1、1两条直线的位置关系1两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线 l1、l 2，若其斜率分别为 k1、k 2，则有 l1l 2k 1k 2.()当直线 l1、l 2 不重合且斜率都不存在时，l 1l 2.两条直线垂直：()如果两条直线 l1、l 2 的斜率存在，设为 k1、k 2，则有 l1l 2k 1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0 时，l 1l 2.(2)两条直线的交点直线 l1：A 1x B1yC 10，l 2：A 2xB 2yC 20，则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组Error!的解2几种距离(1)两点 P1(x
2、1，y 1)，P 2(x2，y 2)之间的距离|P 1P2| .x2 x12 y2 y12(2)点 P0(x0，y 0)到直线 l：Ax ByC0 的距离：d .|Ax0 By0 C|A2 B2(3)两条平行线 AxByC 10 与 AxBy C 20(其中 C1C 2)间的距离 d .|C1 C2|A2 B2选择题：设 aR，则“a1”是“直线 l1：ax2y 10 与直线 l2：x (a1) y40 平行”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析 充分性：当 a1 时，直线 l1：x2y 10 与直线 l2：x2y40 平行；必要性：当直线 l
3、1：ax2y 10 与直线 l2：x (a1)y40 平行时有 a2 或 1；所以“a1”是“直线 l1：ax2y 10 与直线 l2：x(a1)y40 平行”的充分不必要条件已知点(a,2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于( )A. B2 C. 1 D. 12 2 2 2解析 依题意得 1，解得 a1 或 a1 ，a0，a1 .|a 2 3|1 1 2 2 22已知直线 l1：(3m) x4y53m，l 2：2x(5m )y8 平行，则实数 m 的值为( )A7 B1 C1 或7 D.133解析 l 1的斜率为 ，在 y 轴上的截距为 ，l 2的斜率为 ，在 y 轴上
4、的截距为 .3 m4 5 3m4 25 m 85 m又l 1l 2，由 得，m 28m70，得 m1 或7.3 m4 25 mm1 时， 2，l 1与 l2重合，故不符合题意； m7 时，5 3m4 85 m 4，符合题意5 3m4 132 85 m已知两条直线 l1：(a1)x 2y10，l 2：xay 30 平行，则 a 等于( )A1 B2 C0 或2 D1 或 2解析 若 a0，两直线方程为x2y 10 和 x3，此时两直线相交，不平行，所以 a0.当a0 时，若两直线平行，则有 ，解得 a1 或 a2，选 D.a 11 2a 13已知点 O(0，0) ，A(0，b)，B(a，a 3)
5、若OAB 为直角三角形，则必有( )Aba 3 Bb a31aC(ba 3) 0 D|ba 3| 0(b a3 1a) |b a3 1a|解析 若以 O 为直角顶点，则 B 在 x 轴上，则 a 必为 0，此时 O，B 重合，不符合题意；若A ，则 ba 30，若B ，根据垂直关系可知 a2 1，所以 a(a3b)1，即2 2 a3 baba 3 0，以上两种情况皆有可能，故只有 C 满足条件1a已知过点 A(m1，0)，B(5，m)的直线与过点 C(4，3) ，D(0，5)的直线平行，则 m 的值为( )A1 B2 C2 D13解析 由题意得：k AB ，k CD .由于 ABCD ，即 k
6、ABk CD，m 0 5 m 1 m 6 m 5 30 4 12所以 ，所以 m2m 6 m 12当 0k 时，直线 l1：kx yk1 与直线 l2：kyx2k 的交点在( )12A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析 解方程组Error! 得两直线的交点坐标为 ，因为 0k ，所以(kk 1，2k 1k 1) 120， 0，故交点在第二象限kk 1 2k 1k 1若直线 l1：yk (x4)与直线 l2 关于点(2，1)对称，则直线 l2 经过定点( )A(0， 4) B(0，2) C(2，4) D(4，2)解析 直线 l1：yk (x4)经过定点(4,0)，其关于点 (2,1
7、)对称的点为(0,2)，又直线 l1：yk(x 4)与直线 l2关于点(2,1) 对称，故直线 l2经过定点(0,2) 从点(2 ，3) 射出的光线沿与向量 a(8，4) 平行的直线射到 y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )Ax2y40 B2x y10 Cx6y 160 D6x y80解析 由直线与向量 a(8,4)平行知：过点(2,3) 的直线的斜率 k ，所以直线的方程为12y3 (x2)，其与 y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于 y 轴的对称点为(2,3)，所以反射光线12过点( 2,3)与 (0,2)，由两点式知 A 正确填空题：已知 a，b 为正数，且直线 axb
