1、长方体的体对角线与棱长的关系长方体与球1长方体的外接球。截面图如右图：实质构造直角三角形，联系半径与长方体的长宽高。半径为体对角线的一半。2.球与正方体内接，外切，棱切问题； 2aRaR2aR23正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）A 1： B 1：3 C 1：3 D 1：922cbadCBADO3正三棱柱的内切求，外接球例题：已知底面边长为 正三棱柱 的六个顶点在球 上，又知球 与此a1CBA1O2正三棱柱的 5 个面都相切，求球 与球 的体积之比与表面积之比。1O2分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图 6，由题意得两球心 、 是重合的，过正三12棱柱的一条侧棱
2、 和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边1A长为 ，则 ，正三棱柱的高为 ，aaR632aRh32由 中，得ODt1，22221 15633aaa a15，1:5:2121RS:2V棱锥的内切、外接球问题例.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 内切球半径为： 外接球半径为： 612raaR46分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图 1 所示，设点 是内切球的球心，正四面体棱长为 由图形的对称Oa性知，点 也是外接球的球心设内切球半径为 ，外接球半径为 rR正四面体的表面积 2234aS表正四面体的体积 22211BEAEVBCDA 图 6图 13221
3、31aa， BCDAVrS表3aSrBCDA1263表在 中， ，即 ，得 ，得EORt22EOrRaR46r3【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 ( 为正四面体的高)，且外接球的半径 ，4h 43h从而可以通过截面图中 建立棱长与半径之间的关系。OBERt割补法补型还原法（1 ）将正四面体补成正方体。（2 ）将相对棱长相等的三棱锥补成长方体。（3）将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体，如图所示，。PABPCB， ，例 ：已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA，PB，PC 两两垂直，且长度分别为 3,4,5
4、.求该三棱锥外接球的体积。解：将三条侧棱 PA，PB，PC 两两垂直三棱锥 P-ABC 补成一个长方体， （如上图所示） ，则两两垂直的三条侧棱就是长方体的长、宽、高，所以该长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径。设三棱锥外接球的直径为 2R，则 2R=3+45.所以球的体积 。3451V=分割法对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式,常常需要运用分割法, 按照结论的要求，将原几何体分割成若干个可求体积的几何体，然后再求和例 2：如图 4，已知直三棱柱 的体积为 V，点、分别是侧棱ABC-上的点，且 ，求四棱锥 的体积。AC， P=Q-PQC分析：由于所求四棱柱的高及底面 APQC
5、的面积都不易求得，因此考虑将四棱锥 B-APQC 分割后求解。解：如图 4，连接 PC，将四棱锥 B-APQC 分割成两个三棱锥 B-APC 和 B-PCQ，因此 B-APQCB-P-CQV=+V.连接 AQ，因为 所以三棱锥 B-PCQ 的体积AS，。B-PCQ-AQ-BC1=P3又-P-VS所以 。B-APQC-B-PCQABABC111=+=PS333V等积变换法等积变换法也称等积变形法或等积转化法，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法。求三棱锥的体积时可采用此方法。例：如图 1 所示，在边长为 的正方体 中， 分别是棱a1ABCDMNP表上的点，且满足 ， ， ，试求三棱锥1
6、1ABD表 12M11N134A的体积MNP111A-MNPAMAN332=42VShaa表习题例题：1。正方体的全面积是 24，它的顶点都在同一球面上，这个球的表面积是 解析：显然，球是正方体的外接球，a=2，则 R= ，S=12 。322一个球与棱长为 1 的正方体的 12 条棱都相切，则球的体积 解析：如果明确了上面的结论，问题很容易解决。R= 1= V=2323将棱长为 1 的正方体削成体积最大的球，则球的体积为 解析：削成体积最大，即要求球是正方体的内切球，与正方体的俄各面都相切。R= ， V= 。2344P、A、B 、C、是球 O 面上的四个点，PA、PB 、PC 两两垂直，且 P
7、A=PB=PC=1，则球的体积是 解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成正方体，则球是正方体的外接球，所以 R= ， V= 。23.5 是一个正方体，H、G、F 分别是棱 AB、AD、AA1 的中点.现在沿GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以 HA 与 AG、 AF 都垂直，即 HA 垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形 AGF 为底面，H 为顶点的一个三棱锥.解：设正方体的棱长为 a，则正方体的体积为 a3.三棱锥的底面是 RtAGF，即 FAG 为 90，G、F 又分别为 AD、AA1 的中点
8、，所以AF=AG=a21.所以AGF 的面积为28121a.又因 AH 是三棱锥的高，H 又是AB 的中点，所以 AH= .所以锯掉的部分的体积为324813a.又因 4813a,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的 .6.若与球心距离为 4 的平面截球所得的截面圆的面积是 9，则球的表面积是_.分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是 3，则球的半径为234=5，所以球的表面积是452=100.答案：100已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2；则此棱锥的体积为_
