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类型matlab在科学计算中的应用8+-+概率论与数理统计问题的求解.ppt

  • 上传人:buyk185
  • 文档编号:5943286
  • 上传时间:2019-03-21
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    matlab在科学计算中的应用8+-+概率论与数理统计问题的求解.ppt
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    1、第8章 概率论与数理统计问题的求解,概率分布与伪随机数生成 统计量分析 数理统计分析方法及计算机实现 统计假设检验 方差分析及计算机求解,8.1概率分布与伪随机数生成 8.1.1 概率密度函数与分布函数概述,通用函数计算概率密度函数值,函数 pdf 格式 P=pdf(name,K,A)P=pdf(name,K,A,B)P=pdf(name,K,A,B,C) 说明 返回在X=K处、参数为A、B、C的概率密度值,对于不同的分布,参数个数是不同;name为分布函数名。例如二项分布:设一次试验,事件Y发生的概率为p,那么,在n次独立重复试验中,事件Y恰好发生K次的概率P_K为:P_K=PX=K=pdf

    2、(bino,K,n,p),例: 计算正态分布N(0,1)的随机变量X在点0.6578的密度函数值。 解: pdf(norm,0.6578,0,1)ans =0.3213例:自由度为8的卡方分布,在点2.18处的密度函数值。 解: pdf(chi2,2.18,8)ans =0.0363,随机变量的累积概率值(分布函数值),通用函数cdf用来计算随机变量的概率之和(累积概率值) 函数 cdf 格式 cdf(name,K,A)cdf(name,K,A,B)cdf(name,K,A,B,C)说明 返回以name为分布、随机变量XK的概率之和的累积概率值,name为分布函数名.,例: 求标准正态分布随机

    3、变量X落在区间(-,0.4)内的概率。 解: cdf(norm,0.4,0,1)ans =0.6554例:求自由度为16的卡方分布随机变量落在0,6.91内的概率。 解: cdf(chi2,6.91,16)ans =0.0250,随机变量的逆累积分布函数,MATLAB中的逆累积分布函数是已知,求x。 命令 icdf 计算逆累积分布函数 格式 icdf(name,F,A)icdf(name,F,A,B)icdf(name,F,A,B,C) 说明 返回分布为name,参数为a1,a2,a3,累积概率值为F的临界值,这里name与前面相同。如果F= cdf(name,X,A,B,C) , 则 X =

    4、 icdf(name,F,A,B,C),例:在标准正态分布表中,若已知F=0.6554,求X 解: icdf(norm,0.6554,0,1)ans =0.3999例:公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1%设计的。设男子身高X(单位:cm)服从正态分布N(175,6),求车门的最低高度。 解:设h为车门高度,X为身高。 求满足条件 FXh=0.01故 h=icdf(norm,0.99, 175, 6) h =188.9581,8.1.2 常见分布的概率密度函数与分布函数 8.1.2.1 Poisson分布,其要求x是正整数。,其中:x为选定的一组横坐标向量,y为x各点处的概率

    5、密度函数值。,例:绘制 l =1,2,5,10 时 Poisson 分布的概率密度函数与概率分布函数曲线。 x=0:15; y1=; y2=; lam1=1,2,5,10; for i=1:length(lam1)y1=y1,poisspdf(x,lam1(i); y2=y2,poisscdf(x,lam1(i); end plot(x,y1), figure; plot(x,y2),8.1.2.2 正态分布,正态分布的概率密度函数为:,例: x=-5:.02:5; y1=; y2=; mu1=-1,0,0,0,1; sig1=1,0.1,1,10,1; sig1=sqrt(sig1); fo