8、y 60 与直线 2x(b3)y50 互相平行，则 2a3b 的最小值为_解析 由于直线 axby 60 与直线 2x(b3)y50 互相平行，所以 a(b3)2b，即4 1( a，b 均为正数) ，所以 2a3b(2a3b) 136 1362 25(当且仅当2a 3b (2a 3b) (ba ab) baab ，即 ab5 时取等号)ba ab若直线(3 a2)x (14a)y80 与(5a2)x (a4)y70 垂直，则 a_解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)( a4)0，解得 a0 或 a1.已知两直线方程分别为 l1：xy 1，l 2：ax 2y0，若 l1
9、l 2，则 a_.解析 l 1l 2，k 1k21，即 1，解得 a2.a2已知直线 y kx2k1 与直线 y x2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是_12解析 由方程组Error! 解得Error! (若 2k10，即 k ，则两直线平行)，交点坐标为12，(2 4k2k 1，6k 12k 1)又交点位于第一象限，Error!解得 k .16 12直线 l 过点 P(1，2) 且到点 A(2，3)和点 B(4， 5)的距离相等，则直线 l 的方程为_解析 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2k (x1)，即 kxyk20.由题意知 ，即|3 k1|3k3|，k
10、.|2k 3 k 2|k2 1 | 4k 5 k 2|k2 1 13直线 l 的方程为 y2 (x1)，即 x3y50.13当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1 ，也符合题意过点 P(0，1)作直线 l，使它被直线 l1：2x y80 和 l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为_解析 设 l1与 l 的交点为 A(a,82a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(a,2a6) 在 l2上，5代入 l2的方程得a3(2a6)100，解得 a4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为x4y40与直线 l1：3x2y 60 和直
11、线 l2：6x 4y30 等距离的直线方程是_解析 l 2：6x4y 30 化为 3x2y 0，所以 l1与 l2平行，设与 l1，l 2等距离的直线 l 的方程为323x2yc0，则：|c 6|c |，解得 c ，所以 l 的方程为 12x8y150.32 154已知两直线 l1：axby 40 和 l2：( a1)xyb0，若 l1l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则 ab_解析 由题意得Error! 解得Error! 或Error!经检验，两种情况均符合题意，ab 的值为 0 或83已知直线 l1：axy 10，直线 l2：x y30，若直线 l1 的倾斜角为 ，则 a_；若4l
12、1l 2，则 a_；若 l1l 2，则两平行直线间的距离为_解析 若直线 l1的倾斜角为 ，则ak tan45 1，故 a1；若 l1l 2，则 a11(1)40，故 a1；若 l1l 2，则 a1，l 1：xy10，两平行直线间的距离 d 2 .|1 3|1 1 2已知直线 l：2x3y 10，点 A(1，2)，则点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标为_解析 设 A( x，y)，由已知得Error!解得Error!故 A .( 3313，413)解答题：已知两直线 l1：xy sin10 和 l2：2xsiny10，求 的值，使得：(1)l1l 2；(2)l1l 2.解 (1)当 sin
13、0 时，直线 l1的斜率不存在，l 2的斜率为 0，显然 l1不平行于 l2.6当 sin0 时，k 1 ，k 22sin ，要使 l1 l2，需 2sin ，即 sin .1sin 1sin 22所以 k ，kZ，此时两直线的斜率相等故当 k ，kZ 时，l 1l 2.4 4(2)因为 A1A2B 1B20 是 l1l 2的充要条件，所以 2sinsin0，即 sin0，所以 k ，kZ .故当 k，k Z 时，l 1l 2.如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线 l1：x 2y10，l 2：x2y30 所截的线段的中点在直线 l3：xy 10 上，求其方程解 与 l1、l 2平行且距
14、离相等的直线方程为 x2y20.设所求直线方程为(x 2y2)(x y1)0，即(1 )x(2)y 20.又直线过(1,1)，(1 )(1)(2)120，解得 .所求直线方程为 2x7y50.13正方形的中心为点 C(1,0)，一条边所在的直线方程是 x3y 50，求其他三边所在直线的方程解 点 C 到直线 x3y 50 的距离 d .| 1 5|1 9 3105设与 x3y50 平行的一边所在直线的方程是 x3ym 0(m 5)，则点 C 到直线 x3y m 0 的距离 d ，解得 m5( 舍去)或 m7，| 1 m|1 9 3105所以与 x3y50 平行的边所在直线的方程是 x3y70.
