第三节 古典概型与几何概型.pdf

1、第 1.3节 古 典 概 型 与 几 何 概 型一 古 典 概 型二 几 何 概 型例 如 抛 硬 币 问 题 ， 抛 掷 一 枚 硬 币 ,观 察 字面 ,花 面 出 现 的 情 况 . 字 面 朝 上1 花 面 朝 上2.,21 且 每 个 样 本 点 (或 者 说 基 本 事 件 )出 现 的 可 能 性 相 同 。例 如 ， 一 个 袋 子 中 装 有 10个大 小 、 形 状 完 全 相 同 的 球 。 将 球 编号 为 1 10 。 把 球 搅 匀 ， 蒙 上 眼 睛 ，从 中 任 取 一 球 。 我 们 没 有 理 由 认 为10个 球 中 的 某 一 个 会 比 另 一 个 更

2、 容易 取 得 ， 也 就 是 说 ， 10个 球 中 的 任一 个 被 取 出 的 机 会 是 相 等 的 ， 均 为1/10。 498 61 527 3 102用 i 表 示 取 到 i号 球 ， i =1,2, ,10 . 347 9 108 61 5且 每 个 样 本 点 (或 者 说 基 本 事 件 )出 现 的 可 能 性 相 同 。=1,2,10 ,则 该 试 验 的 样 本 空 间 为 ： 如 i =2称 这 样 一 类 随 机 试 验 对 应 的 概 率 问 题 为 古 典 概 型 。（ 2） 等 可 能 性 ： 每 个 基 本 事 件 发 生 的 概 率 相 等 。 则 称

3、 对 应 的 概 率 模 型 为 古 典 概 型 . 2、 基 本 事 件 发 生 的 概 率 ： 1( ) , 1,2, ,iP i nn ( ) ( ) , 1,2, ,i jP P i j n （ 1） 有 限 性 :基 本 事 件 的 个 数 有 限 ， 1 2 , , , n 1.定 义 ： 设 随 机 试 验 的 样 本 空 间 为 ， 为 基 本 事件 （ 样 本 点 ） ， 若 满 足 : i一 、 古 典 概 型3、 事 件 发 生 的 概 率 1 211 ( ) ( ) 1( ) ( ) ( )nn i i ii P PP nP P n 证 明 ： 设 试 验 E 的 样

4、本 空 间 由 n 个 样 本 点 构 成 ， A 为 E 的 任 意 一 个 事 件 ， 且 包 含 m 个 样 本 点 ， 则 事件 A 出 现 的 概 率 记 为 : ( )= =AP A A mn 所 包 含 的 基 本 事 件 数基 本 事 件 总 数有 利 于 的 基 本 事 件 数基 本 事 件 总 数【 注 】 求 解 古 典 概 型 问 题 的 关 键 是 弄 清 样 本 空 间 中的 基 本 事 件 总 数 和 对 所 求 概 率 事 件 有 利 的 事 件 个 数 在考 虑 事 件 数 的 时 候 ， 必 须 分 清 研 究 的 问 题 是 组 合 问 题 还是 排 列

5、问 题 ， 掌 握 以 下 关 于 排 列 组 合 的 知 识 是 有 用 的 ： (1)、 加 法 原 理 （ 分 类 ） ： 设 完 成 一 件 事 有 k类 方 法 ，每 类 又 分 别 有 m1 , m2, , mk种 方 法 ， 而 完 成 这 件 事只 需 其 中 一 种 方 法 ， 则 完 成 这 件 事 共 有 m1 + m2,+ +mk种 方 法 。 (2)、 乘 法 原 理 （ 分 步 ） ： 设 完 成 一 件 事 有 n步 第 一步 有 m1种 方 法 、 第 二 步 有 m2种 方 法 ， 第 n步 有 mn 种方 法 ， 则 完 成 这 件 事 共 有 m1 m2

