1、五年级上册点阵中的规律教学实录 一、谈话引入师：从小我们就学数数、用数字，那么对于数字的发明和发展过程，你们都哪些了解？（学生交流课前搜集的相关信息）生 1：古时候人们用石子来计数，比如打一只兔子就摆一块石子。生 2：还有用绳子打结的，有几个人就打几个结。生 3：我知道我们现在用的数字是印度人发明的，从阿拉伯传到我国的，所以叫阿拉伯数字。师：大家了解的信息真不少！阿拉伯数字的发明，使我们的记录和计算更加方便，但是在表现数字的特征方面，有时候图形会更加直观。今天老师请来了一位图形朋友点（老师在黑板上画点），看到这个点，你能快速地想到哪个数字？生齐：1。师：不要小看了这个小小的点，早在 2000
2、多年前，古希腊的数学家们就是从这样一个小小的点开始研究，发现了由许多个这样的点组成的图形中的规律，还给这些图形取了一个好听的名字，叫点阵。同学们想不想过一把当数学家的瘾，自己来寻找这些规律？生齐：想。师：今天，我们就一起来探究点阵中隐含的规律。（板书课题：点阵中的规律）二、探究正方形点阵中的规律1、探究一组正方形点阵的规律。师：我们一起来看看数学家们当年研究的点阵图，边看边说出各个点阵的点子数。（依次出示前四个正方形点阵图，并逐步引导学生想像、猜测：下一个点阵图会是什么样子呢？）生：第一个是 1 个点；第二个是 4 个点；师：在心里想第三个、第四个点阵图是什么样子。（示图）与你的想像一样吗？生
3、 1：一样。就是 9 个点。生 2：我知道第四个点阵有 16 个点，肯定是的。（随着点阵图的依次出现，学生的思维逐渐活跃，当第三个点阵图出现的时候，学生不用数，已经忍不住地说出了点数。说明学生已经发现了这组正方形点阵中的规律。但这时，教师没有急于让学生发表自己的看法，而是给学生留出了完善自己想法的时间，同时也暗示学生：规律的呈现不能依靠一个或几个图形来归纳，应该有耐心地继续自己的观察活动。）师：除了能说出各个点阵的点数之外，仔细观察点阵图：你们还有什么其它的发现？生 1：第一个点阵是 1 个点，其余的都是正方形的。生 2：我发现从第一个图开始点子数分别是加 3、加 5、加 7。生 3：我发现它
4、们的点子数能写成 11、22 、33、44。师：你们真了不起！这种形状的点阵就是正方形点阵，大家不但用数字表示每个点阵的点数，还能用算式来表示这组点阵的规律。根据刚才发现的规律，想一想：第五个点阵是什么样子呢？自己画出来，并用算式表示点数。（学生活动：独立画出第五个 55 的点阵图，全班交流。）师：照这样的规律继续画下去，第 9 个点阵的点数如何用算式来表示？第 100 个呢？第 n 个呢？在小组内交流一下。生：第九个点阵表示为 99；第 100 个点阵表示为 100100；第 n 个点阵就表示为 nn。（结合发现的规律，引导学生逐步完善自己的想法，建立总结正方形点阵规律的模型。）师：那么你们
5、觉得每个正方形点阵的点子总数与什么有关系？在小组内讨论交流。生 1：点子总数与正方形点阵每一排的点子数有关系。生 2：就是边长乘边长。生 3：还与是第几个有关系，第一个就是 11，第二个就是 22，第三个就是 33，一直这样数下去。（学会用简单的语言表述自己的想法，使得初步的形象感知得到提升）师：说得真好！每个正方形点阵的点子总数可以看作是一个相同数字相乘的积，这个数字与点阵的序号有关，与每个正方形点阵每排的点子数也有关系。2、同一个点阵的不同划分中的规律。师：刚才我们研究了一组正方形点阵中隐含的规律，那么对于同一个点阵来说，如果划分的方法不同，所呈现的规律也就不同。请大家仔细观察第五个正方形
