1、第12章,应力和应变分析和强度理论,12-1 应力状态概念 一 一点的应力状态1 一点的应力状态概念.,2 一点的应力状态的表示方法 (1)空间应力状态:9个分量6个独立. (2)平面应力状态:4个分量3个独立. (3)单向应力状态:1个分量.,一点的应力状态: 一个点各个方向面上的应力情况,面的概念: 过一点哪个方向面上的的应力.,点的概念:指明是哪点的应力,二 主平面和主应力主平面:单元体上无剪应力作用的方向面.主应力:主平面上的正应力.约定 1 2 3 主方向:主平面外法线方向.或平行于主应力的方向.,三 应力状态分类按主应力不为零个数划分为:简单应力状态:单向应力状态1个主应力不为零.
2、复杂应力状态:二向应力状态2个主应力不为零.三向应力状态3个主应力不为零.,12-2 二向和三向应力状态实例,圆形薄壁容器(tD/20) 其内压为p,筒底总压力,为二向应力状态 “= 1 = 2,12-3 二向应力状态分析解析法 1 斜截面上的应力,N =0, dA+xy dAcossin-xdAcoscos+yx dAsincos- y dAsin sin=0,T=0, dA-xy dAcoscos-xdAcossin+yx dAsin sin+y dAsin cos =0,T=0, dA-xy dAcoscos-xdAcossin+yx dAsin sin+y dAsin cos =0,N
3、 =0, dA+xy dAcossin-xdAcoscos+yx dAsincos- y dAsin sin=0,2 主平面和主应力,代入斜截面公式,求得主应力,令,取主方位角 0和0 +/2,直接判定法: 把单元体对称分为四个象限,剪应力箭头所指 交线象限内的主方位角对应的主应力为极大值,另一个为极 小值.,主方位角和主应力的对应关系 的判定方法直接判定法,3 极大极小剪应力及其所在平面,取极大极小剪应力所在平面方位角1和1+/2,令,代入斜截面公式,求得极大极小剪应力,4 讨论 (1),(2),(3),12.4 二向应力状态分析图解法1 应力圆(莫尔圆),二式平方,称为应力圆方程,也称为莫
4、尔圆.其中,为变量.,相加得,2 应力圆的画法,确定x平面及其应力大小所在位置D按比例量取OA=x,AD=xy,确定D点.,(2) 确定y平面及其应力大小所在位置D按比例量取OB=y,BD=yx,确定D点.,(3) 确定圆心位置,画应力圆连接DD交轴于C,以为CD半径画应力圆.,D(xxy),D(yyx),C,A,B,O,E(),F,圆心座标,半径,1,2,已知: x=80MPa, y=-40MPa,xy=-60MPa,yx=60MPa. 求:(1) 画出单元体;(2) 主应力; (3) 主方向.,解:(1)画出单元体,(2)解析法,0 = 22.50或者 112.50,主单元体图示,(3)图
5、解法 作应力圆图示 量得 1=105MPa, 3 = -65MPa,0 = 22.50 或者 112.50,任意形状的薄平板（厚度为常数）周边受法向 压力q（N/m2)。试证明其内部任一点均处于均 匀受压状态。,解：取三角形单元图示,12.5 三向应力状态 一 应力圆方程,设斜面法线n的三个方向余弦为l,m,n 且 l2 + m2 + n2 =1 (1),FX=0, pxdA -1ldA = 0 FY=0, pydA 2mdA = 0 FZ=0, pzdA 3ndA = 0,px = 1l py = 2 m pz = 3 n,又有,总应力,(1)(2)(3)联立求解得到应力圆方程,作应力圆图示
6、,二 应力圆,1 三个圆周交于一点,交点座标就是斜截面上的应力.,2 三个应力圆的区域 (1)l2(1-2)(1-3)0 第一个应力圆方程半径大于和 它同心的圆周(绿色).,(2)m2(2-3)(2-1)0 第二个应力圆方程半径小于和 它同心的圆周 (红色).,(3) n2(3-1)(3-2)0 第三个应力圆方程半径大于和它同心的圆周 (黄色).,3 最大最小正应力,4 主剪应力,三个圆周围成的区域中任一点D 表示任意斜截面上的应力.,12.6平面应变状态分析 一 平面应变状态分析,在xoy座标下应变为 x y xy 旋转角度 在xoy座标下应变为,比较转轴公式,比较斜截面应力公式,三套公式类
