1、第一讲椭圆与双曲线的第一定义、椭圆与双曲线的第一定义例1已知平面上两点A、B，且AB d（0d），建立合适的坐标系，分别求满足下列条件的点P的轨迹方程：PA PB，0；PA PB m，0m；PA PB n，0n用描点法画出方程的曲线，并探索方程的代数形式对应的曲线的几何特征椭圆1、定义平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹称为椭圆2、标准方程设平面内两个定点坐标为, 0c，距离之和为2a，记2 2b a c，则椭圆的标准方程为2 22 2 1x ya b（0a b）3、基本量焦点、顶点、长轴、短轴；离心率eca可以表征椭圆的形状：e越大椭圆形状越扁平，e越小椭圆
2、形状越接近圆，对于椭圆0 1e；4、简单的几何特征范围，对称性；双曲线1、定义平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于非零常数（小于两个定点之间的距离）的点的轨迹称为双曲线2、标准方程设平面内两个定点坐标为, 0c，距离之差为2a，记2 2b c a，则双曲线的标准方程为2 22 2 1x ya b（0a b）3、基本量焦点、顶点、实轴、虚轴离心率eca可以表征双曲线的形状：e越大双曲线形状越接近两条直线，e越小双曲线形状越接近两条射线，对于双曲线1e；渐近线by xa【备注】求双曲线渐近线方程时，可以直接将右边常数改为0即可4、简单的几何特征范围；对称性例2已知M为椭圆内一点，F为椭圆的右焦点
3、，M是椭圆上一动点求使MA MF取得最大、最小值的点；求使MA MF取得最大、最小值的点F FA AFF例3点M是椭圆2 2 125 16x y上一点，它到其中一个焦点1F的距离为2，N为1MF的中点，O表示原点，则ON；（2010年宣武一模）P为椭圆2 2125 16x y上一点，,M N分别是圆2 23 4x y和2 23 1x y上的点，则PM PN的取值范围是（）A7 , 13 B10, 15 C10, 13 D7, 15例4（2010年安徽）双曲线方程为2 22 1x y，则它的右焦点坐标为（）A2 02，B5 02，C6 02，D3 0，（2010年福建）若点O和点2 0F，分别为
4、双曲线222 1( 0)x y aa的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP FP的取值范围为（）A3 2 3，B3 2 3，C74，D74，（2010年浙江）设1F、2F分别为双曲线2 22 2 1x ya b（, 0a b）的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足2 1 2PF F F，且2F到直线1PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲的渐近线方程为（）A3 4 0x yB3 5 0x yC4 3 0x yD5 4 0x y例5（2010年朝阳一模文）已知椭圆M：2 22 2 1x ya b的左右焦点分别为1 22, 0 , 2, 0F F，若点3 , 1C在椭圆上，则椭圆
5、M的方程为（2010年宣武一模文）已知椭圆C的焦点是1 0, 3F，2 0, 3F，点P在椭圆上且满足1 2 4PF PF则椭圆C的标准方程为（2009年福建）已知直线2 2 0x y经过椭圆C：2 22 2 1x ya b的左顶点A和上顶点D，则椭圆C的方程为（2010年海淀二模改）已知椭圆C的对称中心为原点O，离心率为12，且点31 , 2在该椭圆上则椭圆C的方程为（2010年重庆）已知以原点O为中心，5 , 0F为右焦点的双曲线C的离心率52e则双曲线C的标准方程为，其渐近线方程为（2009年天津）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是1 3 , 0F，一条渐近线的方程是5 2 0x y，
6、则双曲线C的标准方程为例6（2010年西城一模）如图，在等腰梯形ABCD中，AB CD，且2AB AD设DAB，0 ,2，以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为1e，以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为2e，则（）A随着角度的增大，1e增大，1 2e e为定值B随着角度的增大，1e减小，1 2e e为定值C随着角度的增大，1e增大，1 2e e也增大D随着角度的增大，1e减小，1 2e e也减小D CBA A BCD1、椭圆的焦半径公式对于离心率为e，焦点在x轴的椭圆2 22 2: 1x yEa b上的点0 0,P x y，它到左焦点1F的距离和到右焦点2F的距离分别为1PF0ea x，2
7、PF0ea x2、双曲线的焦半径公式对于离心率为e，焦点在x轴的双曲线2 22 2: 1x yEa b上的点0 0,P x y，它到左焦点1F的距离和到右焦点2F的距离分别为1 0ePF x a，2 0ePF x a根据双曲线的几何性质，当我们可以确定双曲线上的点P位于双曲线的左支还是右支的情况下，有双曲线左支上的点到左焦点1F的距离和到右焦点2F的距离分别为1 0ePF x a，2 0ePF x a双曲线右支上的点到左焦点1F的距离和到右焦点2F的距离分别为1 0ePF x a，2 0ePF x a知识点睛椭圆和双曲线的焦半径例7（2010年四川）椭圆2 22 2 1x ya b（0a b）
