1、年 月 系 统 工 程 理 论 与 实 践 第 期概 论 与 模 型 数 据 包 络 分 析 一魏 权 龄 岳 明中 国 人 民 大 学一 、 概 论数 据 包 络 分 析 , 简 记 是 著 名 的 运 筹 学 家和 。 。 等 人 以 相 对 效 率 概 念 为 基 础 发 展 起 来 的 一 种 崭 新 的 效 率 评 价 方 法 。继 年 第 一 个 模 型 俨 模 型 仁 发 表 后 , 新 的 模 型 和 其 他 重 要 理 论 结 果 不 断 出 现 ,模 型 的 实 际 应 用 也 日 益 广 泛 。 已 成 为 运 筹 学 的 一 个 新 的 研 究 领 域 。具 体 来 说
2、 , 是 使 用 数 学 规 划 模 型 比 较 决 策 单 元 之 间 的 相 对 效 率 , 对 决 策 单 元 做 出评 价 。 一 个 决 策 单 元 , 简 记 在 某 种 程 度 上 是 一 种 约 定 ,它 可 以 是 学 校 、 医 院 、 法 院 、 空 军 基 地 , 也 可 以 是 银 行 或 企 业 。 确 定 的 主 导 原 则 是就 其 “ 耗 费 的 资 源 ” 和 “ 生 产 的 产 品 ” 来 说 , 每 个 都 可 以 看 做 是 相 同 的 实 体 。 亦 即 在某 一 视 角 下 , 各 有 相 同 的 输 入 和 输 出 。 通 过 对 输 入 输 出
3、 数 据 的 综 合 分 析 , 可 以得 出 每 个 综 合 效 率 的 数 量 指 标 , 据 此 将 各 定 级 排 队 , 确 定 有 效 的 即 相 对 效 率最 高 的 , 并 指 出 其 他 非 有 效 的 原 因 和 程 度 , 给 主 管 部 门 提 供 管 理 信 息 。还 能 判 断 各 的 投 入 规 模 是 否 恰 当 , 并 给 出 了 各 调 整 投 入 规 模 的 正 确 方 向 和 程度 应 扩 大 还 是 应 缩 小 , 改 变 多 少 为 好 。, 模 型 对 决 策 单 元 的 规 模 有 效 性 和 技 术 有 效 性 同 时 进 行 评 价 , 即
4、模 型 中 的有 效 的 决 策 单 元 既 是 规 模 适 当 又 是 技 术 管 理 水 平 高 的 为 正 确 估 计 有 效 生 产 前 沿 面 ,年 , 和 。 。 等 人 又 提 出 了 模 型 , 用 于 专 门 评 价 决 策 单 元 的 技 术 有 效 性 。 年 , “ 、 。 。 和 为 了 进 一 步 研 究 “ 生 产 前 释 函 数 ” , 一 提 出 了 模 型 ,把 , 模 型 推 广 到 决 策 单 元 有 无 限 多 个 的 情 况 。 年 , 、 、 和又 提 出 了 被 称 为 锥 比 例 的 模 型 模 型 川 。 这 一 模 型 可 以 用 来 处
5、理 决 策 单 元 的输 入 输 出 指 标 过 多 的 情 况 , 而 且 模 型 中 各 个 锥 的 选 取 能 够 体 现 决 策 者 的 “ 偏 好 ” 。 灵 活 地 运用 这 一 模 型 , 可 以 将 , 模 型 中 确 定 的 有 效 决 策 单 元 进 行 分 类 或 排 队 。 上 述 四 个 各 具特 色 的 模 型 实 质 上 都 可 统 一 在 年 由 、 、 和 新 提 出 的 综合 模 型 模 型 中 。 经 济 学 中 著 名 的 一 生 产 函 数 恰 好 成 为 模 型型 的 一 个 经 济 背 景 。模 型 是 建 立 在 数 学 规 划 理 论 基 础
6、上 , 如 线 性 规 划 及 其 对 偶 和 锥 对 偶 理 论 , 半 无本 文 于 年 月 日 收 到 。第 期 概 论 与 之 模 型 数 据 包 络 分 析 一限 规 划 及 其 对 偶 和 锥 对 偶 理 论 。 同 时 , 又 可 以 看 作 是 处 理 多 输 入 多 输 出 间 题 的 多 目 标决 策 方 法 。 可 以 证 明 , 有 效 性 与 相 应 的 多 目 标 规 划 间 题 的 有 效 解 或 非 支 配 解 是等 价 的 。特 别 适 用 于 具 有 多 输 入 多 输 出 的 复 杂 系 统 。 这 主 要 体 现 在 以 下 两 点 以 决策 单 元 各