6、mn种 方 法 。例 如 ， 某 人 要 从 甲 地 到 乙 地 去 ,可 以 乘 火 车 ,也可 以 乘 轮 船 .甲 地 乙 地火 车 有 两 班轮 船 有 三 班乘 坐 不 同 班 次 的 火 车 和 轮 船 ， 共 有 几 种 方 法 ?3 + 2 种 方 法回 答 是 ：例 如 ， 若 一 个 男 人 有 三 顶 帽 子 和 两件 背 心 ， 问 他 可 以 有 多 少 种 打 扮 方 法 ？可 以 有 种 打 扮 方 法 。3 2(3)、 不 同 元 素 的 选 排 列 从 n个 不 相 同 的 元 素 中 无 放 回 取 k个 的 排 列 (k n)，称 为 从 n个 不 同 元

7、 素 中 取 k个 元 素 的 选 排 列 ,共 有 种 。当 n k 时 ， 称 n个 元 素 的 全 排 列 共 有 n！ 种 。 knA 例 如 ： 从 3个 元 素 取出 2个 的 排 列 总 数 有 6种23 6A !( )( ) ( ) ( )! 1 2 1kn nA nn n n k n k(4)、 不 同 元 素 的 重 复 排 列例 如 ： 从 装 有 4张 卡 片 的 盒 中有 放 回 地 摸 取 3张 n=4,k =3123第 1张4 123第 2张4 123第 3张4 共 有 4.4.4=43种 可 能 取 法32 41kn n n n 从 n个 不 同 的 元 索 中

8、 ， 有 放 回 地 取 k个 元 素 进 行 的排 列 ， 共 有 种 （ 元 素 允 许 重 复 ， ） 。kn 1 k n (5)、 组 合 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 k个 ， 而 不 考 虑 其 次 序 的 排 列（ 组 合 ） ， 共 有 种 .knC )!(! ! knk nC kn rnnrn CC (6)、 不 全 相 异 元 素 的 排 列 在 n个 元 素 中 ， 有 m类 不 同 元 素 、 每 类 各 有 k1, k2 , km 个 ， 将 这 n个 元 素 作 全 排 列 ， 共 有 如 下 种 方式 ： 1 2 ! ! !mnk k kk1个元 素 k2

9、个元 素 km个元 素n个 元 素因 为 :1 2 1 1 2 ! ! ! mmkk kn n k k mnC C C k k k例 如 今 有 2个 红 球 ,3个 黄 球 ,4个 白 球 ,同 色 球 不 加以 区 分 ,将 这 9个 球 排 成 一 列 有 _ 种 不 同 的 方 法1260【 注 】 不 全 相 异 元 素 的 排 列 问 题 可 以 看 成 是 特 殊 的平 均 分 堆 问 题 ， 但 是 如 果 m类 元 素 都 相 同 ， 那 么 就是 一 般 的 平 均 分 堆 问 题 。 此 时 共 有 如 下 种 分 类 方 式1 2 ! ! ! !mnk k k m例 如

10、 ， 幼 儿 园 的 老 师 要 把 8个 苹 果 平 均 分 给 4个不 同 的 小 朋 友 ， 有 多 少 种 分 配 方 法 ？ 如 果 只 是平 均 分 成 4堆 ？ 2520!2!2!2!2 !822242628 CCCC2 2 2 28 6 4 244 8! 1052!2!2!2!4C C C CA ！【 注 】 环 排 列 有 三 个 特 点 ： (i)无 头 无 尾 ；(ii)按 照 同 一 方 向 转 换 后 仍 是 同 一 排 列(iii)两 个 环 排 列 只 有 在 元 素 不 同 或 者 元素 虽 然 相 同 ， 但 元 素 之 间 的 顺 序 不 同 时 ，才 是

11、不 同 的 环 排 列 从 n个 不 同 元 素 中 ， 选 出 m个 不 同 的 元 素 排 成 一 个圆 环 的 排 列 ， 共 有 ：(7)、 环 排 列 ( 1)( 2) ( 1) ( 1)!mnn n n n m C mm 排 列 是 讲 究 次 序 的 ， 次 序 不 同 是 不 同 的 排 列 。 而 组合 是 不 讲 究 次 序 ， 只 要 元 素 相 同 ， 都 是 一 个 组 合 。(1)明 确 样 本 空 间 ， 算 出 样 本 点 总 数 n； (2)找 出 事 件 A的 有 利 场 合 ， 算 出 A中 样 本 点 数 m； (3)根 据 公 式 算 出 事 件 的