    6、r i=1:length(mu1) y1=y1,normpdf(x,mu1(i),sig1(i); y2=y2,normcdf(x,mu1(i),sig1(i); end plot(x,y1), figure; plot(x,y2),8.1.2.3 分布,例:绘制 为(1,1),(1,0.5),(2,1),(1,2),(3,1)时 x=-0.5:.02:5; x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:5; x=sort(x);替代 y1=; y2=; a1=1,1,2,1,3; lam1=1,0.5,1,2,1; for i=1:length(a1)y1=y1,gampdf(x,a1(

    7、i),lam1(i); y2=y2,gamcdf(x,a1(i),lam1(i); end plot(x,y1), figure; plot(x,y2),8.1.2.4 分布(卡方分布),其为一特殊的 分布 ,a=k/2, l =1/2。,例: x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:2; x=sort(x); k1=1,2,3,4,5; y1=; y2=; for i=1:length(k1)y1=y1,chi2pdf(x,k1(i); y2=y2,chi2cdf(x,k1(i);end plot(x,y1), figure; plot(x,y2),8.1.2.5 分布,概率密度函

    8、数为:,其为参数k的函数,且k为正整数。,例: x=-5:0.02:5; k1=1,2,5,10; y1=; y2=; for i=1:length(k1)y1=y1,tpdf(x,k1(i); y2=y2,tcdf(x,k1(i); end plot(x,y1), figure; plot(x,y2),8.1.2.6 Rayleigh分布,例: x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:5; x=sort(x); b1=.5,1,3,5; y1=; y2=; for i=1:length(b1)y1=y1,raylpdf(x,b1(i); y2=y2,raylcdf(x,b1(i);

    9、 end plot(x,y1), figure; plot(x,y2),8.1.2.7 F 分布,其为参数p,q的函数,且p,q均为正整数。,例:分别绘制(p,q)为(1,1),(2,1),(3,1)(3,2),(4,1)时F分布的概率密度函数与分布函数曲线。 x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:1; x=sort(x); p1=1 2 3 3 4; q1=1 1 1 2 1; y1=; y2=; for i=1:length(p1)y1=y1,fpdf(x,p1(i),q1(i); y2=y2,fcdf(x,p1(i),q1(i); end plot(x,y1), figure

    10、; plot(x,y2),8.1.3 概率问题的求解,图4-9,例: b=1; p1=raylcdf(0.2,b); p2=raylcdf(2,b); P1=p2-p1 P1 =0.8449 p1=raylcdf(1,b); P2=1-p1 P2 =0.6065,例: syms x y; f=x2+x*y/3; P=int(int(f,x,0,1/2),y,0,1/2) P = 5/192 syms x y; f=x2+x*y/3; P=int(int(f,x,0,1),y,0,2) P = 1,8.1.4 随机数与伪随机数,例: b=1; p=raylrnd(1,30000,1); xx=0

    11、:.1:4; yy=hist(p,xx); hist()找出随机数落入各个子区间的点个数,并由之拟合出生成数据的概率密度。 yy=yy/(30000*0.1); bar(xx,yy), y=raylpdf(xx,1); line(xx,y),8.2 统计量分析 8.2.1 随机变量的均值与方差,例:均值 syms x; syms a lam positive p=lama*x(a-1)/gamma(a)*exp(-lam*x); m=int(x*p,x,0,inf) m = 1/lam*a方差 s=simple(int(x-1/lam*a)2*p,x,0,inf) s = a/lam2,已知一

    12、组随机变量样本数据构成的向量:,求该向量各个元素的均值、方差和标准差、中位数median,例:生成一组 30000 个正态分布随机数,使其均值为 0.5,标准差为1.5,分析数据实际的均值、方差和标准差,如果减小随机变量个数,会有什么结果? p=normrnd(0.5,1.5,30000,1);mean(p),var(p),std(p) ans =0.4879 2.2748 1.5083300个随机数 p=normrnd(0.5,1.5,300,1);mean(p),var(p),std(p) ans =0.4745 1.9118 1.3827 可见在进行较精确的统计分析时不能选择太小的样本点