7、 输 入 输 出 的 权 重 为 变 量 , 从 最 有 利 于 决 策 单 元 的 角 度 进 行 评 价 , 从 而 避 免 了 确 定 各指 标 在 优 先 意 义 下 的 权 重 。 假 定 每 个 输 入 都 关 联 到 一 个 或 多 个 输 出 , 而 且 输 入 输 出 之 间 确实 存 在 某 种 关 系 , 使 用 方 法 则 不 必 确 定 这 种 关 系 的 显 式 表 达 式 。 方 法 排 除 了 很多 主 观 的 因 素 , 因 而 具 有 很 强 的 客 观 性 。 成 功 运 用 的 关 键 在 于 输 入 输 出 指 标 的 正 确 选择 。除 了 在 处
8、理 多 输 入 多 输 出 问 题 上 有 绝 对 优 势 之 外 , 在 评 价 公 共 部 门 的 效 率 方 面 也有 独 到 之 处 。 的 首 次 成 功 运 用 即 是 评 价 为 弱 智 儿 童 开 设 的 公 立 学 校 项 目 。 在 评 估 中 ,输 出 包 括 “ 自 尊 ” 等 无 形 的 指 标 , 输 入 包 括 父 母 的 照 料 和 父 母 的 文 化 程 度 等 不 可 公 度 的 指标 , 即 无 论 那 种 指 标 都 无 法 与 “ 市 场 价 格 ” 相 比 较 , 也 难 以 轻 易 定 出 适 当 的 权 重 。最 引 人 注 目 的 研 究 是
9、把 与 其 他 评 价 方 法 作 比 较 。 在 对 美 国 北 卡 罗 莱 纳 州 各 医 院 的评 价 中 , 己 有 的 按 计 量 经 济 学 方 法 给 出 的 回 归 生 产 函 数 认 为 , 此 例 不 存 在 规 模 收 益 问 题 。 而应 用 进 行 研 究 发 现 , 尽 管 使 用 同 样 的 数 据 , 回 归 生 产 函 数 无 法 像 入 那 样 正 确 地 测 定规 模 收 益 。 其 关 键 原 因 在 于 两 种 方 法 对 数 据 的 使 用 方 式 不 同 。 致 力 于 单 个 医院 的 优 化 , 而 不 是 各 医 院 构 成 之 集 合 的
10、整 体 统 计 回 归 优 化 。 将 与 美 国 马 萨 诸 塞 州 效 率评 定 委 员 会 使 用 的 比 例 方 法 相 比 较 , 并 用 模 拟 方 法 对 进 行 检 验 后 发 现 尽 管 回 归 函 数产 生 的 数 据 有 利 于 回 归 方 法 的 使 用 , 但 是 显 得 更 有 效 。又 可 视 为 一 种 新 的 “ 统 计 ” 方 法 。 如 果 说 原 统 计 方 法 是 从 大 量 样 本 数 据 中 分 析 出样 本 集 合 整 体 的 一 般 情 况 的 话 , 那 么 则 是 从 大 量 样 本 数 据 中 分 析 出 样 本 集 合 中 处 于 相对
11、 最 优 情 况 的 样 本 个 体 。 换 句 话 说 , 传 统 统 计 方 法 的 本 质 是 平 均 性 , 而 的 本 质 则 是 最优 性 。 的 这 一 特 点 在 研 究 经 济 学 领 域 中 的 “ 生 产 函 数 ” 问 题 时 , 有 其 他 方 法 无 法 取代 的 优 越 性 。 这 是 因 为 , 回 归 统 计 方 法 把 有 效 的 和 非 有 效 的 样 本 混 在 一 起 进 行 回归 分 析 , 得 出 的 “ 生 产 函 数 ” 实 质 上 是 “ 平 均 生 产 函 数 ” , 是 “ 非 有 效 的 ” , 不 符 合 经 济 学 中关 于 生 产
12、 函 数 的 定 义 。 则 利 用 数 学 规 划 的 手 段 估 计 有 效 生 产 前 沿 面 , 从 而 避 免 了 统 计方 法 的 缺 陷 。 的 出 现 , 给 多 输 入 多 输 出 情 况 下 的 “ 生 产 函 数 ” 研 究 开 辟 了 新 的 前 景 。的 优 点 吸 引 了 众 多 的 应 用 者 。 在 国 外 , 的 应 用 范 围 不 仅 扩 展 到 军 用 飞 机 的 飞行 、 基 地 维 修 和 保 养 、 陆 军 征 兵 、 城 市 评 价 等 方 面 , 而 且 在 对 银 行 、 电 力 企 业 乃 至 相 互 之 间存 在 着 激 烈 竞 争 的 私