6、点阵中点的划分方法，你能发现什么规律？与同桌交流你的想法。生 1：我发现都是用折线分开的。生 2：我发现从短的线开始，每条线内的点分别是 1、3 、5 、7、9。生 3：这个正方形点阵的点数用算式表示就是：13 579=25 。师：大家的发现真不少！那如果把每条线所包围的点子数记下来，如何用算式来表示？学生汇报：第一条线： 1 = 1；第二条线： 13 = 4；第三条线： 13 5 = 9；第四条线： 13 57 = 16；第五条线： 13 57 9 = 25；师：你们觉得这组算式有什么特点？生 1：一个算式比一个算式多加一个数。生 2：它们的得数正好是刚才那一排点阵的点子数。生 3：都是连续
7、的奇数在相加。师：是从几开始的连续奇数呢？生：是从 1 开始的连续奇数在相加。师：如果按这样的划分方法划分第六个正方形点阵，它的点数该如何用算式来表示？生：135 7911 36。师：刚才我们是把这个 55 的正方形点阵用折线进行了划分，你们还有哪些不同的划分的方法？如何用算式表示？在小组内研究一下。学生汇报：生 1：我们是用横线划分的，算式是：55 5555 25。生 2：还可以用竖线划分，算式也是：55 5555 25。生 3：这些都可以写成是 55 25。生 4：我们的方法不一样。我们是用斜线划分的，用算式表示就是 123 454 321 。师：这种划分方法有新意！仔细观察这个算式，你们
8、发现了什么？生 1：算式里最大的数是 5。生 2：这个算式是从 1 开始加到 5 再加回到 1。生 3：这个算式的两边是对称的，5 在中间。生 4：这个点阵的点数是就中间那个数字 5 乘 5 的积。师：照这样的规律类推，第六个正方形点阵的点数如何表示？第 9 个呢？第 n 个呢？生 1：第六个点阵的点数是 12 3456 54321 。生 2：第九个点阵的点数是 12 3456 78987 654 32 1。生 3：第 n 个点阵的点数是，我说不完。师：说不完，我们可以借助什么来表示？生：用省略号，这样表示：123 n321 。师：你太聪明了，帮我们解决了一个大难题，谢谢你。（在这里让学生寻找
9、正方形点阵的不同划分方法，把教材分散处理的关于正方形点阵的不同划分方法集中探究，便于学生思维的延续和拓展，不至于出现思维上的断层。这样设计既符合学生的探究心理和学习习惯，又给学生提供了自主探究的空间，体现了学生学习的自主性，还用另一种方式解读了“练一练” 中的第一题。培养了学生从不同的角度去发现问题，总结概括规律的能力。）三、延伸应用，形成策略师：除了我们刚才研究的正方形点阵，请大家猜猜看，还会有什么形状的点阵呢？生 1：长方形点阵。生 2：三角形点阵。生 3：圆形点阵。生 4：椭圆形点阵。师：请大家尝试运用前面学会的方法探究长方形点阵规律。在小组内合作研究：如何用算式表示每个长方形点阵的点子
10、数？（学生分组活动）学生汇报： 生：这四长方形点阵的可以用算式 12；23；34 ；45 来表示。师：根据自己发现的规律，请你独立画出第五个长方形点阵并用算式表示出点数。（学生独立画图并写出算式，互相交流。）生：第六个长方形点阵的点子总数用算式表示是 56。师：你们觉得自己所写的算式中的数字与图形之间有什么关系？在小组内讨论交流。生 1：乘法算式中的第二个因数总是比第一个因数多 1。生 2：第一个算式的后面一个数是第二个算式开头的一个数，有点像词语接龙。生 3：算式中的第一个因数是长方形点阵的竖排点数，第二个因数是长方形点阵的横排点数。师：这个算式与点阵的排列序号有关吗？生 1：第一个点阵是
11、12，第二个点阵是 23，第三个点阵是 34，是第几个点阵就是用几去乘。生 2：是用点阵的排列序号去乘比它大 1 的数。师：照这样继续写，你能写出第 n 个长方形点阵的点数吗？生齐：n（n1 ）。师：看来对于任何一个点阵，只要我们认真观察研究，总能发现其独特的规律。下面请大家认真观察给出的四个三角形点阵的规律，快速画出第五个三角形点阵并说出点数。生：（举起自己的点阵图）有 15 个点。师：对自己画出的第五个三角形点阵进行划分，你能想到哪些不同的划分方法？分别用算式表示点数。（学生活动）全班交流：生 1：我是横着分的，算式是 12 34515。生 2：我是斜着划分的，算式也是 12 34515。