12、概 率 。 例 1 将 一 套 6册 的 书 随 机 放 到 书 架 上 ， 则 6册 书 恰 好按 次 序 排 放 的 概 率 是 什 么 ？ 解 记 事 件 A表 示 “6册 书 恰 好 按 次 序 排 放 ”2 1( ) 6! 360P A 4、 古 典 概 型 的 计 算 步 骤 ：66 6! 2n A m ， 这 是 一 个 排 列 问 题 ，解 (1) n个 人 的 全 排 列 有 n!种 ， 甲 、 乙 相 邻 可 以 设 想甲 、 乙 占 一 个 位 置 参 加 排 列 ， 则 有 (n 1)!种 但 甲 ,乙 相邻 位 置 可 互 换 2!种 ， 故 有 利 事 件 共 有

13、2 (n 1)!种 于 是 (2) 排 成 一 圈 是 环 排 列 ， n个 人 的 环 排 列 有 (n 1)!种 ，甲 、 乙 相 邻 占 一 个 位 置 的 环 排 列 有 (n 2)!种 ， 考 虑 互换 性 ， 有 利 事 件 有 2 (n 2)!种 故 ： ( 1)!2! 2( ) !nP A n n ( 2)!2! 2( )( 1)! 1nP A n n 例 2 有 n个 人 排 队 ， (1) 排 成 一 行 ， 其 中 甲 、 乙 两人 相 邻 的 概 率 是 多 少 ? (2) 排 成 一 圈 ， 甲 、 乙 两 人相 邻 的 概 率 是 多 少 ?2( ) 1P A n

14、更 为 简 单 的 想 法 是 ： 设 想 一 个 圆 周 上 ： 有 n个 位 置 ， 甲 占 了 一 个 位 置 后 ， 乙 还 有 n一 1个 位 置可 选 ， 其 中 与 甲 相 邻 的 位 置 有 2个 所 以 :( 1)! 1( ) ! nP A n n 。【 注 】 摸 到 红 球 的 概 率 与 先 后 次 序 无 关 ， 每 个 人 摸 到 红 球 的 概 率 相 等 ， 此 题 的 推 广 情 况 如 下 。例 3 袋 中 有 n-1 个 白 球 ， 一 个 红 球 ， n个 人 依 次 从中 摸 出 一 个 球 ， 摸 出 的 球 不 放 回 ， 求 第 一 人 ， 第

15、二人 ， ， 第 n个 人 摸 到 红 球 的 概 率 ？( 1)!( ) ( )!a a b aP A a b a b 更 简 单 的 想 法 是 ， 设 想 对 a个 红 球 和 b个 白 球 进 行编 号 ， 以 第 k 次 摸 出 球 的 全 部 可 能 结 果 为 样 本 空间 ， 则 样 本 空 间 中 的 样 本 总 数 是 a+b ,事 件 A包 含的 样 本 数 为 a,则 baaAP )(【 注 】 此 结 果 与 k 无 关 ， 即 每 次 摸 到 红 球 的 概 率 都是 一 样 的 ， 它 可 以 理 解 为 抽 签 模 型 ， 每 人 摸 到 利 签（ 红 球 ）

16、的 概 率 相 等 ， 因 此 抽 签 不 必 争 先 恐 后 。 例 五 摸 球 模 型 (1) 无 放 回 地 摸 球问 题 1 设 袋 中 有 4 只 白 球 和 2只 黑 球 , 现 从 袋 中 无放 回 地 依 次 摸 出 2只 球 ,求 这 2只 球 都 是 白 球 的 概 率 .解 ,2 只 球 都 是 白 球摸 得设 A基 本 事 件 总 数 为 26CA 所 包 含 基 本 事 件 的 个 数 为 ,24C2624)( CCAP 故 .52(2) 有 放 回 地 摸 球问 题 2 设 袋 中 有 4只 红 球 和 6只 黑 球 ,现 从 袋 中 有 放回 地 摸 球 3次 ,

