1、1大 连 理 工 大 学课 程 名 称： 计算方法 试卷： A 考试形式： 闭卷授课院（系）： 数学系 考试日期： 2005 年 12 月 12 日 试卷共 7 页一 二 三 四 五 六 七 总分标准分得 分装 一、填空（共 30 分，每空 1.5 分）（1）误差的来源主要有 、 、 、 .（2）要使 的近似值 的相对误差限不超过 ，应至少取 74596.0a310位有效数字, 此时的近似值 = .订 （3）设 , 则 , , , , 42A1A2AF谱半径 , 2-条件数 , 奇异值为 .)()(2cond线 （4）设 ,特征值 ,特征值 2是半单的，而特征值 3是4CA3,4321亏损的，
2、则 A 的 Jordan标准型 J. （5）已知 ，则 ， .xf3)(21,0f 3,10f（6）求 在 附近的根 的 Newton迭代公式是：1xf 5.，其收敛阶 .（7）计算 , 的数值解的 Euler 求解公式为 . u5)0(t1(u为使计算保持绝对稳定性, 步长 的取值范围 .h2A3二、 （12 分）求矩阵 的 Doolittle 分解和 Cholesky 分解，并求解 .820514A 1085AxA4三、 （6 分）求矩阵 的 QR 分解（Q 可表示为两个矩阵的乘积）.6291AA5四、 （12 分）根据迭代法 对任意 和 均收敛的充要条件为 , 证明若线性方fBxkk)(
3、)1( )0(xf 1)(B程组 中的 为严格对角占优矩阵, 则 Jacobi 法和 G-S 法均收敛.bAxA6五、 （12 分）求满足下列插值条件的分段三次多项式（ 和 ）, 并验证它是不是三次样条函数. 0,31, , , , ；27)3(f 8)(f 1)(f0)(fx, , , , .0 1,A7六、 （10 分）证明线性二步法 , 当 时为二阶方法, )13()(4)1( 22 nnnn fbfhbuu 1b时为三阶方法, 并给出 时的局部截断误差主项 .1bbA8七、 （18 分）求 上以 为权函数的标准正交多项式系 , , , 并由此求1,1)(x )(0x)(1)(2x3x的
4、二次最佳平方逼近多项式, 构造 Gauss 型求积公式 , 并验证其)1(x 1 10fAfdf代数精度.大 连 理 工 大 学课 程 名 称： 计算方法 试卷： A 考试形式： 闭卷授课院（系）： 数学系 考试日期： 2006 年 12 月 11 日 试卷共 8 页一 二 三 四 五 六 七 八 总分标准分得 分装订 一、填空（共 30 分，每空 2 分）线 （1）误差的来源主要有 .（2）按四舍五入的原则，取 具有四位有效数字的近似值6904157.= ，则绝对误差界为 ，相对误差界为 .a（3）矩阵算子范数 和谱半径 的关系为： MA| )(A， 和 .（4）设 ,特征值 ,特征值 2
5、是半单的，而特征值 3 是4C3,2431亏损的，则 A 的 Jordan 标准型 JA9. （5）已知 ，则 ， .xf3)(21,0f 1,0f（6）求 在 附近的根 的 Newton 迭代公式是：xf 5.（7）使用 Aitken 加速迭代格式 得到的 Steffensen 迭代格式为：)(1kkx，对幂法数列 的加速公式为：km.A10（8） 点的 Newton-Cotes 求积公式 的最高代数精度为1n nkknxfAfI0)()(.（9）计算 , 的数值解的 Euler 求解公式为 ，u7)10(t(u为使计算保持绝对稳定性, 步长 的取值范围 .h二、 （10 分） 设 , 计算
6、 , , , , 谱半径 , 2-条件数 , 42A1A2F)(A)(2Acond和奇异值.A11三、 （10 分）求矩阵 的 Doolittle 分解和 Cholesky 分解.820514AA12四、 （4 分）求 Householder 变换矩阵将向量 化为向量 .21x03yA13五、 （12 分）写出解线性方程组的 Jacobi 法，G-S 法和超松弛（SOR）法的矩阵表示形式，并根据迭代法 对任意 和 均收敛的充要条件为 , 证明若线性方fBxkk)()1( )0(xf 1)(B程组 中的 为严格对角占优矩阵, 则超松弛（SOR ）法当松弛因子 时收敛.bAx 0(A14六、 （1
7、2 分）求满足下列插值条件的分段三次多项式（ 和 ）, 并验证它是不是三次0,31样条函数. , , , , ；27)3(f 8)(f 1)(f)(fx, , , , .00A15七、 （12 分）证明区间 上关于权函数 的 Gauss 型求积公式 中的,ba)(xnkknxfAfI0)()(系数 ，其中 为关于求积节点 的 次 Lagrange 插值基函数，bakkdxlA)()(lk nx,10. 另求 上以 为权函数的二次正交多项式 , 并由此构造 Gauss 型n,101,1)(2求积公式 .10)()()(xfAfxfA16八、 （10 分）证明线性二步法 , 当 时)13()(4)