8、的右焦点F，其直线2ax c与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）A20 2，B10 2，C2 1 1，D1 12，（2010年江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2 214 12x y上一点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离为；（2010年全国卷）已知1F、2F为双曲线C：2 2 1x y的左、右焦点，点P在C上，1 2 60F PF，则P到x轴的距离为（）A32 B62 C3 D6椭圆2 22 2 1x ya b（0a b）或双曲线2 22 2 1x ya b上一点P（不在x轴上）与两个焦点1F、2F形成的三角形称为焦点三
9、角形设1 2F PF，则焦点三角形的面积为1 2F PFS2 tan 2b（对椭圆）；1 22 cot2F PFS b（对双曲线）F1yO xPF2 F2yO xPF1椭圆和双曲线的焦点三角形面积例设1 2,F F是双曲线2 23 5 15x y的两个焦点，点A在双曲线上，且1 2F AF的面积等于2 2，求1 2F AF的正切值；如图，ABC是椭圆内接等腰直角三角形，且90AC是椭圆的右焦点，椭圆的左焦点在边AB上，则椭圆的离心率为CBAxOy（2011年北大自主招生）圆1O与圆2O是平面上不重合的两个圆，求与这两个圆都相切的圆的圆心C的轨迹1点P到曲线C上的每一个点的距离的最小值称为点P到
10、曲线C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A圆B椭圆C双曲线的一支D直线2我们在初中的学习中了解到反比例函数1y x的图象是双曲线试用双曲线的第一定义证明反比例函数的图象是双曲线3设,P x y是椭圆2 24 4x y上的一个动点，定点(1 0)M，则2PM的最大值是（）A231 C3 D9已知P为椭圆2 2125 9x y上动点，F为椭圆的右焦点，点A的坐标为3 , 1，则PF PA的最小值为4（2010年崇文一模）已知椭圆2 22 2 1x ya b（0a b）和圆O：2 2 2x y b，若圆O过椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为（2011年天津理）在
11、平面直角坐标系xOy中，点,P a b（0a b）为动点，1F、2F分别为椭圆2 22 2 1x ya b的左、右焦点已知1 2F PF为等腰三角形，则椭圆的离心率e（2010年江苏）已知椭圆2 219 5x y的左、右顶点为A、B，右焦点为F，设动点P满足2 2 4PF PB，则点P的轨迹方程为5若双曲线2 2 1x ky的一个焦点是3 , 0，则实数k（2010年北京）已知双曲线2 22 2 1x ya b的离心率为2，焦点与椭圆2 2125 9x y的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为设1F、2F为双曲线2 22 2 1sinx yb（0 ,2，0b）的两个焦点，过1F的直线
12、交双曲线的同支于A、B两点，如果AB m，则2AF B的周长的最大值是（2010年辽宁）设双曲线的个焦点为F；虚轴的个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A2 B3 C3 12D5 12（2010年全国卷高考）已知1F、2F为双曲线2 2 1C x y的左、右焦点，点P在C上，1 2 60F PF，则P到x轴的距离为（）A32 B62 C3 D66（2010年陕西）已知椭圆2 22 2 1x ya b（0a b）的左、右、上、下顶点分别为A、B、C、D，左、右焦点分别为1F、2F，7AB，四边形ACBD的面积是四边形1 2F CF D面积的两倍，则椭圆的
13、方程为；（2010年宣武二模）已知椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，点2 3 , 0A是其左顶点，点C在椭圆上且0AC CO，AC CO，则椭圆的方程为；（2010年西城二模）椭圆C：2 22 2 1x ya b（0a b）的离心率为32，长轴端点与短轴端点间的距离为5则椭圆C的方程为；（2011年东城高三期末改）设椭圆2 22 2 1x ya b的长轴长为4，且点31 ,2在该椭圆上，则椭圆的方程为7（2010年江西）设椭圆2 22 2 1x ya b（0a b），抛物线2C：21y x bb若2C经过1C的两个焦点，求1C的离心率；设0A b，53 3 4Q b，又M、N为1C与2C不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为30 4B b，且QMN的重心在2C上，求椭圆1C和抛物线2C的方程QAByxO