13、 人 商 业 公 司 的 评 价 中 , 也 获 得 了 成 功 。 在 国 内 的 很 多 领 域 中 ,也 已 得 到 应 用 。 例 如 , 用 方 法 对 全 国 绵 纺 工 业 、 铝 冶 炼 工 业 进 行 评 价 研 究 , 并 将 结 果反 馈 到 实 际 部 门 , 得 到 了 有 关 部 门 的 高 度 重 视 。 应 用 对 全 国 学 术 性 协 会 的 评 价 工 作 也引 起 了 各 方 的 浓 厚 兴 趣 阔 。的 应 用 也 推 动 了 的 发 展 。 如 对 绵 纺 工 业 的 评 价 中 , 决 策 单 元 的 规 模 过 大 , 经过 理 论 上 的 研
14、究 , 证 明 了 综 合 模 型 , 中 的 有 效 决 策 单 元 的 几 个 恒 等 式 , 从而 确 立 了 的 分 解 算 法 , 简 单 地 解 决 了 这 个 间 题 。 实 际 部 门 对 决 策 单 元 分 类 排 序 的 要 求 ,此 项 工 作 由 中 国 人 民 大 学 信 息 系 运 筹 室 承 担 。系 统 工 程 理 论 与 实 践 年 月引 起 了 对 倒 置 模 型 的 研 究 , 该 研 究 将 导 致 新 的 分 类 方 法 。 另 外 , 对 决 策 单 元 的 增 减 所引 起 的 有 效 决 策 单 元 集 合 的 变 化 的 研 究 也 有 一 些
15、 结 果 。 上 述 结 果 将 在 本 讲 座 的 以 后 几 讲 中 叙述 。作 为 多 目 标 决 策 方 法 , 与 对 策 论 有 着 密 切 的 血 缘 关 系 。 年 , 、和 首 先 利 用 , 模 型 研 究 了 无 限 矩 阵 对 策 理 论 。 , 。 年 , 、 、和 又 利 用 , 模 型 的 原 理 建 立 了 带 有 交 叉 约 束 策 略 集 的 多 人 对 策 的 锥 极 点 理 论 川 。可 以 预 料 , 的 思 想 对 于 其 他 领 域 的 研 究 工 作 也 会 产 生 重 大 的 影 响 。在 我 国 的 政 治 、 经 济 体 制 改 革 中 ,
16、 做 为 一 种 科 学 的 评 价 方 法 , 将 会 起 到 日 益 重 要的 作 用 , 并 在 应 用 中 得 到 自 身 的 丰 富 和 完 善 。二 、 “ 模 型 和 有 效 性我 们 现 在 介 绍 的 最 基 本 模 型 , 模 型 。 假 设 有 个 决 策 单 元 , 每 个 决 策 单 元 都有 。 种 类 型 的 “ 输 入 ” , 以 及 种 类 型 的 “ 输 出 ” , 分 别 表 示 该 单 元 “ 耗 费 的 资 源 ” 和 “ 工 作的 成 效 ” 。 它 们 可 由 表 给 出表 一 。 一 今砂 一, 一 价 男 ,一一 肠一 卜 “今 “一 , 一
17、,其 中 , 二 , 为 第 个 决 策 单 元 对 第 种 类 型 输 入 的 投 入 量 , 夕 , , 为 第 个 决 策 单 元 对 第 种 类型 输 出 的 产 出 量 , 。 为 对 第 种 类 型 输 入 的 一 种 度 量 “ 权 ” “ 为 对 第 种 类 型 输 出 的 一种 度 量 “ 权 , , 而 且 , , , , 。 , 。 , , , , , 多 , , , , , , 。 二 ,及 夕 , 为 已 知 的 数 据 , 可 以 根 据 历 史 资 料 或 预 测 得 到 , 。 及 “ , 为 “ 权 ” 变 量记 一 二 劣 , , , 二 , , 、 , ,
18、 , , 了 , , , 。 则 可 用 , , 表 示 第 个决 策 单 元 , 。对 应 于 权 系 数 口 ” , , 人 , “ “ , , 。 , 每 个 决 策 单 元 都 有 相 应 的 效 率 评 价 指数“”, , ,我 们 总 可 以 适 当 地 选 择 权 系 数 口 和 。 , 使 其 满 足 , , , , , 。第 期 概 论 与 模 型 数 据 包 络 分 析 一现 在 对 第 。 个 决 策 单 元 进 行 效 率 评 价 。 简 记 刀 万 , 。 为 。 , 了 。 , 巧 为 。 , 犷 。 ,布 。 为 。 , 二 。 二 。 。 在 各 决 策 单 元