8、1( 22 nnnn fbfhbuu 1b为二阶方法, 时为三阶方法 , 并给出 时的局部截断误差主项 .1b大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业 2005 级 试 A 卷 答 案课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007 年 11 月 日 试卷共 6 页一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分标准分 42 8 15 15 15 5 / / / / 100得 分一、填空（每一空 2 分，共 42 分）1为了减少运算次数，应将表达式.5432167181xxx改写为 ；81603476xx2给定 3 个求积节点： ， 和 ，则用复化梯形公式
9、计算积分05.112x求得的近似值为 ，dxe10 5.24e用 Simpson 公式求得的近似值为 。15.0461设函数 ，若当 时，满足 ，则其可表示1,0)(3Sxsx0)(xs为 。3321)( ccxs4已知 ,则 6 , 0 ，逼近 的12)(,6)1(,0)(fff ,0f 2,1f )(xfNewton插值多项式为 。x5用于求 的根 的具有平方收敛的 Newton迭代公式为：0ef x装 订 线A17。121kxkex6已知 ，则 的 Jordan 标准型是 或 ；0-AA017设 是 阶正规矩阵，则 ；n28求解一阶常微分方程初值问题 ， 的向后（隐式）tut)1(20)
10、(Euler 法的显式化的格式为： 。211nnthu9设 12 为 的近似值，且 ，则 至少有01.2ax205.axa5 位有效数字；10将 ，化为 的 Householder 矩阵为： ；T4,3xT0,5y 53411 ；kk015.013212用二分法求方程 在区间 内的根，进行一步后根所在区间3()510fx1,3为 ，进行二步后根所在区间为 。2, 2,.13若 为 Newton-Cotes 求积公式，则 ，若为nkkxfAdxf010 nkkxA021Gauss 型求积公式，则 。nkk045114设 ，则在 Schur 分解 中， 可取为 或 。125AHURA10015设
11、，则 , 。0tAe10tetd01二、 （8 分）已知近似值 ， ， 均为有效数字，试估计算术运算2.1a65.38.93aA18的相对误差界。 321a解：由已知，； ； 。21102nkx 2210ax 2310ax令， ，321321,xf321321,f由函数运算的误差估计式 321,xf321,af+ +1ax 2321,2axfx 3321,3axfx323231132 从而，相对误差可写成321,afx 3213213132aaxxa三、 （15 分）设线性方程组： 7423321xx（1）列主元消元法求出上述方程组的解，并利用得到的上三角矩阵计算出 （要)det(A有换元、消
12、元过程） ；（2）试问用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组是否收敛？（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的 Jacobi、Gauss-Seidel 迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。解：（1） 741203741203314804038A19故， ， 。Tx1,324081)(det A（2）由于 Gauss-Seidel 迭代法的特征值满足：，则UDLdet 09364232，故 ，从而 Gauss-Seidel 迭代法发散。9,0S-GB19S-GB又由于 Jacobi 迭代法的迭代矩阵为：， ，则04123JBJBIdet 94120323
13、，故 ，从而 Jacobi 迭代法发散。,JJ（3）将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后，新的方程组的系数矩阵为：是严格对角占有的，故 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法均收敛。且新的方程74120A组与原方程组同解。Jacobi、Gauss-Seidel 迭代法的分量形式的迭代公式分别为： 和 #)(2)(1)1(3)()(2)(2)1(74kkkkxx )1(2)(1)1(3)()(2)(2)1(744kkkkkxx四、 （15 分）对于如下求解一阶常微分方程初值问题 ， 的数值方),()utf 0(t法 nnnnn ffhuu1212 83证明其收敛性；求出它的局部
14、截断误差主项及绝对稳定区间；要用此方法解 ， 。为使方法绝对稳定，求出步长 的取值范围并以0)( h， 初值， 为步长，求出 的近似值 。10u1.h)02.(u2uA20解：（1）注意， ，从而 83,1,8,1,2,1200 481)321(!)2(!4106)()4(3423321CC故此为线性隐式二步三阶法，其局部截断误差主项为： 。)(ntuh（2）令， ，得 ， ，满足根条件；又02121)(2 12方法阶 ，故此差分格式收敛。13p（3）又对于模型问题： ( ), 取u0h而要使得 08312831821831)()( 22 hhh 的充要条件为： 238412831hh而 自然
