泛函分析.doc

1、泛函分析题库建设填空题（120 个空）一、填空题（120 个空）1、在度量空间 的定义中， 不等于 集，距离 应满足 ； ； 三个条,dXXd件，度量空间 的完备的充要条件是 。2、设 是两个线性空间，若存在 到 的双射 满足条件： ； ；则称 为Y, YTT到 同构映射，这时 两个空间 同构。XX,3、在赋范线性空间 中，对于 中的任意两个元素 ，由范数导出的距离 ；完yx, ),(yxd备的赋范线性空间称为 空间。4、设 是两个赋范线性空间， 是 的线性子空间 到 中的线性算子，集合YX, TX)(TDY称为线性算子 的 。如果 是 中的闭集，),(|)(xyDxyTG )(TGYX则称

2、是 算子。5、设 施一个内积空间，若 ，则 直交的充要条件是 ；若XX,y与，则 与 直交的充要条件是 ；若 ，则 直交的充Nx,x XNM,与要条件是 。6、在离散空间 中， 两点的距离 ； 空间中两点 的距离Xy, ),(yxd,baCyx,；在有界函数空间 中，两点 的距离 ；),(yxdAByx,)(yxd7、巴拿赫空间中的基本定理有 定理； 定理； 定理； 定理。8、在复内积空间 中，内积具有如下三个基本属性 ； ； X；9、设 是两个线性空间， 是 的线性子空间 到 中的映射，若 以及数Y, TX)(TDY)(,TDyx满足 ； ；则称 为 到 中的线性算子， 称为 )(的 ； 称

3、为 的 域。TY10、设 为度量空间， ，集合 称为 ；又若 ，),(dXXx0 ),(|0xdXx XM则 称为 ；若 ，称 为 集。),(sup,yMyx )(M11、设 是度量空间， 。若 ，则称 中 ；当 时， 称BA,A在BAB为 的一个 集。若 有一个 子集，称 可分。XXX12、设 是线性空间， 是一给定的数。若对任何 ，令 ，则线性算子 称为 xxTT算子；当 称为 算子；当 称为 算子。 ，令T时1时0,baCx， 称为 算子。)()(txT13、 是实（或复）的线性空间。如果对每个向量 ，有一个确定的实数 与之对应，且满XXxx足 ； ； ；则称 为向量 的 x； 称为 空

4、间。),(14、设 是两个非空集合。 是 到 中的映射。如果 ， 为数集，称 为 YX, TXYnRXYT；若 为一般非空集合， 为数集，称 为 ；若 ， 都为一般非空集合，称为 。T15、设 是两个度量空间。 是 到 中的映射， ，若 ，当),(dYTYx0 0,，且 时均有 ，称 在 处 。若 ，Xx0x),(0x Xyx成立，称 为 映射。又若 是 到 中的映射，如果存在一个数),(),(yTd TX， ， ，则称 为 映射。1x),(),(yxdT16、设 是两个赋范线性空间， 是 的线性子空间 到 中的线性算子，如果存在常数YX, X()DY，使对 ，有 ，则称 是 到 中的有界线性

5、算子， 为 上c TTX有界线性算子的充要条件是 。17、设 为赋范线性空间 的子空间 到赋范线性空间 中的线性算子，则 = TX()Y；= = 。18、设 为希尔伯特空间 到 的有界线性算子，如果 ；称 为 上的自伴TX算子，若 ，则称 为 上的正常算子。若 是 上的 ，且TX，则称 为 上的酉算子。*1TTX19、设 是度量空间， 是 中的点列，若 ，当 时，有(,)dnx0,()N,nmN，称 为 点列； 为完备度量空间的充要条件是 nmx X。又若 ， 为 为完备子空间的充要条件是 为 集。,MXM20、设 是两个度量空间， 是 到 上的映射，如果 在 的每一点都连续，称 是YX, T