    13、。,例: m,s=raylstat(0.45) m =0.5640 s =0.0869,8.2.2 随机变量的矩,例:求解原点矩 syms x; syms a lam positive; p=lama*x(a-1)/gamma(a)*exp(-lam*x); for n=1:5, m=int(xn*p,x,0,inf), end m = 1/lam*a m = 1/lam2*a*(a+1) m = 1/lam3*a*(a+1)*(a+2) m = 1/lam4*a*(a+1)*(a+2)*(a+3) m = 1/lam5*a*(a+1)*(a+2)*(a+3)*(a+4) 有规律, syms

    14、n; m=simple(int(x)n*p,x,0,inf) 直接求出 m = lam(-n)*gamma(n+a)/gamma(a) for n=1:6, s=simple(int(x-1/lam*a)n*p,x,0,inf), end 中心距 s = 0 s = a/lam2 s = 2*a/lam3 s = 3*a*(a+2)/lam4 s = 4*a*(5*a+6)/lam5 s = 5*a*(3*a2+26*a+24)/lam6 好像无规律,例:考虑前面的随机数,可以用下面的语句得出随机数的各阶矩。 A=; B=; p=normrnd(0.5,1.5,30000,1); n=1:5;

    15、 for r=n, A=A, sum(p.r)/length(p); B=B,moment(p,r); end A,B A =0.5066 2.4972 3.5562 18.7530 41.5506 B =0 2.2405 0.0212 15.1944 0.0643,求各阶距的理论值: syms x; A1=; B1=; p=1/(sqrt(2*pi)*1.5)*exp(-(x-0.5)2/(2*1.52); for i=1:5 A1=A1,vpa(int(xi*p,x,-inf,inf),12);B1=B1,vpa(int(x-0.5)i*p,x,-inf,inf),12); end A1,

    16、 B1 A1 = .500000000001, 2.50000000000, 3.50000000001, 18.6250000000, 40.8125000000B1 = 0, 2.25000000000, 0, 15.1875000000, 0,8.2.3 多变量随机数的协方差分析,例: p=randn(30000,4); cov(p)ans =1.0033 0.0131 0.0036 0.00200.0131 1.0110 0.0061 -0.01540.0036 0.0061 1.0055 -0.00040.0020 -0.0154 -0.0004 0.9881,8.2.4 多变量正态

    17、分布的联合概率 密度即分布函数,例: mu1=-1,2; Sigma2=1 1; 1 3; % 输入均值向量和协方差矩阵 X,Y=meshgrid(-3:0.1:1,-2:0.1:4); xy=X(:) Y(:); % 产生网格数据并处理(两列2501*2 ) p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); % 求取联合概率密度 P=reshape(p,size(X); Change size(2501*161*41) surf(X,Y,P),对协方差矩阵进行处理,可计算出新的联合概率密度函数。 Sigma2=diag(diag(Sigma2); % 消除协方差矩阵的非对角元素 p=mvnp

    18、df(xy,mu1,Sigma2); P=reshape(p,size(X); surf(X,Y,P),R为m行n列。,例: mu1=-1,2; Sigma2=1 1; 1 3; R1=mvnrnd(mu1,Sigma2,2000); plot(R1(:,1),R1(:,2),o) Sigma2=diag(diag(Sigma2); figure; R2=mvnrnd(mu1,Sigma2,2000); plot(R2(:,1),R2(:,2),o),8.3数理统计分析方法及计算机实现 8.3.1 参数估计与区间估计,无论总体X的分布函数 的类型已知或未知,我们总是需要去估计某些未知参数或数字