12、生 3：我是竖着划分的，算式跟他们一样，也是 12 34515，就是连续的自然数的和。生 4：我的是用折线划分的，算式可以写为 15 915，就是每次都多 4 个。（对于前面的三种划分方法，都在我的预设之内，学生到此，已经很轻松地用语言表述出自己的想法：这样的三角形点阵的点数是从 1 开始的连续自然数的和。而对于第四种划分方法，是我没有预想到的。有一个孩子却用非常强烈地要求，表达了自己的这种划分方法，并且说出了这个算式依次递加 4 的规律。我真的很庆幸给了他一个机会，他用如此精彩的回答回报了我，也许课堂教学永远的魅力就在于这预设外的惊喜吧。）师：同学们真的很了不起！真正具有未来数学家的风范，用
13、自己的聪明才智，发现并总结了各个不同的点阵图中隐藏的规律。那么你们觉得应该从哪些方面来探究点阵的规律呢？生 1：我会仔细看清点阵是什么形状的。生 2：我觉得应该数清每一行的点子数是多少。生 3：我认为还要看清前后两个点阵的变化。（在这里不需要学生说出多么专业的、深奥的数学方法，只是引导学生对自己探究性学习方法的一个总结，尽管语言可能不够简练，总结不够到位，只要学生是用自己的语言在表述自己的想法，就是对学生思维训练层次的一个提升，一种飞越。）联系生活：师：点阵的知识在生活中有着广泛的应用，比如北京奥运会开幕式上的“击缶表演” 、“太极表演” 等，都是把一个人看作了一点，来排列有规律的队形。你还知
14、道什么地方运用了点阵的相关知识？生 1：五子棋。生 2：解放军阅兵式的方队。生 3：节日里摆放的花坛生 4：我们参加市八运会排练的团体操。师：看来生活中用到点阵知识的地方还真不少。课后自己也设计一幅美丽的点阵图，下节课我们一起展评。（在这里，把学生的课堂学习延伸到课外，链接到学生已有的相关生活经验，使得原本陌生的数学知识与学生的日常生活自然对接，体现了数学与生活的密切联系。学生课后的自主设计作业，给了学生极大的创造空间，真正体现数学来源于生活，又应用于生活。）北师大版五年级数学点阵中的规律教学设计教学目标：1、能在具体的观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系2、了解数学发展的历
15、史，感受数学文化的魅力。3、发展归纳与概括的能力，培养学生推理、观察、概括能力。教学重点：直观感知“点阵”的有序排列。引导学生发现与概括规律教学难点：发现“点阵”中隐含的规律，体会图形与数的联系。总结概括规律。教学准备：课件。教学过程：一、激趣引新： 师：（演示课件，生欣赏一组美丽的图案），你们能给这些图案取个名字吗？ 师：这些图案都是由许多点按规律排列起来的，这样的图案就是点阵，也可以说它是点阵图，点阵可以分为方形点阵、三角形点阵、螺旋点阵等几种形式。师：知道今天我们要用这些点阵做什么吗？二千多年前，希腊数学家们已经利用点阵图形来研究数，今天我们要一起用这些点阵图研究数，寻找点阵中的规律。（
16、板书课题）二、探索新课：1、出示点阵，提出问题：其实，这是一组特殊的几何图形，我们把它叫做点阵，这节课我们就来研究点阵中的规律。（板书）想一想，第五个点阵中有多少个点？第六个呢，第七个，第八个，第九个？下面请你画出第五个点阵，并说一说你是怎样想的？老师也画了一个点阵，请大家看一看，怎样用算式来表示？每个点阵分别有多少个点？你是怎样知道每个点阵中点子数的？(3)除了横着进行划分研究点阵中的规律,还有其他的方法吗?2、探索点阵中的规律：（1）出示点阵图，小组讨论。（2）全班交流。问：哪个小组来汇报讨论的情况？（3）小结方法和规律，并寻找各方法中的联系。三、实践应用：1、解决课本中“练一练”习题，交