6、XYTXT上的 映射。集合 称为集合 在映射 下的 |,xMY；简记为 。21、设 是复线性空间， 是 中的向量， 是 个数，称12,mx 12,m为向量 的一个 。如果存在 个不全1()mkxN,为零的数使得 ，称 ，否则称它们 。10mk12,mx22、设 是两个赋范线性空间， 是 到 中的线性算子，若 有 ，则称YX, TXYxXTx是 到 中的 算子。又若 是满射，则称 映射，这时 T Y与。23、设 是希尔伯特空间 上的有界算子。令 ，则X*,2TTABi,AB是 算子， ；称为算子 的 分解。T24、在 中点列 收敛的实质是 收敛。在 空间中点列 收敛nRnx ,Cab()nxt于

7、 的实质是 ，在可测函数空间 中，点列 收敛于 的实质()xt ()mXff是 。25、设 是一个线性空间， 是 的一个非空集合。 中任意有限多个向量的线性组合全体XMXM记为 。称为由 张成的 ，它是 的 空间。X26、设 是度量空间， 是 的一个非空集合， ，称 为 ，记为 xinf(,)ydx，在赋范线性空间中， = 。inf(,)yMdx27、设 是一个内积空间，若 的子集 满足 ； XX； ；则称 为 的赋范正交系。28、设 是度量空间 中的子集，如果存在 不在 的任何半径不为零的开球中稠密，称X是 中的 集，凡第一纲集都可以表示成 并集，不是第一纲集的集合称为 集。29、设 是线性

8、空间， 是 中的极大线性无关组，则称 的基数为 的 数，XMXMX称为 的一组 ，若 的基数为有限数，则称 为 空间；否则称 为 空间；如果 只含零元素，则称 为 空间。30、设 是两个赋范线性空间，我们以 表示 全体。Y, ()BY以及对数域中的任一 ，若令 ；()ABXAx，则 按此定义的加法和乘法构成 空间，在()xx()X空间中，当 为 空间时， 是巴拿赫空间。Y()BY31、设 都是希尔伯特空间， 都是由 中的有界线性算子， 分别X, ,A到 *,()AB是 的共轭算子，数 是复数，则有 ； ()AB*()； ； ；当 时， * XY*()；32、设 是一个度量空间， 是 的非空子集

9、，如果存在 ，使 ，称XMX00(,)UxM为 的 点。如果存在 ，使 ，称 为 的 0x (,)x0点；若在 中有一个点列 收敛于 ，则 称为 的 点。如果 是开集，则nx0中所有点都是它的 点，如果 是闭集，那么 。MM33、设 是内积空间， 是 的子集，称集合 为 在 中的 XX|,xXX；简记为 ，它与 有且仅有一个公共元素是 ；当 时，这个集合中存在 元素。34、设 是希尔伯特空间 的两个酉算子，那么 ；当,uv ,xu时， ； 是 算子； 是 算子。 0X1uv35、设 是赋范线性空间， 是定义在 上的泛函，若满足()pxX 为数； ，则称()px,()pxy,xyX为定义在 的次

10、线性泛函。X泛函分析判断题（40 个）二、判断题1、若集合 在集合 中稠密，则 。 （ ）ABAB2、若 是一个紧集，那么度量空间 一定是完备的度量空间。 （ ）XX3、线性空间中的有界线性泛函一定连续。 （ ）4、所有的内积空间都是希尔伯特空间。 （ ）5、所有有界线性算子都是有界算子。 （ ）6、在每一个赋范线性空间上，都可以定义向量与向量的内积，使其成为内积空间。 （ ）7、完全规范正交系都是完备规范正交系。 （ ）8、希尔伯特空间中的保范算子都是酉算子。 （ ）9、离散度量空间的个数是有限的。 （ ）10、设 是度量空间 中的点集， 为有界集的充要条件是 。 （ M(,)XdM,sup

11、(,)xyMd）11、在度量空间中，距离是一个二元连续泛函。 （ ）12、在度量空间中所有的极限都是点列极限。 （ ）13、微分算子和积分算子都是有界线性算子。 （ ）14、所有度量空间中的内点一定是聚点。 （ ）15、若 是一个线性空间， 是定义在 上的一个连续线性泛函，那么 一定是 的X()fxX()NfX闭线性子空间。 （ ）16、凡存在稠密子集的度量空间都是可分的。 （ ）17、定义在基本空间 上的连续线性泛函有任意阶导数。 （ ）D18、赋范线性空间中的范数都是次线性泛函。 （ ）19、有界线性算子空间中的算子 与它的共轭算子 有相同的范数。 （ ）A*20、赋范线性空间 中，线性算