15、成立。现在再由 得23841h4hh84h121由 ，可推出 ，即 。#21020,五、 （15 分）（1） 用 Schimidt 正交化方法，构造 上以 权函数的正交多项式系：1,1)(x， ， ， ;)(0x)(2x3（2）构造计算 具有 5 次代数精度的数值求积公式；1(),fdxA21（3） 利用 2)的结果求出 的数值解。40sindx解：由 ，即应构造具有 3 个 Gauss 点的求积公式。首先512n2构造 3 次正交多项式，令+323050xx051x253203x350x32781x284 82542713xx；令 即得，x5303，得 ，2512133 x 5321,0x0
16、1x取 ， ， ，令 fxdxf1 3210 fAffA即得到方程组： ， ，2102A2052053解之，得 ， ，从而具有 5 次代数精度 Gauss 求积公式952081dxf1 3903fff（2） ，则有tdtfdxf1402 5352853159fffdx40sin 5312sini16532sin9 120sin9si210sin95 A22六、证明361505210sin128505120sin 题（5 分）任选一题1设 均为可逆矩阵，且齐次线性方程组 有非零解，证明：对于nCBA, 0xBA中的任何矩阵范数 ，都有 。n1BA（1）由题意，可知矩阵 奇异。故 奇异。I-I-1
17、反证法，若存在某种范数 ，使得 ，则 ，则可知 非奇异，与11BABA-1条件矛盾。（2）由于 有非零解，故对 ，取与向量 的范数相容的矩阵范数 ，0xBA0xx则由 BAI11BxA0BAI11-得 。#xx-2 已知 ，求出 ，证明 收敛。10Ak21kk证明, ，由于k，而21kkA1k21k2-0-k1k212-0-kk级数 和 均收敛，有矩阵级数收敛定义可知， 收敛。 1k2-1k- 21kkA大连理工大学试 卷 答 案课 程 名 称：计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 A23考 试 日 期：2008 年 1 月 11 日 一、填空（每一空 2 分，共 46 分）3设 ，
18、则 2 ， ，0121AA的 奇 异 值 1,5， 3 。2A512给定 3 个求积节点： ， 和 ，则用复化梯形公式计算积分0x5.112x求得的近似值为: ，则用复化dxe10 5.24eSimpson 公式求得的近似值为 。1.064设函数 ，若当 时，满足 ，则其可表示1,)(3Sxsx0)(xs为 。321)( ccxs4已知 ,则 6 , 0 ，逼近 的2)(,6)(,0)(fff 1,0f 2,1f )(xfNewton插值多项式为: 。x5用于求 的根 的具有平方收敛的 Newton迭代公式为：sin)(f x。kkkxxco1si16已知 ， 则 的 Jordan 标准型是：
19、 或 ；01-AA017取 ，其中 ， ,则2)(xf 2301R21x；df)(2124636xTA8求解一阶常微分方程初值问题 ， 的向后（隐式）tut)(0)(Euler 法的显式化的格式为： 。211nnthu9设 12 为 的近似值，且 ，则 至少有01.2ax205.axaA245 位有效数字；10将 ，化为 的 Householder 矩阵为： ；T4,3xT0,5y 53411 ；kk015.013212用二分法求方程 在区间 内的根，进行一步后根所在区间3()510fx1,3为 ，进行二步后根所在区间为 。2, 2,.13写出如下二阶常微分方程两点边值问题的差分格式为（化成最
20、简分量形式）： 。9,1,019401iuuiii， ， ，xu2d)()(100)(u)1(其中 ， ， 。ihx10, 1h14设 ，则在 Schur 分解 中， 可取为 或 。25AHURA10015设 ，则 , 。#01tAe10tetd01二、 （8 分）根据下列表格给出的数据，求其形如 的最小二乘拟合曲线。bxas)(kx-2 -1 0 1 2 y-3.1 -0.9 1.0 3.1 4.9解：正规方程为： iiiiii yxbax51512A25即为： ，解之， 。#205105ba12)(xs三、 （12 分）设线性方程组： 7423321xx（1）列主元消元法求出上述方程组的解
