为有限长序列,
8、其收敛域 ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,其收敛域为 ;为最大收敛半径 .,双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。,(6)双边序列,第二项为左边序列，其收敛域为：,第一项为右边序列(因果)其收敛域为：,当Rx-Rx+时，其收敛域为,其收敛域应包括即 充满整个Z平面。,例3-2 求序列 的Z变换及收敛域。解：这相当 时的有限长序列，,当 时，这是无穷递缩等比级数。,例3-3 求序列 的Z变换及收敛域。解：,*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。,收敛域：,例3-4 求序列 变换及收敛域。,同样的，当|b|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。,收敛域：
9、,*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。,3.2.3 逆Z变换一、定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。,z变换公式：,C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.,0,c,1.留数法由留数定理可知：,为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点，Res 表示极点处的留数。,二、求Z反变换的方法,例3-5 已知,解:1）当n-1时, 不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点 因此,，求z反变换。,2）当n-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点:,
10、2.部分分式法有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分式的“部分分式”。,通常，X(z)可表示 成有理分式形式：,因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，MN时，才存在Bn，Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为：,的z反变换。,例3-6 利用部分分式法，求,解：,分别求出各部分分式的
11、z反变换，然后相加即得X(z)的z反变换。,3.幂级数展开法(长除法)因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。如收敛域为|z|Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。若收敛域|Z|Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成Z的正幂级数。,例3-7 试用长除法求 的z反变换。,解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序列，极点z=4对应左边序列(双边序列),*双边序列可分解为因果序列和左边序列。 *应先展成部分分式再做除法。,3.2.4 Z变换的性质和定理如果 则有：,*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者
12、重叠部分。,1.线性,例3-8 已知 ,求其z变换。,解：,2. 序列的移位,如果 则有：,例3-9 求序列 x(n)=u(n)-u(n-3) 的z变换。,3. Z域尺度变换(乘以指数序列),如果,，则,证明：,4. 序列的线性加权(Z域求导数),如果,，则,证明：,如果,，则,另一种形式：,5. 共轭序列,如果,，则,证明：,6. 翻褶序列,如果,，则,证明：,7. 初值定理,证明：,8. 终值定理,证明：,又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故 因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在 上收敛。所以可取z 1的极限。,9. 有限项累加特性,证明：,10.序列的卷积和
13、(时域卷积定理),证明：,例3-10,解：,11.序列相乘(Z域卷积定理),其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）,例3-11,解：,12.帕塞瓦定理(parseval),其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。（证明从略）,如果,则有:,*几点说明：,3.2.5 序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系,一、Z变换与拉氏变换的关系 1.理想抽样信号的拉氏变换 设 为连续信号， 为其理想抽样信号， 则,序列x(n)的z变换为 ，考虑到 ,显然，当 时，序列x(n) 的 z 变 换就等于理想抽样信号的拉氏变
14、换。,2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系）S平面用直角坐标表示为：Z平面用极坐标表示为：又由于 所以有：,因此， ;这就是说，Z的模只与S的实部相对应,Z的相角只与S虚部相对应。,=0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆；,0,即S的左半平面 r1,即Z的单位圆内；,0, 即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外 。,(1) r与的关系,= 0，S平面的实轴，= 0，Z平面正实轴； =0(常数)，S:平行实轴的直线; = 0T, Z:始于原点的射线； S:宽 的水平条带， 整个z平面.,0,jImZ,ReZ,(2) 与的关系（=T）,二、Z变换和傅氏变换的关系,连续信号经理想抽样
15、后,其频谱产生周期延拓，即我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此,这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等于理想抽样信号傅氏变换。用数字频率作为Z平面的单位圆的参数，表示Z平面的辐角，且 。,所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。,3.3 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,3.3.1 传输函数与系统函数,（1） 对,进行傅里叶变换得到,一般称,为系统的传输函数，它表征系统的,频率特性。,（2） 对,进行Z变换，得到,，一般称,的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶 差分方程，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式,为系统,传输函数与
16、系统函数的关系：,与,之间关系如下式：,说明单位圆 上的系统函数就是系统的传输 函数。,一线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和：|h(n)|。z变换H(z)的收敛域由满足|h(n)z-n|的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有|h(n)| ，即系统稳定；也就是说，收敛域 包括单位圆的系统是稳定的。 因果系统的单位抽样响应为因果序列， 其收敛域为R+|z|；而因果稳定系统的系统函数收敛域为 1|z|，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。,3.3.2 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性,例3-12 已知,，分析其因果性和稳定性。,的极点为,，,如图3-15所示。 (
17、1)收敛域,，对应的系统是因果系统，,，对应的系统是非因果且不稳定,，对应的系统是一个非因果系统，,解:,但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。,(2)收敛域,(3)收敛域,系统。,但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其 单位脉冲响应 ，这是一个收敛的双边序列，如图3-15(a)所示。,的三种收敛域中，前两种系统不稳定，不能选用； 最后一种收敛域，系统稳定但非因果，还是不能具体实现。 因此严格讲，这样的系统是无法具体实现的。但是我们利 用数字系统或者说计算机的存贮性质，可以近似实现第三 种情况。,3.3.3 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性,1.频响的零极点表达式,模：,相角：
18、,2.几点说明(1) 表示原点处零极点，它到单位圆的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只是给出线性相移分量(N-M)。(2) 单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的位置与深度有明显影响，当零点位于单位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆 外。(3) 单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。,零点在单位圆上0, 处；极点在 , 处 。,。,。,例3-13 已知,，分析其频率特性。,，可知极点为,，幅度特性,，相位特性,用几何方法也容易确定，当,转到,矢量的长度始终为1。由该例可以得到结论，处于原点处 的零点或极点，由于零点矢量长度或者是极点矢量长度 始终为1，因此原
19、点处的零极点不影响系统的频率特性。,解 由,，频响如图3-17所示,时，极点,例3-14 设一阶系统的差分方程为,用几何法分析其幅度特性。 解 由系统差分方程得到系统函数为,式中，,，系统极点,，零点,，当,点从,逆时针旋转时，在,点，由于极点,时形成波谷。,处零点不影响频响。极零点分布及幅度特性,矢量长度最短，形成波峰。在,如图3-18所示。,图3-18 例3-14插图,例3-15 已知,，试定性画出系统的幅频特性。,解,的极点为,，这是一个N阶极点，它不影响,系统的频响。零点有N个，由分子多项式的根决定,N个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点 分布如图3-19所示。当,从零变化到 时,每遇到,一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大， 形成峰值。幅度谷值点频率为：,一般将具有如图3-19所示的幅度特性的滤波器称为 梳状滤波器。,图3-19 梳状滤波器的极、零点分布及幅度特性,