19、 的 效 率 评 价 指 标 均 不 超 过 的 条 件 下 , 选 择 权 系 数 “ 及 。 ,使 。 最 大 。 于 是 构 成 如 下 的 最 优 化 模 型 。“ 。 厂笋丁 七 蕊 飞 ,水 , 二, , ,这 个 原 始 规 划 模 型 是 一 个 分 式 规 划 。等 价 的 线 性 规 划 问 题 。 令二 。 丁 。 ,则 原 分 式 规 划 转 化 为。 , “利 用 一 变 换 , 可 以 将 厂 化 为 一 个少、 ,一尸口 一 口 一 拜 “、召 。 一 犷 尸丁 一 拼 。 ,。 。, , ,口 , 拼下 面 的 定 理 给 出 了 分 式 规 划 间 题 与 线
20、 性 规 划 间 题 尸 的 相 互 关 系 。定 理 分 式 规 划 护 与 线 性 规 划 尸 在 下 述 意 义 下 等 价 若 沪 , “ 。 为 户 的 最 优 解 , 则 二 , 川 。 。 为 尸 的 最 优 解 , 并 且 两 个 规 划 的 最优 值 相 等 。 其 中 。 护 了 。 。的 若 扩 , 矿 为 尸 的 最 优 解 , 则 扩 , 矿 也 为 尸 的 最 优 解 , 并 且 两 个 规 划 的 最 优 值 相等 。线 性 规 划 间 题 尸 的 对 偶 规 划 问 题 为 加 入 松 弛 变 量 干 及 一 以 后口 厂艺 ,山 一 刁习 击 一 “ 十 一凡
21、 , , 二 , , , , 小 一厂尹、 、 、月产了 下 面 我 们 截 取 对 铝 冶 炼 工 业 进 行 评 价 的 一 个 片 断 作 为 数 值 例 子 , 以 加 强 对 模 型 的 理 解 。例 设 有 、 、 、 四 家 电 解 铝 厂 , 其 输 入 输 出 指 标 及 有 关 数 据 如 表 。表月 。吨 铝 氧 化 铝 投 入 百 公 用 吨 ” , ,” ” , ” “ 吨 铝 能 源 投 入 标 煤 百 公 斤 吨人 员 投 入 人 。 , ”铝 锭 总 产 量 吨利 税 总 额 万 元系 统 工 程 理 论 与 实 践 年 月评 价 厂 的 相 对 效 率 的 规
22、 划 问 题 为几 , 久 , 几 , 几 丁几 元 只 只 万久 几 , 久 几 。 百 口几 、 几 几 几 一 卞几 、 之 之 之 一 吉 二几 , , 几 , 几 , 几 , 下 , 万 , 百 , 方 吉 。由 规 划 问 题 尸 与 的 形 式 可 以 得 知 下 面 的 定 理 成 立 。定 理 规 划 问 题 尸 及 其 对 偶 规 划 问 题 都 有 可 行 解 , 因 而 都 有 最 优 解 , 并 且 最 优值 满 足 厂 。 厂 , 。我 们 给 出 “ 模 型 下 有 效 性 的 定 义 。定 义 若 线 性 规 划 问 题 尸 的 最 优 解 。 “ 及 丫 满
23、足 厂 , 二 衅 了 。 二 , 则 称 ,。 为 弱有 效 。定 义 若 线 性 规 划 间 题 尸 存 在 某 个 最 优 解 扩 及 川 满 足 犷 一 矿 犷 。 一 , 并 且 。 。 ,娜 。 , 则 称 为 有 效 。由 定 义 不 难 看 出 , 若 ,。 为 有 效 , 那 么 它 也 是 弱 有 效 的 。利 用 对 偶 规 划 也 可 以 判 断 决 策 单 元 的 有 效 性 或 弱 有 效 性 。 由 线 性 规 划 对偶 理 论 和 “ 紧 松 ” 定 理 、 “ 松 紧 ” 定 理 , 可 得 到定 理 关 于 对 偶 规 划 , 有。 为 弱 有 效 的 充
24、分 必 要 条 件 为 规 划 间 题 的 最 优 值 犷 。 。, ,。 为 有 效 的 充 分 必 要 条 件 为 规 划 问 题 的 最 优 值 厂 。 一 , 并 且 它 的 每 个最 优 解 元 。 二 几 , , 几 , , 一 。 , ” , 夕 。 都 满 足 一 ” , “ 二 。我 们 用 一 个 例 子 来 说 明 有 效 性 的 工 程 技 术 背 景 。例 考 虑 某 种 燃 烧 煤 以 产 生 热 量 的 燃 烧 装 置 。 在 工 程 上 , 该 装 置 的 热 效 率 用 比 值来 刻 划, , 。其 中 , 夕 、 为 燃 烧 给 定 数 量 二 的 煤 所
25、能 产 生 的 最 大 热 量 即 理 想 值 , , 为 使 用 该 装 置 燃烧 相 同 数 量 二 的 煤 所 能 产 生 的 热 量 即 实 测 值 。 显 然 有 。 鉴 , 鉴 。 利 用 模 型 也 可 以 得 到 上面 所 定 义 的 , 。 考 虑 规 划 间 题“ , 加 二 , 犷 笋 夕 、 二。 笋 二 镇“ ,了性理、叮、 ,苦为 对 理 想 装 置 和 实 际 装 置 这 两 个 决 策 单 元 中 的 后 者 进 行 评 价 所 得 到 的 模 型 。 设 其最 优 解 为 。 及 , 由夕 , 夕 、 , 。 夕 。 。 二 成可 得 到“ 镇 笋第 期 概