7、似,二 主应变和主应变方向主应变,主应变方向,三 应变的实测实测中xy不易测定,可先测定三个选定方向的线应变计算,联立解出x y xy,实测中常用的有 直角应变花和等应变花,12.7 广义胡克定律1 广义胡克定律,=,+,棱边改变线应变,角度改变剪应变,以上六式称为广义胡克定律,形状改变,其中,求: 梁上的载荷P.,解:K点为纯剪切应力应力状态,已知:No.27a工字钢简支梁,在中性层的K 点与轴线 成 方向贴有应变片.,K点为纯剪切应力应力状态,根据广义胡克定律,4 体积应变,变形前体积 V=dxdydz,变形后体积 V1=(1+1)(1+2)(1+3)dxdydz(1+1+2+3)dxdy
8、dz,称为体积应变,令,-体积弹性模量,-平均应力,单位体积改变,直径D40mm的铝圆柱，放置在一厚度为2mm的钢套筒 内，二者之间无间歇。圆柱受压力F40kN.若铝的弹性模 量E270GPa,钢的弹性模量E1200GPa, 泊松比0.35。 试求圆筒内的周向应力。,解：圆筒的平均直径,圆筒的直径增加,铝圆柱为三向压应力状态,铝圆柱的径向应变,铝圆柱的直径增加,解得：,钢筒的周向应力为,简单应力状态比能,三向应力状态比能,12.8 复杂应力状态的变形比能,体积改变比能,形状改变比能,例 导出各向同性线性材料常数E, G,之间的关系. 解: 纯剪切时 1= 2=0 3=-变形比能,三向应力状态比
9、能,两式相等,12.10 强度理论概述,一 材料的破坏形式,(1) 塑性屈服,(2) 脆性断裂,如:拉伸低碳钢,压缩铸铁.,如:拉伸铸铁,扭转铸铁.,二 应力状态对材料破坏形式的影响,(1) 拉伸带切口的低碳钢,发生脆性断裂的原因: 切口尖端材料处于三向拉应力状态.,(2)压缩加围压的大理石,发生塑性屈服的原因: 材料处于三向压应力状态.,应力状态的改变会影响会影响同一种材料的破坏形式.,结论:,极限应力u和u是直接由实验测得,而建立的强度条件.不考虑材料破坏的原因.,(1) 提出假说例如:常用的四个强度理论就基于如下假说a 材料的某一破坏是由某一特定因素引起的.b 无论是简单应力状态还是复杂
10、应力状态下,某种类型的破坏是由同一因素引起的.于是可以用简单应力状态下的结果建立复杂应力状态下的强度条件.,(2) 建立强度准则,(3) 实践检验,三 强度条件的建立,1 简单应力条件下的强度条件,2 复杂应力条件下的强度条件,12.9 常用的四个强度理论,实用范围:脆性材料,如铸铁,陶瓷,工具钢等.,1 最大拉应力理论(第一强度理论),强度条件,引起材料破坏的主要因素:,实用范围:脆性材料,如合金,铸铁,石料等. 脆性材料在二向压缩和二向拉伸情况下此理论误差较大.,2 最大伸长线应变理论(第二强度理论)引起材料破坏的主要因素: max= 1= u,简单应力状态下,复杂应力状态下,强度条件,实
11、用范围:塑性材料,如A3,45钢,銅,铝等.,引起材料破坏的主要因素:,简单应力状态下,复杂应力状态下,强度条件,3 最大剪应力理论(第三强度理论),实用范围:塑性材料,如A3,45钢,銅,铝等.,4 形状改变比能理论(第四强度理论)引起材料破坏的主要因素:,简单应力状态下,复杂应力状态下,强度条件,1 =s 2 =0 3=0,5 相当应力,其中 i = 1、 2 、 3 、 4,试按强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件,并寻求许用剪应力与许用拉应力之间的关系.,解:纯剪切实为二向拉压应力状态:1= 2=0 3=-,脆性材料,第一强度理论,第二强度理论 1-(2+ 3) ,取=0.25, =(
12、0.8-1.0),+ =(1+) ,1= ,第三强度理论, =0.5 ,第四强度理论, 0.6 = 0.6, =(0.5-0.6),塑性材料,1- 3 + = 2 ,9.9 莫尔强度理论,莫尔强度理论:综合实验结果建立的强度理论.,包络线,包络线,包络线,包络线,用有限试验数据近似确定的包络线,可以得到:,莫尔强度理论的强度条件,莫尔强度理论的强度条件的相当应力,抗拉压相等的材料,成为第三强度理论,分别与单向拉伸和压缩实验结果吻合.,T型截面铸铁梁.t=30MPa ,c=60MPa, Iz=763cm3, y1=52mm,y2=88mm.试全面校核梁的强度.,解:1作剪力图和弯矩图,用莫尔强度理论校核截面B上b点的强度,12.7(c) 12.8(b)(d) 12.9 12.11 12.14 12.17( 应为 )*12.21(莫尔定理),作业,
