1、- 1 -第二节 矩形、菱形、正方形【回顾与思考】【例题经典】会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形例 1 （2005 年黄冈市）如图，在 RtABC 中，ACB=90，BAC=60，DE垂直平分 BC，垂足为 D，交 AB 于点 E，又点 F在 DE 的延长线上，且 AF=CE求证：四边形 ACEF 为菱形【分析】欲证四边形 ACEF 为菱形，可先证四边形 ACEF 为平行四边形，然后再证 ACEF 为菱形，当然，也可证四条边相等，直A接证四边形为菱形矩形、菱形的综合应用例 2 （2006 年青岛市）如图，在 ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AGDB 交 C
2、B 的延长线于 G（1）求证：ADECBF；- 2 -（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论【解析】 （1）四边形 ABCD 是平行四边形1=C，AD=CB，AB=CD点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，AE= AB，CF= CD2AE=CFADECBF（2）当四边形 BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形四边形 ABCD 是平行四边形，ADBCAGBD，四边形 AGBD 是平行四边形四边形 BEDF 是菱形，DE=BEAE=BE，AE=BE=DE1=2，3=41+2+3+4=180，22+23=1802+3=90即ADB=90，四边形
3、 AGBD 是矩形会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题例 3 （2005 年吉林省）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=3 ，BC=6，沿 EF 折叠后，点3C 落在 AB 边上的点 P 处，点 D 落在点 Q 处，AD 与 PQ 相交于点 H，BPE=30（1）求 BE、QF 的长 （2）求四边形 PEFH 的面积【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解【考点精练】一、基础训练1如图 1，在菱形 ABCD 中，已知 AB=10，AC=16，那么菱形 ABCD 的面积为_2 （20
4、06 年黄冈市）如图 2,将边长为 8cm 的正方形 ABCD 的四边沿直线 L 向右滚动（不滑动） ，当正方形滚动两周时，正方形的顶点 A 所经过的路线的长是_cm- 3 -(1) (2) (3)3用两个全等的直角三角形拼下列图形：平行四边形；矩形；菱形；正方形；等腰三角形；等边三角形；一定可以拼成的是_（只填序号） 4如图 3，点 E、F 是菱形 ABCD 的边 BC、CD 上的点，请你添加一个条件（不得另外添加辅助线和字母） ，使 AE=AF，你添加的条件是_5 （2006 年烟台市）如图 4,先将一矩形 ABCD 置于直角坐标系中，使点 A 与坐标系的原点重合，边 AB、AD 分别落在
5、 x 轴、y 轴上（如图所示） ，再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转 30（如图所示） ，若 AB=4，BC=3，则图和图中，点B 的坐标为_，点 C 的坐标为_(4) (4) (5) (6)6 （2006 年广安市）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A对角线相等 B对角线互相垂直平分C对角线平分一组对角 D四条边相等7如图 5，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AB，AC 的中点，如果 EF=2，那么菱形 ABCD的周长是（ ）A4 B8 C12 D168 （2006 年江阴市）已知如图 6，则不含阴影部分的矩形的个数是（ ）A15 B24 C25 D169 （2006
6、年潍坊市）如图 7，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30到正方形ABCD，图中阴影部分的面积为（ ）A B C1- D1-123334(7) (8)10 （2006 年淄博市）将一矩形纸片按如图 8 方式折叠，BC、BD 为折痕，折叠后 AB - 4 -与 EB 在同一条直线上，则CBD 的度数（ ）A大于 90 B等于 90 C小于 90 D不能确定二、能力提升11如图，矩形 ABCD 中，M 是 AD 的中点（1）求证：ABMDCM；（2）请你探索，当矩形 ABCD 的一组邻边满足何种数量关系时，有 BMCM 成立，说明你的理由12 （2006 年泉州市）如图，在矩形
7、 ABCD 中，E、F 分别是 BC、AD 上的点，且 BE=DF求证：ABECDF13 （2006 年沪州市）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，AE=AD，DFAE，垂足为 F线段 DF 与图中哪一条线段相等？先将你的猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明即 DF=_ （写出一线段即可）- 5 -14已知：如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC分别相交于E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形三、应用与探究15 （2006 年河南省）如图，在ABC 中，ACB=90，AC=2，BC=3D 是 BC 边上一点，直线 DEBC 于 D，
8、交 AB 于 E，CFAB 交直线 DF 于 F设 CD=x（1）当 x 取何值时，四边形 EACF 是菱形？请说明理由；（2）当 x 取何值时，四边形 EACD 的面积等于 2？- 6 -答案：例题经典 例 3 （1）BE=2，QF=1 （2）7 3考点精练 196 216 +16 3 4BAE=DAF（答案不唯一） 5B（4，0） ， （2 ，2） ，C（4，3） ， （ ） 434,26A 7D 8C 9C 10B 11 （1）略 （2）AB= AD 时，BMCM 112根据 SAS 证ABECDF 13DF=DC证略 14证AOECOF即得 AE FC四边形 AFCE 是平行四边形/又
9、 ACEF，四边形 AFCE 是菱形 15解：（1）ACB=90，ACBC又DEBC，EFAC又AECF，四边形 EACF是平行四边形当 CF=AC 时，四边形 ACFE 是菱形此时，CF=AC=2，BD=3-x，tanB= ，ED=BDtanB= （3-x） ，2323DF=EF-ED=2- （3-x）= x23在 RtCDF 中，CD 2+DF2=CF2，x 2+（ x） 2=22，x= （负值不合题意，舍去） ，613即当 x= 时，四边形 ACFE 是菱形 613（2）由已知得，四边形 EACD 是直角梯形，S 梯形 EACD= （4- x）x=-123x2+2x13- 7 -依题意，得- x2+2x=2，整理得，x 2-6x+6=0解之，得 x1=3- ，x 2=3+ 13 3x=3+ BC=3，x=3+ 舍去，当 x=3- 时，梯形 EACD 的面积等于 2