12、子 有界的充要条件是 。 （ ）XTT21、若 是两个赋范线性空间，那么有界线性算子空间 一定是巴拿赫空间。 （ ,Y()BXY）22、完备的赋范线性空间称为希尔伯特空间。 （ ）23、连续映射总是将定义域中的开集映照成值域中的开集。 （ ）24、若 是赋范线性空间 上的有界线性算子，则 在 上的每一点都连续。 （ ）TXTX25、设 是一个度量空间， 是 中的一个柯西点列，则 的收敛点一定在 中。 （ ）XnxXnxX26、设 是一个度量空间， 是 到 中的连续映射，则必存在 。 （ ）T*,Tx使27、线性空间 的零子空间都是 的平凡子空间。 （ ）28、线性空间 的任何一个线性无关组都可

13、以作为 的一组基。 （ ）29、 空间，作为一个线性空间，它的维数是有限的。 （ ）,Cab30、在一个有限维线性空间上只能定义一个范数。 （ ）31、任何赋范线性空间的共轭空间都是巴拿赫空间。 （ ）32、凡实（或复）的内积空间中，任意两个向量的内积都具有对称性。 （ ）33、设 是一个内积空间， ，有 。 （ ）X,xyX,xy34、设 是一个内积空间， 是 中有限或可列规范正交系，那么 有，ne xX。 （ ）21,nxe35、设 是希尔伯特空间， 为 的完全规范正交系，则 。 （ ）XMX0M36、设 为复希尔伯特空间 上的有界线性算子，则 为正常算子的充要条件是TT是实数。 （ ）,

14、x37、设 是希尔伯特空间 上的一列自伴算子，并且 ，则 是 上的自伴算子。 n limnT（ ）38、若 是非空的完备度量空间，则 一定是第一纲集。 （ ）XX39、设 是希尔伯特空间 上的一列泛函，如果 在 的每一点 处有界，那么 一nf nfXxnf致有界。 （ ）40、设 是一个内积空间， 是 的子集，则 是 的闭线性子空间。 （ ）M泛函分析 计算题1、设 是由可列多个不同点组成的集合， 是一个离散空间， 表示度量X(,)Xd()X空间 中集合 的直径，求 。)2、 设 是一个 空间，XH，若 ， ，求： 。,xyX3x4y22xy3、 求 上线性泛1,C函 的范数 。0110()(

15、)()fxtdxtf4、 设 ，2XR，求： 。(3,)xx5、 在 中，令2,3C， 。求： 。32()4xtt3()1yt(,)dxy6、 设 是 H 空间 到AXH 空间 中的有界线性算子， 是 的共轭算子，若 ，求： 。Y*A2*7、 设 是一个内积空间，X是 的一个正交系，且 ，求：12,nMx X21nx,2n1n8、 设 是 H 空间，X是 上的连续线性泛函，若存在唯一的 ，使每个 有 ，fXzXx(),fxz求： f泛函分析 证明题（40 个）1、设 是一个度量空间， ，证明：若当 时， 且 ，则XXxnnxnyn。yx2、设 是两个赋范线性空间， 是 的线性子空间 到 中的线

16、性算子。证明：YX, TX)(TDY若 在 中某一点 处连续，则 在 上连续。T)(D0x)(3、设 是 H 空间 上的可列规范正交系， ，令 ， （ ） ，neMXXxkkexC,N证明： 收敛的充要条件是 收敛。1kC12kC4、设 是 H 空间 上的两个自伴算子。证明： 为自伴算子的充要条件为：21,TX21T。121T5、设 是线性空间， 是一个给定的数， ，令 ，证明： 是线性算子。XXxxTT6、设 ， ，令 ，证明： 是一个,baCXXtyx)(, )(max),(tyydbt ),(dX度量空间。7、设 是一个内积空间，且 ，令 ，证明： ，成立XXxx,Xyx,)(222yy