    19、特征,这就是参数估计问题.即参数估计就是从样本 出发,构造一些统计量 (i=1,2,k)去估计总体X中的某些参数(或数字特征) (i=1,2,k).这样的统计量称为估计量.,1、点估计:构造 的函数作为参数 的点估计量,称统计量 为总体X参数 的点估计量.2. 区间估计:构造两个函数 (X1,X2,Xn)和 (X1,X2, Xn)做成区间,把这 作为参数 的区间估计.,区间估计的求法,设总体X的分布中含有未知参数 ,若对于给定的概率 ,存在两个统计量 (X1,X2,Xn)和 (X1,X2,Xn),使得则称随机区间 为参数 的置信水平为的置信区间,称 为置信下限,称为置信上限.,由极大拟然法估计

    20、出该分布的均值、方差 及其置信区间。置信度越大,得出的置信区间越小,即得出的结果越接近于真值。 还有gamfit(), raylfit(), poissfit() ,unifit()(均匀分布) 等参数估计函数,例: p=gamrnd(1.5,3,30000,1); Pv=0.9,0.92,0.95,0.98; A=; for i=1:length(Pv)a,b=gamfit(p,Pv(i); A=A; Pv(i),a(1),b(:,1),a(2),b(:,2) end A A =0.9000 1.5137 1.5123 1.5152 2.9825 2.9791 2.98580.9200 1.

    21、5137 1.5126 1.5149 2.9825 2.9798 2.98510.9500 1.5137 1.5130 1.5144 2.9825 2.9808 2.98410.9800 1.5137 1.5135 1.5140 2.9825 2.9818 2.9831, num=300,3000,30000,300000,3000000; A=; for i=1:length(num)p=gamrnd(1.5,3,num(i),1); a,b=gamfit(p,0.95); A=A;num(i),a(1),b(:,1),a(2),b(:,2); end A(:,2,3,4,5,6,7) an

    22、s =1.4795 1.4725 1.4865 2.9129 2.8960 2.92991.4218 1.4198 1.4238 3.1676 3.1623 3.17291.4898 1.4891 1.4904 3.0425 3.0409 3.04421.4998 1.4996 1.5000 3.0054 3.0049 3.00591.5006 1.5005 1.5007 2.9968 2.9966 2.9969要达到参数估计效果良好,随机数不能选得太少,也不能选得太多,此例中为30000为好。,8.3.2 多元线性回归与区间估计,例: a=1 -1.232 2.23 2 4 3.792; X

    23、=randn(120,6); y=X*a; a1=inv(X*X)*X*y;a1 ans =1.0000 -1.2320 2.2300 2.0000 4.0000 3.7920 a,aint=regress(y,X,0.02);a,aint ans =1.0000 -1.2320 2.2300 2.0000 4.0000 3.7920 ans =1.0000 -1.2320 2.2300 2.0000 4.0000 3.79201.0000 -1.2320 2.2300 2.0000 4.0000 3.7920, yhat=y+sqrt(0.5)*randn(120,1); a,aint=re

    24、gress(yhat,X,0.02); a,aint a=1 -1.232 2.23 2 4 3.792 ans =1.0576 -1.3280 2.1832 2.0151 4.0531 3.7749 ans =0.8800 -1.5107 2.0284 1.8544 3.8788 3.62211.2353 -1.1453 2.3379 2.1757 4.2274 3.9276, errorbar(1:6, a, aint(:,1)-a, aint(:,2)-a) errorbar()用图形绘制参数估计的置信区间。 yhat=y+sqrt(0.1)*randn(120,1); a,aint=r

    25、egress(yhat,X,0.02); errorbar(1:6, a, aint(:,1)-a, aint(:,2)-a),8.3.3 非线性函数的最小二乘参数 估计与区间估计,r为参数下的残 差构成的向量。 J为各个Jacobi 行向量构成的 矩阵。,例: f=inline(a(1)*exp(-a(2)*x)+a(3)*exp(-a(4)*x).*sin(a(5)*x),a,x); x=0:0.1:10; y=f(0.12,0.213,0.54,0.17,1.23,x); a,r,j=nlinfit(x,y,f,1;1;1;1;1); a,ans =0.11999999763418 0.

