1、 第 2 章 二阶张量 研究定义在一个固定点（张量的元素是实常数， 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。 ig2.1 二阶张量的元素 jiijjiiijijijiijTTTT ggggggggT =jiiijiji 同一坐标系 jijiijjiTTTT= gggggggg 另一坐标系 (1) 不同坐标系中实体不变，但其分量不同： ,j jii ijiT Tjij i j i i j jTT T T T T iiij 同一坐标系下不同的并矢下，其分量也不同： 。 ijijTTTT (2) 定义转置张量： () ( ) ( ) ( )ji iT
2、TijTi T jTjiij i iTT=Tggg gjjg=NNjiij jj ii ij iijij ji i j jiji i j j i i jTTT T=gg gg gg gg 协、逆变分量指标交换，混变分量互相交换 ji j i i j ijij i j i i j iTT TT= =gg gg gg gg 也可以分量不动，并矢交换 (3) 对称张量 T性质： 、 、 、 ， NN =jiijNN =iiNN=jjNN=（而一般： 、 在相同的，混变分量的转置jiNN jNN 系数矩阵的转置） NuuN = (4) 反对称张量 T=性质： 、ij ji=ij ji = 、iijj
3、ii= 、jj = ， （而一般：ijji iij 、j = 在相同的 (5) 行列式的值： 定义：ijT=Tdet ， ijijjiijTggTTgT2=， ijg G= ijijTT = 、ijijTT = 、jijiTT= 、 kkij i kj i kj iTTG TGgT= =k1(6) 二阶张量的缩并（求迹）： ， iTtr =Tiii ()iiSTtr +=+ST ， () STST =tr ，( ):Ttr =TS TS (7) 二阶张量与矢量的点积就是线性变换： ， ， 但 =wTuiiwTu=jjnullTu uTT Tu uT 2.2 正则与退化的二阶张量 定理：任意二阶
4、张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集 【设矢量集 线性相关，则存在不全为零的实数 ()iu ()i 使： 1() ()Iiii=u0, , 所以()11() () () ()IIiiii i i= = 0T u Tu ()iTu 也线性相关】 定理： , , det , ,=TuTvTw Tuvw 为两个平行六面体的体积比，三维空间中 3 个矢量是否线性相关取决与它们的混合积是否为零 detT正则与退化 de 的二阶张量正则二阶张量；否则为退化的二阶张量 t 0T(1) T 为正则 (i=1,2,3) 性无关，则 ()iu ()iTu 也线性无关。 (2) 正则 T 是单射的： u
5、v Tu Tv (3) 正则 T 是满射的： 所作的线性变换u =Tu v，必存在唯一的逆变换 1=Tvu定义：正则二阶张量 T ，必存在唯一的正则二阶张量1T 使：11 =TT T T G 2.3 二阶张量的不变量 张量分量的数值随坐标改变而变化，但其某些组合却是不随坐标变化的标量- 不变量。 T 通过与自身 T 、 、 进行缩并，得到的标量就是不变量: G ji i(1) :ij iTT= =GT GTnullnulljinullnullijk l m ntr( )ijTT = = TT TT lmn i j kTT T = TTTMMnullnull nullT 的不变量由无限多个（不变
6、量的组合仍是不变量），通常关心的有两组： (2) 主不变量（ T 特征多项式的三个系数） 2123:mmnmnTT T T GT GT T112mn mn =+= = = = =GT ()()11 2 2 1112 23 13222 3 3 3312 23 131:21122mn pq ipjqmn q p jqi pTT T T TTTT T T TTTT TT TT =+= =GT GT TT共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 和 ,mn ,p q 可以互换但乘积不变，所以要乘 1/2 11 112322 2312333 31231113! 6 6ijk l m n ij