17、8、设 ， 是定义在 上的二元连续函数， ，令,baCX),(tsk,baXtx)(，证明： 是有界线性算子。dxtTx)( T9、设 是内积空间 的一个规范正交系， ，令 。证明：若neMXXxnnexC,将 展开成级数 （其中 是数）时，只有当 时， 取最x1nen n1n小值。10、 设 为复 H 空间 上的有界线性算子。证明：若 为自伴算子，那么 ，TXTXx，其中 为实数集。Rx),(11、 设 ， ， ，令 ，证明： 是可分,baX)0(bXyx, yxd),( ),(dX度量空间。12、 设 ， ，令 ，证明： 是连续线性算子。,baCXXtx)( dtxtTba)()( T13

18、、 设 是任一 维线性空间，证明： 与 线性同构。XnXnR14、 设 是一个内积空间，证明： ，有 。XXyx, yxy,215、 设 为复 H 空间 上的有界线性算子，且 ， 是实数，证明：TXXxxT,是自伴算子。16、 设 是一个度量空间， ，令 ，证明：),(dXXyx, ),(1),(yxdyx也是 上的一个度量空间。),(X17、 设 ， ， ，且有 ，证明：存在唯一的RXXyx, yxd),( xT21，使 。x*T18、 设 是内积空间 的闭线性子空间，且 ，证明： 中必有非零元素。MXXM19、 在线性空间 中， ，令 ，证明： 是一个赋范nR),(21nxxLknx1ma

19、),(nR线性空间。20、 设 为复内积空间 上的有界线性算子，证明： 的充要条件是 成立TX0TXx。0,x21、 设 是一个度量空间， 是 中的两个点列，且 ， （X,nyxXxnyn） ，证明： 。n )(),(dyn22、 设 ， ，令 ，证明： 是 上的线性算子。,baCXXtx)()()(txTTX23、 设 是一个赋范线性空间，令 ，证明：若 在 上X 0)(,|)(xfXxfNfX连续，则 是一个闭集。)(fN24、 设 是一个内积空间，证明： ，若 ，则 。XXyx,yx22yx25、 设 为复 H 空间 上的有界线性算子，证明： 为正常算子的充要条件为TXT，成立 。XxT

20、x*26、 设 是一个度量空间， 是 中的任一收敛点列，证明： 为 中的有XnxXnxX界点列。27、 设 是度量空间， ，且 B 在 A 中稠密，证明： 以及 ，XXA, ,Ax0，使 。By),(yxd28、 设 ， ，令 ，证明： 是 到 中的一个,baCXXtx)( dtxtTba)()( TX1R连续映射。29、 设 是一个赋范线性空间， ，令 ，证明： 是一XXyx, yxd),( ),(dX个度量空间。30、 设 是复 H 空间 上的有界线性算子，令 ， ，证明：TX2*TAiB2*均为 上的自伴算子。BA,31、 设 是一个度量空间， 是 中的一个收敛点列，证明： 是一个柯西X

21、nxXnx点列。32、 在线性空间 中， ，令 ，证明：,baC,)(baCtx)(max)(ttbt是一个赋范线性空间。),(ba33、 设 是两个赋范线性空间， ，证明： 是有界算子。YX, )(,YXBABA34、 设 是一个 维内积空间， 是 的一个正交系，证明： 是Xn,21neMLXM的一个线性无关子集。35、 设 是复 H 空间 上的有界线性算子， 是 的笛卡尔分解，证明：TXiBAT为正常算子的充要条件是 。BA36、 设 是度量空间 中的闭集，证明：有一列开集 满足 ，BXnABn，且有 。),21(LnBAnI137、 设 ， ，令 ，证明： 是线性算子。,baCX,)(baCtx)()(txdtDD38、 设 为赋范线性空间 的子空间 到赋范线性空间 中的线性算子，证明：TX)(TDY， 。)(Dxx39、 设 是实线性空间， ，令 ，证明： ，XXxx,Xyx,。yx40、 设 是 H 空间 上的两个酉算子，证明： 也是酉算子。vu,Xuv