26、论 与 , 模 型 数 据 包 络 分 析 一因 此 当 。 外 。 二 时 , 必 有 笋 。 二 , 故 户 的 最 优 解 满 足“ 。 外从 而 最 优 值不 笋 “ , 。 二 、 夕 , , 。 , 。这 就 是 说 , 燃 烧 装 置 的 最 优 效 率 评 价 指 数 厂 声 就 是 热 效 率 , 。 可 见 , 有 效 性 是 工程 上 的 效 率 概 念 在 多 输 入 多 输 出 系 统 中 的 推 广 。在 实 际 应 用 中 , 各 输 入 量 与 输 出 量 都 带 有 一 定 的 量 纲 。 在 不 同 的 量 纲 下 , 输 入 量 与 输 出量 的 数 值
27、不 同 。 可 以 证 明 如 下 的 定 理 。定 理 决 策 单 元 的 最 优 效 率 评 价 指 数 厂 笋 与 输 入 量 及 输 出 量 的 量 纲 选 取 无 关 。一 个 理 想 的 决 策 单 元 应 该 是 以 较 少 的 输 入 达 到 较 大 的 输 出 。 用 多 目 标 规 划 的 语 言 可 以 这样 描 述 个 决 策 单 元 中 , 最 理 想 的 决 策 单 元 的 输 入 及 输 出 应 该 是 下 述 多 目 标 规 划 问 题 的有 效 解厂 尸厂 一 , 任其 中 一 、 , , , , 二 刁 丁 , 一 , 夕 , , 夕 了 , , 一 丁 丁
28、 ,一 , 习 , 又 , , 万 幻 玖 山 浏 一 , 一 ”有 效 性 和 多 目 标 规 划 间 题 厂 的 有 效 解 在 本 质 上 是 相 同 的 。 我 们 有理 定 , 。 , 为 多 目 标 规 划 问 题 厂 的 有 效 解 当 且 仅 当 。 为有 效 的 。理 定 , 。 , 。 为 多 目 标 规 划 问 题 犷 的 弱 有 效 解 当 且 仅 当 。 为弱 有 效 的 。可 以 证 明 多 目 标 规 划 间 题 厂 的 。 有 效 解 是 确 实 存 在 的 , 因 而 有定 理 至 少 存 在 一 个 决 策 单 元 , 它 是 有 效 的 。三 、 有 效
29、性 的 判 定 及 在 相 对 有 效 面 上 的 投 影检 验 。 的 有 效 性 时 , 如 果 利 用 线 性 规 划 问 题 尸“ 一 心。 尸 叨 , 一 “ , 妻 , 一 , “ , 一” 。 。 一、 川 料需 要 判 断 是 否 存 在 最 优 解 。 , 少 满 足切 , 拼 , 犷 , 召 百 。如 果 利 用 对 偶 线 性 规 划 间 题 刀系 统 工 程 理 论 与 实 践 走 年 月厂名 ,“ , 一 口 。名 ,之 , 一 “ 十 。凡 , 少 “ , , , ” 一 ,需 要 判 断 是 否 其 所 有 最 优 解 尸 , 一 “ , “ , 口 “ 都 满
30、足犷 刀 , 平 。 , 一 。无 论 哪 种 方 法 都 不 很 方 便 。 和 。 。 引 进 了 非 阿 基 米 德 无 穷 小 的 概 念 , 以 便 用线 性 规 划 的 单 纯 形 算 法 求 解 模 型 , 判 断 。 的 有 效 性 。在 广 义 实 数 域 内 , 非 阿 基 米 德 无 穷 小 量 。 是 一 个 小 于 任 何 正 数 且 大 于 零 的 数 。 考 虑 带 有非 阿 基 米 德 无 穷 小 量 。 的 模 型 。尽 。 二 犷 二 。, 、 切 , 一 召 犷 ,山 了 。 一 田 。 户 , 拼 , , 扮,少、 奋、尸其 中 。 了 , , , 任
31、二 , 一 , , , 、 。尸 , 的 对 偶 规 划 问 题 为 口 一 。 户 了 一 十 “ 犷 ,召名 , 、 , 一 。名 , 一 一 ,元 , , 了 一 , , , 十 妻 一利 用 此 模 型 , 可 以 一 次 判 断 出 ,。 是 有 效 , 还 是 仅 为 弱 有 效 , 或 者 是 非有 效 。 实 际 上 我 们 有 以 下 的 定 理 。定 理 设 己 为 非 阿 基 米 德 无 穷 小 量 , 并 且 规 划 问 题 刁 的 最 优 解 为 矛 , 一 ” , 十 。 , 少 ,则 有若 口 “ 一 , 则 几 为 弱 有 效 。若 。 , 并 且 一 。 二