7、k l m nlmn i j k lmn i j kTTTTTT TTT TTTTTT = = TTTMM 共有 6 项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零； 均顺序和均逆序的排列有 6 种，同样 也有六种，组合共有 36 种，除去重复的只有 6 种，所以要乘 1/6 ,lmn,ijk矩： TTG tr=:1( )jiTTtr= TTTTij 2ikj 311()kjiTTTtr= TTT 两者之间的关系： =， ( )22 =212， ( )333 +=21133(3) 二阶张量的独立不变量有 6 个，对称二阶张量有 3 个，反对称张量 1 个。 (4) , , , ,
8、 ,=Tabc aTbc abTc abc1 2, , , ,= = =TaTbc aTbTc aTbTc abc 3, ,=TaTbTc abc2.4 二阶张量的标准形 1 实对称张量 N (1) 定义： 、 、 、 ，而一般： 、 jiij jj ii ij jiNuuN =NN =jiijNN =iiNN=jjNN=jiNN ijNN=3(2) 对任一实对称 2 阶张量，总能找到一组正交标准化基： i333222111 i ieeeeeeeN NNN += ， 为主分量， 为主方向。 N e(3) 坐标、主分量的求法： aaN = ( ) 0=iiaN ijj j a （主坐标系下，主方
9、向矢量 a 经变换后方向不变） 非零解321230ii NNNjjN = += 三个根均是实根 : 设有复根：21 i+= ，由 ( )ijiaiaN +=j 21ia 必为复数： iiiia += ( ) ()( )iijjiiiiN +=+j 21 ( ) ( )iiiijijiiiNN +=+jj 2121 ( ) ( ) ( )( )iiiiiijijiiiiiNN =+=jj 212121 aaN = 21 i= 也是复根. aaN = aaaNa = ； aaN = aaaNa = 因为 N 对称，所以 ( ) 0= aaaNaaNa 0= 为实数。 主方向正交 1) 无重根321
10、 时： 111aaN = 12112aaaNa = ；222aaN = 21221aaaNa = () 021121221= aaaNaaNa 021=aa 2) 二重根时：如设321 = 3a 的方向是确定的，与 垂直平面内的任意方向均是主方向。 3a( , ) 130=aa230=aa3) 三重根时：321 = 空间任意一组迪卡尔坐标系均是主坐标系。 4(4) 对应的线性变换 N 将 N 主方向上的矢量 映射为平行自身方向的矢量，且放大 倍： iaiNiiiN aaN =(5) 是对角元的极值： iN求对角元的极值： 且满足： 。(ijjiiiiiNN= 1=iiii i不求和) 以 为例
11、： ijjiNN=1111 ( ) max11111=iiijjiNJ ( ) ( ) 0111111=+=ijijijjjiijijiNNJ 011= iiN ijji 11 jj; 0=jiijN ( ) 01=iiN ijj; ( ) 0=jiiN 1 jj同理 1 推广到 i : ( ) 0=iiiN ijj; ( ) 0=jiiN ijj使转换系数 和 有非零解的条件: iiji 0=ijijN 求极值的计算等同于求特征值的计算。 2 实反对称二阶张量 (1) 定义： 、 、 、 ， jiij=jiij=ijij=jiji =而一般： 、 jiij ijjiuu =(2) 不变量：
12、01= ； (对角元为零) 03=5()()()22132232121313232312122000000 =+=+=(3) 主方向： 特征方程： 023=+=ijij 一个零根： 03= ；一对共轭虚根： ii =22,1 03= 对应的特征方向的单位矢量为 ，3e 0ee =333 对应的特征方向的单位矢量设为 、 ，则在 、 、 坐标中， i 2,1 1g2g3e1g2g=0000000ii取 、 为垂直于 的平面内的任意一组正交单位矢量，以 、 、 为基矢量的元素矩阵满足：第三列为零；反对称；利用在正交标准化基中 的反对称性和条件 ，可以的推出： 1e2e3e1e2e3e22 =000
13、0000(4) 反偶矢量：定义 :21= ，称 为 的反偶矢量 =uu =3e = (5) 对应的线性变换 21311eeeee = 12322eeeee = 03333= eeee )()(12213322113eeeeeeu uuuuu =+= 将 在 、 平面投影，放大u1e2e 倍，绕 旋转3e 2 。 6ee12u1u2u1-u23 非对称张量 T (1) 至少有一个实根： 032123=+=TTTijijT ，系数全部为实数，故至少有一个实根。设实根为3 ，对应特征方向的基矢量为 ，则有：3g333ggT = 。选择与 不共面的基矢量 、 ，在这组基矢量中：由3g1g2g333gg