17、求 前 2次 摸 到 黑 球 、 第 3次 摸 到 红 球的 概 率 .解 3,2 次 摸 到 红 球第次 摸 到 黑 球前设 A第 1次 摸 球 10种第 2次 摸 球 种第 3次 摸 球 种 6种第 1次 摸 到 黑 球 种第 2次 摸 到 黑 球4种第 3次 摸 到 红 球基 本 事 件 总 数 为 ,10101010 3A 所 包 含 基 本 事 件 的 个 数 为 ,466 310 466)( AP故 .144.0课 堂 练 习1o 电 话 号 码 问 题 在 7位 数 的 电 话 号 码 中 ,第 一位 不 能 为 0， 求 数 字 0出 现 3次 的 概 率 . 2o 骰 子 问

18、 题 掷 3颗 均 匀 骰 子 ,求 点 数 之 和 为 4的概 率 . )109913619:( 633 p答 案 )63:( 3p答 案例 6 将 n个 人 等 可 能 分 配 到 N 间 房 中 ,（ N n） 试 求 : （ 1） 每 间 房 中 至 多 有 一 个 人 的 概 率 ； （ 2） 某 指 定 的 n间 房 其 中 各 一 人 ； （ 3） 某 指 定 的 一 间 房 中 有 k人 。 解 记 : A =恰 有 n间 房 其 中 各 一 人 B =某 指 定 的 n间 房 其 中 各 一 人 C =某 指 定 的 一 间 房 中 有 k人 !( ) nN nC nP A

19、N（ 1） 允 许 重 复 的 排 列房 间 的 选 法人 的 排法( 1)( ) k n kn nC NP C N （ 3） !( ) nnP B N（ 2） 【 注 】 此 问 题 中 ， 一 个 人 不 允 许 占 有 多 间 房 ， 但允 许 一 间 房 中 有 多 个 人 。 例 7 将 n个 球 随 机 放 入 N(N n)个 格 子 中 ， 试 求 每 个 格 子 中 至 多 有 一 个 球 的 概 率 ! !( ) ( )! nN n nC n NP A N N N n解 解 若 将 n个 人 看 作 上 面 问 题 中 的 n个 球 （ 或 人 ） ， 将一 年 的 365天

20、 作 为 格 子 （ 或 房 子 ） ， 则 N 365， 这 时 ： 365 !( ) 365n nC nP A 例 如 n 55时 ， p的 值 却 居 然 有 0.99， 这 实 在 是出 乎 意 料 地 大 ！ ！ ！ （ 即 至 少 有 两 人 生 日 相 同 的概 率 是 0.99） 【 注 】 这 n个 人 中 有 两 个 人 生 日 相 同 的 概 率 为 ：365 !( ) 1 365n nC nP A 例 8 （ 生 日 问 题 ） 求 参 加 某 次 集 会 的 n个 人 中没 有 两 个 人 生 日 相 同 的 概 率 人 数 至 少 有 两 人 生 日 相 同 的 概

21、 率100.11694817771107765187200.41143838358057998762300.70631624271926865996400.89123180981794898965500.97037357957798839992600.99412266086534794247700.99915957596515709135800.99991433194931349469900.999993848356123603551000.999999692751072148421100.999999989471294306211200.999999999756085218951300.999999999996240323171400.999999999999962103951500.99999999999999975491600.99999999999999999900我 们 利 用 软 件 包 进 行 数 值 计 算 .“ 等 可 能 性 ” 是 一 种 假 设 ， 在 实 际 应 用中 ， 我 们 需 要 根 据 实 际 情 况 去 判 断 是 否 可 以 认为 各 基 本 事 件 或 样 本 点 是 等 可 能 的 。1、 在 应 用 古 典 概 型 时 必 须 注 意 “ 等 可 能 性 ” 的条 件 。最 后 提 出 几 点 需 要 注 意 的 问 题 ：