    26、21299999458274 0.54000000196818 0.17000000068705 1.22999999996315 ci=nlparci(a,r,j) 0.12,0.213,0.54,0.17,1.23 ci =0.11999999712512 0.119999998143230.21299999340801 0.212999995757470.54000000124534 0.540000002691010.17000000036077 0.170000001013321.22999999978603 1.23000000014028, y=f(0.12,0.213,0.54

    27、,0.17,1.23,x)+0.02*rand(size(x); a,r,j=nlinfit(x,y,f,1;1;1;1;1); a ans =0.12655784086874 0.17576593556541 0.54363873794463 0.17129712329146 1.23139632101927 ci=nlparci(a,r,j) ci = 0.12240417108574 0.13071151065174 0.16754837168468 0.18398349944614 0.53737093469422 0.54990654119504 0.16845014477426 0

    28、.17414410180866 1.22983289563708 1.23295974640145 errorbar(1:5,a,ci(:,1)-a,ci(:,2)-a),例: a=1;1;1;1;1;1; f=inline(a(1)*x(:,1).3+a(2).*sin(a(3)*x(:,2) ,. .*x(:,3)+(a(4)*x(:,3).3+a(5)*x(:,3)+a(6),a,x); X=randn(120,3); y=f(a,X)+sqrt(0.2)*randn(120,1); ahat,r,j=nlinfit(X,y,f,0;2;3;2;1;2); ahat ahat =0.99

    29、1664648845391.047765269729430.976685958007561.020223458895410.886395287135631.09317291667891, ci=nlparci(ahat,r,j); ci 置信区间 ci =0.89133624667624 1.091993051014550.86664749663205 1.228883042826800.83628948119418 1.117082434820940.98466523279168 1.055781684999140.73055684224143 1.042233732029840.99932

    30、407018303 1.18702176317478 errorbar(1:6,ahat,ci(:,1)-ahat,ci(:,2)-ahat) y1=f(ahat,X);plot(y y1) 绘制曲线,8.4 统计假设检验 8.4.1 正态分布的均值假设检验,H为假设检验的结论,当H0时表示不拒绝H0假设,否则表示拒绝该假设。 s为接受假设的概率值,为其均值的置信区间。若未知正态分布的标准差时,可用此函数。,例:设某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装糖重量是一个随机数,它服从正态分布。当机器正常时,其均值为0.5公斤,标准差为0.015。某日开工后检验包装机是否正常,随机地抽取它所包装的的

    31、糖9袋,称得净重为(公斤)0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.52, 0.515, 0.512,问机器是否正常?解: (分析)总体均值、标准差已知,则可设样本的标准差为0.015,于是 问题就化为根据样本值来判断 还是 。为此提出假设:, x=0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.52, 0.515, 0.512; H,p,ci=ztest(x,0.5,0.015,0.05) H =1 p =0.0248 %样本观察值的概率 ci =0.5014 0.5210 %包含均值95置信区间,均值0.

    32、5在此区间之外 结果H1,说明在0.05的水平下,拒绝原假设,即认为这天包装机工作不正常。,例:某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态分布,均值、方差均未知。现测得16只元件的寿命如下:159 280 101 212 224 379 179 264 222 262 168 250 149 260 485 170 ,问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时): 解:按题意需做如下假设:取, x=159 280 101 212 224 379 179 264 222 262 168 250 149 260 485 170; H,p,ci=ttest(x,225,0.05) H =0 p =

    33、0.6677 ci =185.3622 285.1378 %均值225在该置信区间内 结果表明,H0,即在显著水平为0.05的情况下,不能拒绝原假设。即认为元件的平均寿命不大于225小时。,8.4.2 正态分布假设检验,由随机样本判定分布是否为正态分布,可用下面两个假设算法的函数。s为接受假设的概率值,s越接近于0,则可以拒绝是正态分布的原假设.,例: X=216,203,197,208,206,209,206,208,202,203,206,213,218,207,208,.202,194,203,213,211,193,213,208,208,204,206,204,206,208,209