14、T = 可以知道， T 的元素矩阵为： 下面讨论如何选择 、 ，使该矩阵进一步化为某种标准形。 332312221121100TTTTTT1g2g321 ： (2) 3 为实根 2 、 1) 则 、 、 线性无关。 1 2 3i 332211g g g设 线性相关，g 0=+ ggg ccc 7T 点积两边一次： 0333222111=+ ggg ccc T 点积两边两次： 0222=+ ggg ccc333222111=000111321232221321ccc ，因为： 0)()(111133221232221321= 0ic 线性无关 ig取 、 、 为基，1g2g3g1211 2 2
15、332 =+T gg gg gg ，对应的线性变换为： 3 为一组共轭复根 2 、 2) i+=1， i=2因为iiiggT = 仍然成立，所以在此组基下仍然有：1211 2 2 332 = +T gg gg gg 而 、 必然涉及复数。 1g2g取： ， ；211ggg += ()212ggg = i33gg = (ig 为实数) 则：211gggT += ；212gggT += ；33ggT = ig基下，元素矩阵为： 对应的线性变换为： 1000083) 有二重根： 因为实系数方程的复根必须成对出现，故特征方程如果有重根，必须是实根。此时 T 不一定能化为对角型标准形，一般来说是约当（J
16、ordan ）标准形，这由张量 T 的特征矩阵： ()iijjT=的初等因子决定。 a) 若初等因子是简单的： 113()0 0() 0 ( ) 000()iijjT = = =311000000ijT， T 可化为标准型: ，对应的线性变换为： 333221111ggggggT +=对应的线性变换： 将1g 、2g 构成的平面上的任意矢量均放大1 倍，将3g 方向的矢量伸长3 倍。 1） 若初等因子不全是简单的： 113()1 0() 0 ( ) 000()iijjT = = =311000001ijT， T 可化为约当标准型: ( )3332122111ggggggggT += ，对应的线
17、性变换为： 对应的线性变换： 将1g 、3g 各放大1 、3 倍， 将2g 映射为12 1 +gg。 上述两种具有二重根的情况，特征矢量组都不唯一。 4) 有三重根： 1） 若初等因子是简单的（具有 3 个全为 1 次的初等因子： ( )1 ）： )(000)(000)(111=ijijT ， =111000000ijT9T 可化为标准型: 。 GggggggT1331221111 =+=对应的线性变换是将三维空间中的任意矢量放大1 倍。 2) 若初等因子不是全简单的（具有初等因子： ( )1 ， ()21 ）： )(000)(001)(111=ijijT ， =111000001ijTT 可
18、化为标准型: 对应的线性变换为： () ,3312211111gggggggT +=2） 具有 3 次初等因子（具有初等因子： ()31 ） )(001)(001)(111=ijijT ， =111001001ijTT 可化为标准型: ()( )33122211111ggggggggT += ，对应的线性变换为： 2.4 几种特殊张量 1 0 张量 （ ） 0a0r= a2 G 张量 （1 ）广义单位张量： ， aaG = TGTTG = 3转置张量 TT（1 ） ， ()T=TaaTTTT=S TTS 4二阶张量的幂： 101）正整数次幂： TTTT = Ln， 2）零次幂：因为 TTG =
19、 和 nnTTG = GT =03） 负整数次幂： GT ，TTT = 11 111 = TTTT Ln)det(1)det(1TT = )()(11TT111)(= ABBA5相似张量： 两个对称张量的主分量成比例： 6比例张量： 两个对称张量的主分量成比例而且主方向相同 7正张量 N 满足： 0: = uuNuNu ， N 为正张量 任意的非零矢量 ，若u 对称张量0: = uuNuNu ， N 为非负张量 （1 ） 在 N 的主坐标中，333222111eeeeeeN NNN += ， N 为正（非负）张量 0)(iN（2 ） 方根： N 非负，存在唯一的非负对称张量 M ，使 NM =
20、2，记为：21NM = 对称张量在主坐标系下表示：333222111eeeeeeM MMM += ，则： ( )()( )3323222211212eeeeeeMMM MMM += ，所以 也是ie NM =2的主系 所以 （3 ） 任意非对称张量可以构造非负张量： 1）T=X TT， 为非负张量，若T=YTT T 可逆，则 X 、 Y 为正张量。 非零 ， u()( ) ( ) ( ) ( )0TT = =uT T u uT Tu Tu Tu ，故 X 、 Y 非负。 若 T 可逆，存在1T ， 0uT = 00TuTTu = 11非零 ， ，即u 0uT ( ) 0uTTu ，故 X 、