15、设与 x3y50 垂直的边所在直线的方程是 3xyn0，则点 C 到直线 3xy n0 的距离 d ，解得 n3 或 n9，| 3 n|1 9 3105所以与 x3y50 垂直的两边所在直线的方程分别是 3xy30 和 3xy90.7已知直线 l：2x3y 10，求直线 m：3x2y6 0 关于直线 l 的对称直线 m的方程解 在直线 m 上任取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上设对称点 M( a，b)，则Error! 解得Error!M .(613，3013)设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则由Error!得 N(4,3)又m经过点 N(4
16、,3)由两点式得直线 m的方程为 9x46y 1020.求与直线 3x 4y10 平行且过点 (1，2)的直线 l 的方程解 依题意，设所求直线方程为 3x4y c0 (c1)，又因为直线过点(1，2) ，所以 3142c 0，解得 c11.因此，所求直线方程为 3x4y 110.求经过两直线 l1：x2y 40 和 l2：x y20 的交点 P，且与直线 l3：3x 4y50 垂直的直线l 的方程解 解方程组Error! 得 P(0，2)因为 l3的斜率为 ，且 ll 3，所以直线 l 的斜率为 ，34 43由斜截式可知 l 的方程为 y x2，即 4x3y60.43已知ABC 的顶点 A(
17、5， 1)，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2xy 50，AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x2y 5 0，求直线 BC 的方程解 依题意知：k AC2 ，A(5，1)，l AC为 2xy110，联立 lAC、l CM得Error! C (4，3)设 B(x0，y 0)，AB 的中点 M 为( ， )，x0 52 y0 12代入 2xy50，得 2x0y 010，Error! B(1，3)，8k BC ， 直线 BC 的方程为 y3 (x4) ，即 6x5y90.65 65已知直线 l 经过直线 l1：2xy50 与 l2：x 2y0 的交点(1)若点 A(5，0)到 l 的距离为
18、 3，求 l 的方程；(2)求点 A(5，0)到 l 的距离的最大值解 (1)易知 l 不可能为 l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy 5) (x2y)0，即(2) x(12)y50，点 A(5,0)到 l 的距离为 3， 3，|10 5 5|2 2 1 22即 225 20， 2，或 ，l 的方程为 x2 或 4x3y 50.12(2)由Error!解得交点 P(2,1)，如图，过 P 作任一直线 l，设 d 为点 A 到 l 的距离，则 dPA(当 lPA时等号成立)d max PA .5 22 0 12 10专项能力提升若点(m ，n) 在直线 4x3y100 上，则 m2
19、n 2 的最小值是 ( )A2 B2 C4 D22 3解析 因为点(m，n) 在直线 4x3y100 上，所以 4m3n100.9欲求 m2n 2的最小值可先求 的最小值，而 表示m 02 n 02 m 02 n 024m3n100 上的点(m，n)到原点的距离，如图当过原点的直线与直线 4m3n100 垂直时，原点到点(m，n) 的距离最小为 2.所以 m2n 2的最小值为 4.已知直线 l：y x1，12(1)求点 P(3,4)关于 l 对称的点 Q；(2)求 l 关于点 (2,3)对称的直线方程解 (1)设 Q(x0，y 0)，由于 PQl，且 PQ 中点在 l 上，有Error!解得Error!Q .(295， 85)(2)在 l 上任取一点，如 M(0，1)，则 M 关于点(2,3)对称的点为 N(4,7)当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，所求直线过点 N 且与 l 平行，所求方程为 y7 (x 4)，即为 x2y100.12