    34、,.213,203,206,207,196,201,208,207,213,208,210,208,211,211,214,.220,211,203,216,224,211,209,218,214,219,211,208,221,211,218,.218,190,219,211,208,199,214,207,207,214,206,217,214,201,212,.213,211,212,216,206,210,216,204,221,208,209,214,214,199,204,.211,201,216,211,209,208,209,202,211,207,202,205,206,21

    35、6,206,.213,206,207,200,198,200,202,203,208,216,206,222,213,209,219; H,p=jbtest(X,0.05) %P为接受假设的概率值,P越接近于0,则可以拒绝是正态分布的原假设; H =0 p =0.7281, mu1,sig1,mu_ci,sig_ci=normfit(X,0.05); mu=mu1,mu_ci mu =208.8167 207.6737 209.9596 该分布的均值及置信区间 sig=sig1, sig_ci sig =6.3232 5.6118 7.2428 该分布的方差及置信区间,例: r=gamrnd(

    36、1,3,400,1); H,p,c,d=jbtest(r,0.05) H =1 p =0 c =504.2641 d =5.9915 %P为接受假设的概率值,P越接近于0,则可以拒绝是正态分布的原假设;c为测试统计量的值,d为是否拒绝原假设的临界值,cd, 故拒绝。,8.4.3 其它分布的Kolmogorov-Smirnov 检验,此函数( Kolmogorov-Smirnov 算法)可对任意已知分布函数进行有效的假设检验。其中cdffun为两列的值,第一列为自变量,第二列为对应的分布函数的值。,例: r=gamrnd(1,3,400,1); alam=gamfit(r) alam =0.97

    37、08 3.1513检验: r=sort(r); H0,p=kstest(r,r gamcdf(r,alam(1),alam(2),0.05) H0 =0 p =0.6067,8.5方差分析及计算机求解 8.5.1 单因子方差分析,对一些观察来说,只有一个外界因素可能对观测的现象产生影响。单因素方差分析是比较两组或多组数据的均值,它返回原假设均值相等的概率,若p值接近于0,则原假设受到怀疑,说明至少有一列均值与其余列均值有明显不同。 X为需要分析的数据,每一列对应于随机分配的一个组的测试数据,这样会返回概率p,tab为方差分析表 。stats为统计结果量,为结构变量,包括每组均值等。,单因子方差

    38、分析表,例:,建立A矩阵,并求各列的均值。 A=5,4,6,7,9; 8,6,4,4,3; 7,6,4,6,5; 7,3,5,6,7; 10,5,4,3,7; 8,6,3,5,6; mean(A) ans =7.5000 5.0000 4.3333 5.1667 6.1667 p,tbl,stats=anova1(A) %单因子方差分析 p =0.0136 %FColumns 36.4667 4 9.1167 3.8960 0.0136Error 58.5000 25 2.3400 Total 94.9667 29 ,stats = gnames: 5x1 charn: 6 6 6 6 6so

    39、urce: anova1means: 7.5000 5 4.3333 5.1667 6.1667df: 25s: 1.5297 有显著影响。 盒式图单因子方差表,例:设有3台机器,用来生产规格相同的铝合金薄板。取样测量薄板的厚度,精确至厘米。得结果如下: 机器1:0.236 0.238 0.248 0.245 0.243 机器2:0.257 0.253 0.255 0.254 0.261 机器3:0.258 0.264 0.259 0.267 0.262 检验各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异? X=0.236 0.238 0.248 0.245 0.243; 0.257 0.253 0