21、Y 为正。 2） X 、 Y 为对称张量： ()()()TTTTTT T= = =X TT T T TT X， ()()()TTTTT T T= =YTT T TY 113） X 、 Y 为不同的张量，但有相同的主分量： 因为 X 、 Y 对称，所以各自存在主坐标系： in j m in m mnjm i n nm i nm mminj m mnj mnjm i n jm n nm nnTT TT TTTT TT TT = = = = = X TT gg gg gg eeYTT gggg gg ee系数相同，但并矢不一定相同。 kTTXXX1333222111 =+= eeeeeeX 8正交张
22、量：1T =QQ 即： TT=QQ Q Q G1) 在任意斜坐标系中， T，只有在迪卡尔坐标系中有： TQQT。 TQQ=2) 正交变换的保内积性：任意矢量 u、 v 分别进行正交变换后，内积不变： ()()vuvQuQ =由转置张量性质： ()()T=Qu Qv uQ Qv uv保内积：保持两个矢量变换前后的长度和夹角不变，正交变换只能将空间一组基矢量进行刚性旋转，不能改变他们的长度与夹角。 逆定理： 、u v 变换后内积不变，则变换一定是正交的 ()()1TTT =Qu Qv uQ Qv uvQQG Q Q2） 正交张量的并矢表达： jijijiijQQ ggggQ=iikkjiijkkQ
23、Q gggggQg=kkkiikQ ggggQ =同理： kkggQ =若变化前是标准正交化基，正交变换后仍为标准正交化基： =31iiieeQ 且： ),cos(jijiijQ eeee =ijjkjjkijiQQ = eeee 标准正交化基中，正交张量分量就是 与该正交张量变换后的矢量 之间的夹角方向余弦 ieie%3） 正规正交张量与非正规正交张量： 因为： TQQ G= ()2det det det 1T= =QQ Q 故： (称正常正交张量) 或 1det +=Q 1det =Q (称反常正交张量) 12分别对应刚性旋转和镜面反射。 123 123, det ,=ggg Q ggg%
24、 4） 正交张量的标准型和线性变换 设正交张量 的特征方程有特征根：Q1 、2 、3 。且 1det321= Q 。 其中必有一个实根：3 。1 、2 可同时为正或一对共轭。 由保内积性： 13= ，进而推出： 121= 若：1 、2 均为实数: 1. 1321= ，表示: 经正交变换后，大小方向均不变。 ie2 121= ， 13= 。 若：1 、2 为共轭复数: 121= 121= 1,2cos siniei = 正常正交张量的标准型为： 000000 1iiee=R 3321222111cossinsincoseeeeeeeeee=+=+=RR=1000cossin0sincosR 反常
25、正交张量的标准型为： 13=1000000iieeR3321222111cossinsincoseeeeeeeeee=+=+=RR=1000cossin0sincosR 12 张量的值： 矢量的值就是矢量的长度： ()21aa 二阶张量的值： () )(tr:21 = AAAAA 因为 是非负的，故其中的元素 ，所以才可以开根号 AA: 05. 二阶张量的分解 1 加法分解 任意一个二阶张量均可以通过下面方式分解为一个对称和一个反对称张量： ()12T=+NT ，()12T= TT ()12ij ij jiNTT=+，()12ij ij jiNTT=+，()12iiijjjNTT=+nulln
26、ullnull，()12iiijjjNTT=+nullnullnull()12ij ij ji= + ，()12ij ij ji= + ，()12iiijjj =+nullnullnull，()12iiijjj =+nullnullnullN 进一步分解为球张量和偏斜张量： DPN += 球张量：()12311if 1330 if ijNjiNNN iPijj+ +=nullnull null三个主分量相等 1) 11 1P NT =, ()22113PN= , ()33127P=1N只有一个独立不变量 142) 空间任一标准正交化基都是球形张量的特征矢量 3) 任意两球形张量都是比例张量 偏