21、，并利用得到的上三角矩阵计算出 （要)det(A有换元、消元过程） ；（2）试问用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组是否收敛？（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的 Jacobi、Gauss-Seidel 迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。解：（1） 741203741203314804038故， ， 。Tx,24038)(det A（2）由于 Gauss-Seidel 迭代法的特征值满足：，则UDLdet 09364232，故 ，从而 Gauss-Seidel 迭代法发散。9,0S-GB19S-GB又由于 Jacobi 迭代法的迭代矩阵为：，
22、，则04123JBJBIdet 94120323A26，故 ，从而 Jacobi 迭代法发散。3,0JB13JB（3）将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后，新的方程组的系数矩阵为：是严格对角占有的，故 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法均收敛。且新的方程7412A组与原方程组同解。Jacobi、Gauss-Seidel 迭代法的分量形式的迭代公式分别为： 和 #)(2)(1)1(3)()(2)(2)1(74kkkkxx )1(2)(1)1(3)()(2)(2)1(744kkkkkxx四、 （15 分）对于如下的数值方法 nnnnn ffhuu1212 83（1） 求出其局
23、部截断误差主项，并指出此方法的完整名称；（2） 证明其收敛性；（3）求出其绝对稳定区间。解：（1）注意， ，从而 83,1,8,1,2,1200 A27481)321(!)2(!4106)()4(83120423310CC故此为线性隐式二步三阶法，其局部截断误差主项为： 。)(ntuh（2）令， ，得 ， ，满足根条件；又02121)(2 12方法阶 ，故此差分格式收敛。13p（3）又对于模型问题： ( ), 取u0h而要使得 08312831821831)()( 22 hhh 的充要条件为： 238412831hh而 自然成立。现在再由 得23841h4hh84h121由 ，可推出 ，即 。
24、#21020,五、 （14 分）（1） 用 Schimidt 正交化方法，构造 上权函数 正交多项式系， ，1,1)(x)(0x， ;)(x2（2）设 在 上具有二阶连续导数，用 1）中所得到的 的零点 , 为插()fx1, )(2x01x值节点构造 的 Largrange 插值多项式 ，并给出余项估计式；)(1xLA28（3）设要计算积分 以 代替 ，求出相应的数值求积公式，并求出1(),fxd)(1xL()f其代数精度；（3） 利用 3)的结果给出 的数值求积公式。20)(f解：（1） ，1)(0xx201,1 13940321,1,)( 2222 xxxx（2）令 ，得 。则1394)(
25、22 31,0x，)(32)(32)()()( 101010101 xfxfxfxfxL ，!2)()(11 xfxfxr（3） ，3 次代数精度。1(),fd 1)()(11 ffdLfI（4） 令 则tx。# 31)1()(20 fftfxf六、证明题（5 分）设 均为可逆矩阵，且齐次线性方程组 有非零解，证明：对于nCBA, 0xBA中的任何矩阵范数 ，都有 。n1BA证明：（1）由题意，可知矩阵 奇异。故 奇异。I-1-I-1A29反证法，若存在某种范数 ，使得 ，则 ，则可知 非奇异，与1BA1BABAI-1条件矛盾。（2）由于 有非零解，故对 ，取与向量 的范数相容的矩阵范数 ，0
26、xBA0xx则由 BAI11BxA0BAI11-得 。#xx-大连理工大学矩阵与数值分析2009 年真题 2006 级计算方法试题 B 卷答案一、填空，每题 4 分，共 34 分1） 的绝对误差界为 ， 的相对误差界为 ；a210a4102）法方程组为： ；2184b0,2201,821,30sin1,x20sinsi1,xdx3）设 17 ， 1717=289 ；AcondA117574）应改写为 16081743xxx5）均差 0 ， ；,2f2lx6）此数值求积公式的代数精度为： 3 ；7）求解 的隐式 Euler： ；1ute 11nuteh8）用二分法进行一步后根所在区间为: 1,
27、2。9) 分解为： ；TL02110) 上以 权函数的正交多项式 1 ， 。0,1()lnx0xx14A3011)； 1,01,2kkxkex12) 正交矩阵 ：231H二、计算题1 （15 分）解：已知， 。21,0,1,20,1,032，故此为二步一阶方法。局部误差0,c13,c23c主项为： 。233nhutOh又 ，满足根条件，故此差分格式收敛。1又考虑模型问题 则，有特征多项式：，其中23()102hh由判别式可知 的充要条件是： ，而 自然成立，则由132得出 。32h4,03由于 ，故 的取值范围是： 。0hh103h2 （15 分）解： ，则12,0,12mmxd， ， ， 。1203xd31 415xd1530xd，令 即得，2250xx24502xx2245