    40、.255 0.254 0.261 ;0.258 0.264 0.259 0.267 0.262; P=anova1(X) P =1.3431e-005,8.5.2 双因子方差分析,如果有两种因子可能影响到某现象的统计规律,则应该引入双因子方差分析的概念。这时观察值可表示为一个三维数组。根据双因子的特点,可以引入3个假设,双因素方差表,表中记号的定义,求解双因子方差分析问题:,例:比较 3 种松树在4 个不同地区的生长情况有无差别,在每个地区对每种松树随机地选择 5 株,测量它们的胸径,对它们进行双因子方差分析。, B=23,15,26,13,21,25,20,21,16,18,21,17,16

    41、,24,27,14,17,19,20,24;28,22,25,19,26,30,26,26,20,28,19,24,19,25,29,17,21,18,26,23;18,10,12,22,13,15,21,22,14,12,23,25,19,13,22,16,12,23,22,19; anova2(B,5); 5表示每一单元观察点的数目 小,树种对观测树的胸径有显著影响; 很大,所以没有理由拒绝另外两个假设。故得出结论:地区对树的胸径无显著影响,不同区域对不同树种的胸径观测结果也无显著影响。,计算均值: C=; for i=1:3for j=1:4C(i,j)=mean(B(i,1:5+(j-

    42、1)*5);end, end C=C; mean(C); C=C mean(C) C =19.6000 20.0000 21.0000 18.8000 19.850024.0000 26.0000 23.2000 21.0000 23.550015.0000 16.8000 20.4000 18.4000 17.650019.5333 20.9333 21.5333 19.4000 20.3500,例、下表记录了3 位操作工分别在4 台不同机器上操作的日产量,试检验 操作工之间的差异是否显著? 机器之间的差异是否显著? 交互作用是否显著( )?机 操作工 机 操作工 器 1 2 3 器 1 2

    43、 3 M1 15 15 17 19 19 16 16 18 21 M3 15 17 16 18 17 16 18 18 18 M2 17 17 17 15 15 15 19 22 22 M4 18 20 22 15 16 17 17 17 17,解: A=15,15,17,19,19,16,16,18,21; 17,17,17,15,15,15,19,22,22;15,17,16,18,17,16,18,18,18; 18,20,22,15,16,17,17,17,17; p,tbl=anova2(A,3) p =0.6645 0.0023 0.0002,tbl = Source SS df

    44、MS F ProbF Columns 2.7500 3 0.9167 0.5323 0.6645Rows 27.1667 2 13.5833 7.8871 0.0023 Interaction 73.5000 6 12.2500 7.1129 1.9217e-004Error 41.3333 24 1.7222 Total 144.7500 35 由上表可知: 机器自由度(df)是(41)3,p值为0.6645,故机器之间的差异不显著。 操作工自由度(df)是(31)2,p值为0.0023,故操作工之间的差异显著。 交互作用自由度(df)是(41)(31)6,p值为1.9217e-004,故交

    45、互作用差异非常显著。,8.5.3 多因子方差分析,8.6 统计作图 8.6.1 正整数的频率表,命令 正整数的频率表 函数 tabulate 格式 table = tabulate(X) %X为正整数构成的向量,返回3列:第1列中包含X的值,第2列为这些值的个数,第3列为这些值的频率。,例 A=1 2 2 5 6 3 8 A =1 2 2 5 6 3 8 tabulate(A)Value Count Percent1 1 14.29%2 2 28.57%3 1 14.29%4 0 0.00%5 1 14.29%6 1 14.29%7 0 0.00%8 1 14.29%,8.6.2 经验累积分布函数图形,函数 cdfplot格式 cdfplot(X) %作样本X(向量)的累积分布函数图形h = cdfplot(X) %h表示曲线的环柄图h,stats= cdfplot(X) %stats表示样本的一些特征,例 X=normrnd (0,1,50,1); h,stats=cdfplot(X) h =151.0077 stats = min: -2.3646 %样本最小值 max: 2.3093 %最大值 mean: -0.0298 %平均值 median: -0.0084 %中间值 std: 1.0221 %样本标准差,

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