32、, 十 。 一 。 , 则 。 为 有 效 。在 实 际 应 用 中 , 只 要 取 。 足 够 小 例 如 取 。 二 一 “ , 就 可 以 使 用 单 纯 形 方 法 解 规 划 问 题。 。若 、 为 有 效 的 , 对 应 的 规 划 间 题 尸 有 最 优 解 扩 , 川 满 足。 口 , 拼 , 厂 , 拼 百 。又 由 。 。 。 一 , 所 以 有 。 丁 。 一 “ 。 。 , 即 点 。 , 。 位 于 超 平 面 二 。 一 料 卜。 上 。 可 以 证 明 这 个 超 平 面 二 上 的 其 他 点 所 代 表 的 决 策 单 元 也 是 有 效 的 。 超 平 面
33、二称 为 的 相 对 有 效 平 面 。 据 此 , 我 们 可 以 考 虑 应 如 何 改 进 一 个 非 有 效 的 决 策 单兀 。第 期 概 论 与 模 型 数 据 包 络 分 析 一定 义 考 虑 。 对 应 的 带 有 非 阿 基 米 德 无 穷 小 。 的 对 偶 规 划 问 题 刀 , 设 其 最 优解 为 几 。 , 一 。 , 。 , 。 , 令戈 。 二 ” 。 一 一 。 , 。 。 。称 戈 。 , 式 为 。 对 应 的 。 , 。 在 相 对 有 效 平 面 上 的 “ 投 影 ” 。戈 。 , 夕 。 可 以 看 作 一 个 新 的 决 策 单 元 , 显 然
34、下 面 的 定 理 成 立 。定 理 设 戈 。 , 式 为 。 对 应 的 点 。 , 犷 。 在 相 对 有 效 面 上 的 投 影 ,则 戈 。 , 。 所 代 表 的 新 的 决 策 单 元 相 对 于 原 来 的 , 个 决 策 单 元 来 说 , 是 有 效 的 。定 理 设 矛 , 一 刃 , 。 , 少 是 户 的 最 优 解 , 记 。 丈 川 , 毛 镇 时 , 则 有丫 任 。 , 带 为 有 效 的 。 在 相 对 有 效 面 上 的 投 影 , 实 际 上 为 改 进 非 有 效 的 , 提 供 了 一 个 可 行的 方 案 , 同 时 也 指 出 了 非 有 效 的
35、 原 因 。 对 具 体 的 。 做 更 细 致 的 进 一 步 分 析 , 可 以 给 主管 部 门 提 供 更 多 的 管 理 信 息 。 在 实 际 应 用 中 , 利 用 定 理 的 结 果 , 可 以 减 少 计 算 量 , 提 高 评价 工 作 本 身 的 工 作 效 率 。四 、 有 效 性 的 经 济 含 义设 某 种 生 产 活 动 的 投 入 量 为 二 , , , , , , , 二 , , , , 产 出 量 为 , , 艺 , , 为 , 于 是可 用 点 , 表 示 该 种 生 产 活 动 。 考 虑 个 决 策 单 元 , 对 应 的 生 产 活 动 分 别 为
36、, ,二 , , , , 。 我 们 的 目 的 是 根 据 所 观 察 到 的 生 产 活 动 , 去 估 计 生 产 可 能 集 , 并 确 定 哪 些 决策 单 元 的 生 产 活 动 是 相 对 有 效 的 。 这 里 的 生 产 可 能 集 定 义 为 所 有 可 能 的 生 产 活 动 所 构 成 的 集合 。 即一 仪 , 产 出 可 由 投 入 生 产 出 来 。在 , 模 型 中 , 满 足 以 下 几 条 公 理凸 性 丫 尤 , 厂 任 犷 , 戈 , 任 丁 , 丫 元 任 , , 都 有几 , 十 一 之 戈 , 几 十 一 久 戈 , 之 十 一 几 犷 任即 若
37、分 别 以 和 戈 的 之 及 一 劝 比 例 之 和 做 为 投 入 , 则 可 以 生 产 分 别 以 和 的 相 同 比 例 之和 的 产 出 。锥 性 丫 , , 丫 , 都 有, , 任即 若 以 投 入 量 的 倍 进 行 输 入 , 那 么 输 出 量 为 原 来 产 出 的 倍 是 可 能 的 。无 效 性 丫 , , 都 有戈 , 任 , 丫 戈 , 幻 任 , 簇即 在 原 来 的 基 础 上 , 单 方 面 增 加 投 入 或 减 少 产 出 总 是 可 能 的 生 产 活 动 。 也 就 是 说 , 浪 费 是 存在 的 。最 小 性 生 产 可 能 集 是 满 足 上