27、斜张量：()12311if 133if ijii jNjjiijNNNN iDNNij + = =nullnullnullnullnull1) 10D = , ()222 1103DN N = ”表示是正张量） 0T 0T15因此构造 TTH =，= TTH1，则 ， 0H 01H因为 H 、 为正张量，所以一定可逆，令 ， 。 1H1= HTQ THQ =11Q 、 正交。 1Q() ( )() GHHHHTTHHTTHHTTHHTHTQQ=12111111111 T 确定，则 H 、 、 Q 、 就唯一确定了。 1H1Q6. 正交相似张量 定义：二阶张量 A、 B ，若 ； 则QBQA =
28、 = QAQB A、 B 互为正交相似。 定理：对称张量 N 、 M 正交相似的充分必要条件为 。 MiNi = 必要性：设 ，= QNQM M 的特征行列式为： ( )( )= QNGQQNQG det)det()det(ijjiM = () ( ) )det(detdetdetdetijjiN= NGQNGQ 所以： MiNi =充分性：设 。因为MiNi = N 、 M 对称，所以在各自标准化基 和ieie中标准型相同（对角形），iiieeN = ，iii=Me e%，定义 使 QiieeQ =，则 正交， Q( GeeeeeeQQ =iijjii)，且 iieeQ= 。 对任意 ，ii
29、a ea = ( )ii i iii iiaa a= = = =QNa Qe e Ma M e M Qa% ，两边点乘 QMNQ =QQ1 MQNQ =必要性的证明：适用于非对称张量 非对称的二阶张量正交相似，则 3 个主不变量相等 充分性的证明：只适用于对称张量 3个主不变量相等的二阶张量，则不一定正交相似 相似张量的定义： 16习题： 2.1 求证: 3=gg g 3=gg g3=gg g 3 =gg g 2.2 设 1112122212e=nullnullnullnullnullnull 求证=nullnull, =nullnull2.3 求证 =nullnullnullnull2.4
30、求证 = = 2=2.5 令 =gg gg 求证 =null G 2.6 设在二维空间内 为一任意矢量, 为另一矢量 u v =nullnullvu u 求证 0=nullvu =vu (即 =3g u 如图 2.4 所示,3g 垂直纸面向外) 2.7 试用张量符号证明: ()()()( )( )( )= nullnullnullnulla b c d ac bd ad bcnullip j qjq i p=Sgggg()()( )= nullnullabc acbabc 2.8 定义轮换张量 ip j qjq i p=Sgggg 式中 ip i p i pjq j q q j = 设 C 为
31、任意二阶张量 rsrsC=Cgg 17求证 ()rsrs sr111CC222=S :C C:S= g g 2.9 定义轮换张量 ijk l m nlmn i j k=V ggggg g 式中ijk ijklmn lmn = 设 T 为任意张量 rst p qpq r s tT=T ggggg 求证：ijk lmn p qlmn pq i j k11T66=MVT ggggg 对上标 i ， j ， 的任意两个均为反对称 k2.10 设 p q ijp qij q t q i j pTT =ijpT ggggg gggg 对于 ， i j 为反对称，坐标为右手系 定义 qqkpTT =null
32、nullnull nullkp pkqqkpTgg gg 式中 23 3211ppqqTT= =ggnullnull nullnullnullnullnullnull1pq T 31 1311ppqqTT= =ggnullnull nullnullnullnullnullnull2pq T 12 1111ppqqTT= =ggnullnull nullnullnullnullnullnull3pq T 求证 为一张量。且 T23 321ppqqTT= =ggnullnullnullnullnull nullnullnullpq T 31 132ppqqTT= =ggnullnullnullnu
33、llnull nullnullnullpq T 12 213ppqqTT= =ggnullnullnullnullnull nullnullnullpq T 2.11 已知: 为二阶反对称张量, 矢量 与 互为反偶, 即满足 :12= 求证: 对于任一矢量 ,必满足 unullu= u 182.12 已知: 矢量 与二阶反对称张量 互为反偶. 即满足 :12=求证: nullnullu=- =2.13 已知: 矢量 与二阶反对称张量 互为反偶, :12=,矢量 与 v 相平行. 求证: :0=v2.14 已知: 矢量 与二阶反对称张量 ,矢量 与二阶反对称张量 分别互为反偶. 求证: : =12 : 19