38、 述 条 件 的 所 有 集 合 的 交 集 。 即 为 它 们 中 最小 的 。显 然 我 们 观 察 到 的 经 验 生 产 活 动 , , 刀 任 , 了 , , , 。 。 由 此 可 得 “ 经 验 ” 生 产可 能 集系 统 工 程 理 论 与 实 践 年 月一 , 艺 , , , 习 玖 “ , , 山 。 , , “ , , ”下 面 的 例 子 说 明 了 单 输 入 单 输 出 时 的 情 况 。例 设 决 策 单 元 及 输 入 输 出 由 下 表 给 出则 生 产 可 能 集 为一 , , 几, 十 几 , 几 , 久 几 , 几 十 久 。 十 几 图 生 产 可 能
39、 集、 , 。 , , 一 , , ,丫 二 士 、图 生 产 函 数 、 技 术 有 效 、 规 模 有 效如 图 所 示 。 图 中 的 “ ” 表 示 , ,” 表 “ 示 等 等 。我 们 继 续 以 单 输 入 单 输 出 的 情 况 来 说 明有 效 性 的 经 济 含 义 。 先 考 虑 生 产 函 数的 概 念 。 生 产 函 数 表 示 生 产 处 于 最理 想 状 态 时 , 投 入 量 为 时 所 能 获 得 的 最大 产 出 量 为 。 因 此 , 从 生 产 函 数 角 度 看 ,函 数 图 象 上 的 点 , 所 代 表 的 决 策 单元 , 如 图 中 的 、 ,
40、 都 处 于 “ 技 术 有效 ” 的 理 想 状 态 。压 ,毛 ,生 产 函 数 的 一 般 形 状 如 图 所 示 。 生 产 函 数 显 然 是 增 函 数 。 点 把 函 数 分 为 两 部 分 。 在点 左 面 , 函 数 “ 加 速 上 升 ” , 说 明 增 加 投 入 量 可 以 使 产 出 有 较 高 的 增 加 , 因 而 厂 商 有 投 资 的积 极 性 。 这 一 段 区 间 称 为 规 模 收 益 递 增 阶 段 。 在 面 右 面 , 则 是 规 模 收 益 递 减 阶 段 , 表 现 为投 入 量 为 时 , 如 再 增 加 , 产 出 增 加 的 效 率 不
41、高 , 厂 商 已 没 有 再 继 续 增 加 投 资 的 积 极 性 。因 此 , 点 所 代 表 的 投 入 规 模 是 最 适 当 的 。 即 点 所 代 表 的 决 策 单 元 , 既 是 技 术 有 效 , 又 是规 模 有 效 的 。 点 所 代 表 的 决 策 单 元 是 技 术 有 效 的 , 却 不 是 规 模 有 效 的 。 减 少 决 策 单 元 的投 入 量 , 同 时 保 持 其 技 术 有 效 性 , 可 以 增 加 单 位 投 入 的 产 出 。 点 所 代 表 的 决 策 单 元 显 然 是非 有 效 的 。我 们 现 在 来 研 究 模 型 下 的 有 效 性
42、 的 经 济 含 义 。 检 验 。 的 有 效 性 ,且 是 考 虑 规 划 问 题乡 二 厂 刀名 , , 刻 。万 , , , 元 , , , ,第 期 概 论 与 模 型 数 据 包 络 分 析 一由 于 。 , 位 于 生 产 可 能 集 内 , 由丁 一 尤 , 名 , , , 艺 ,“ , , 兄 , , 一 , , , ”可 以 看 出 , 规 划 问 题 刀 致 力 于 在 生 产 可 能 集 内 , 保 持 产 出 。 不 变 , 同 时 将 投 入 量 按 同 一 比 例 尽 量 减 少 。 如 果 投 入 量 。 不 能 按 同 一 比 例 减 少 , 即 规 划 问
43、题 的 最 优 值犷 , 在 单 输 入 单 输 出 情 况 下 , , 。 同 时 为 技 术 有 效 和 规 模 有 效 的 。 若 不 然 , 则 规划 问 题 的 最 优 值 犷 一 , 。 不 为 规 模 有 效 。为 形 象 地 理 解 如 何 确 定 的 规 模 收 益 是 递 增 还 是 递 减 , 我 们 研 究 下 述 形 式 的模 型 , 和 刀 产 。 这 是 将 原 始 规 划 间 题 马 中 的 目 标 函 数 求 最 大 即 。 一 “ , 了改 为 一 孟 。 。 。 。 , 再 经 过 。 一 变 换 得 到 的 。 一 犷 衬口 “ 丫 一 “ 犷 , 少
44、, ,召 。口 李 环厂 刀 ,艺 兀 儿 、 一 低艺 犷 , 之 , 一 十 一 。夕久 , 李 , , , 一 , , , 丁 权 万、了了、了 、声尸、了 、阁 规 虞 收 益 的 确 定对 模 型 尸 和 产 可 类 似 定 义 有 效 性 及 弱 有 效 性 , 两 种 定 义 是 完 全 等 价 的 。一 切 有 关 定 理 也 相 应 成 立 。 与 在 形 式 上 的 区 别 表 现 在 致 力 于 在 生 产 可能 集 内 , 保 持 投 入 。 不 变 , 同 时 将 产 出 量 。 按 同 一 比 例 尽 量 增 大 。 即 使 图 中 的点 尽 力 向 上 移 而 不
45、 是 尽 力 向 左 移 。 因 而 在 , 中 点 的 投 影 的 投 入 规 模 不 改 变 。 我 们只 需 判 断 尹 点 是 在 点 的 左 边 还 是 右 边 即 可 判 定 点 的 规 模 收 益 是 递 增 还 是 递 减 的 。设 的 最 优 解 为 沪 二 君 , 君 , , 之 朴 , 一 , 气 , 可 以 证 明 , 当 所 评 价 的 决 策 单元 。 位 于 规 模 收 益 递 增 阶 段 时 图 中 点 所 在 的 区 域 , 沉 盯 当 。 。 位 于 规模 收 益 递 减 阶 段 时 如 图 中 点 所 在 的 区 域 , 艺 盯 当 。 具 有 恰 当 的
46、 投 入 规 模时 如 图 中 的 点 及 , 万 尸 。又 可 证 明 , 当 几 。 , 一 , 。 , , 为 规 划 问 题 的 最 优 解 , 几 几 ” , , 一 一 , ,一 , , 。 一 为 规 划 间 题 的 最 优 解 。 因 而 当 习 对 , 一 , 时 , 具 有 恰 当系 统 工 程 理 论 与 实 践 年 丹了 乙 倪投 入 规 模 当 万 川 酬 时 , 。 的 规 模 收 益 为 递 增 当 习 刘 少 时 , 。 的 规性模 收 益 为 递 减 。我 们 仍 用 单 输 入 单 输 出 例 子 做 进 一 步 说 明 。例 设 决 策 单 元 及 输 入
47、 输 出 由 下 表 给 出。 民”众下上一图 数 值 例 子且 , 和 位 于 生 产 函 数 曲 线 上 如 图 。 , 对 应 的 规 划 问 题 分 别 为召 , ,一 拼 。 异口 , 一 环 。 。 , 一 拼 、口 “。 , 拜 ,久 , 几 , 几 镇 口几 久 十 几之 , , 之 , , 几了刃哎尸 有 最 优 解 试 一 鲁 。, 贾乙冬 且 , 一 。 一 , 。 有 最 优 解 , 。 一 , 。 , 。 ,乙。 可 知 为 技 术 有 效 兼 规 模 有 效 的 。 从 图 看 , 保 持 产 出 不 变 , 无 法 在 生 产 可 能集 内 减 少 投 入 。对
48、应 的 对 偶 规 划 间 题 为犷 刀久 、 几 几 成之 , 兄 兄 。几 , 久 , 几 了、 刃刀其 最 优 解 为 。 一 音 , 。 , 。 , “ 。 一 音 。 可 知 不 为 有 效 。 由 艺 对 , 知的 投 入 规 模 过 大 。 即 不 是 规 模 有 效 , 也 不 是 技 术 有 效 。, 对 应 的 对 偶 规 划 伺 题 为第 期 概 论 与 , 模 型 数 据 包 络 分 析 一口 犷几 , 人 、 十 久 口凡 、 几 几凡 飞 夕 , 几 , , 几东之片、一 目 , 一 , 。共 最 优 肝 为 才 而 , , ,任少 。 可 知 , 不 为 有 效
49、。 由 艺 对 。 二, 知 。 的 投 入 规 模 过 大 , 所 以 不 为 规 模 有 效 。 但 因 其 位 于 生 产 函 数 曲 线 之 上 , 故为 “ 技 术 有 效 ” 的 。 由 这 个 例 子 , 可 以 直 观 地 看 出 , , 模 型 下 的 有 效 性 同 时 代 表 了技 术 有 效 性 和 规 模 有 效 性 。在 多 输 入 多 输 出 情 况 下 , 生 产 活 动 的 理 想 状 态 应 该 这 样 描 述 当 一 个 决 策 单 元 的 生 产 活动 处 于 下 列 两 种 情 况 之 一 时 , 该 决 策 单 元 的 生 产 活 动 是 有 效 的 , 即 处 于 理 想 状 态 。除 非 增 加 一 种 或 多 种 投 入 , 或 减 少 其 它 种