17、流时，问：你能用算式表示出这些点子图变化的规律吗？ 下一个点阵怎样画？观察点阵图，你发现了什么？（1）、试一试 1 题长方形点阵（2）、试一试 2 题三角形点阵（3）、练一练 1 题填写算式（4）、练一练 2 题画出点阵2、点阵设计大赛设计要求：（1）小组合作,共同设计一幅有规律、美观的点阵图，画出前 4 个点阵，并用算式表示每个点阵的数量.（2）每组派代表说明设计的方法及点阵中的规律,并展示作品.(3)优秀小组的作品,在班级”展示台”展出.四、课堂总结：师：通过这节课的观察、学习，你们发现了点阵中的什么有趣规律？还有什么收获？师：除了方形点阵、三角形点阵、螺旋点阵这几种形式以外，你还见过其他
18、形式的点阵吗？课后继续调查、搜集并研究其规律摘要： 教学目的： 1 、结合具体的图形，明确什么是点阵。 2 、能在具体的观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系。 3 、发展归纳与概括的能力。 4 、了解数学发展的历史，感受数学文化的魅力。 教学过程 ： 活动一 ： 交流课前搜集的资料信息 1教学目的：1、结合具体的图形，明确什么是“点阵” 。2、能在具体的观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系。3、发展归纳与概括的能力。4、了解数学发展的历史，感受数学文化的魅力。教学过程：活动一：交流课前搜集的资料信息1、对于数字的发明和发展过程，你都有哪些了解？如：我们现在使
19、用的数字是哪个国家的人发明的？最初人们是怎样计数的？数字在使用过程中又增加了哪些功能？你都了解数字的哪些特征？2、阿拉伯数字的发明，是我们的记录和计算更加方便，然而在表现一些数字的特征方面，图形更加直观。早在 2000多年前，古希腊的数学家们就已经利用一些有序排列的点子图形来研究数，发现和总结数的一些特征，因此人们又叫它“点阵” 。活动二： 研究点阵中的规律1、认识“点阵” 。（1）出示有序排列的三个点阵，引导学生观察并思考：下面三个点子图中各有几个点？在排列上有什么特点？（ 三个点阵按 1、4、9 的顺序排列）（2）你能不能尝试画出第四个图形、第五个图形？学生独立思考并在小组内交流画法。 （
20、16 个点、25 个点）（3）像这样有序排列的点子图在数学上又叫它“点阵” 。点阵可以分为方形点阵、三角形点阵、螺旋点阵等几种形式。2、探究规律。（1）大家都能用数字来表示各个点阵中点的个数，能不能尝试用算式来表示点阵中点的个数，从中发现一些隐藏的规律？（小组内交流）（2）展示：第一个11=1第二个22=4第三个33=9第四个44=9第五个55=25小结：每个点阵的点子数可以看作是相同的数字相乘。（3）其实通过图形来研究数的形式是多种多样的。请同学们仔细观察点阵中点的划分方法，你能发现什么规律？（出示第五个点阵图，多媒体课件分别按照 1 个点、3 个点、5 个点的递加规律演示）（4）交流总结：
21、1 =11+3 =41+3+5 =91+3+5+7 =161+3+5+7+9 =25小结：按照划分方法这个点阵的点子数可以看作是连续奇数的和。（5）你还有哪些划分的方法？尝试说明理由。（学生自由讨论交流）活动三：延伸应用教材第 83 页“试一试”中的 1、2 两题。学生自主探索，讨论交流。课堂总结 1、这节课你有什么收获？2、除了以上方形点阵、三角形点阵以外，你还见过其他形式的点阵吗？课后继续调查、搜集并研究其规律。随堂检测题（10 分）1、按下面的方法划分点阵中的点，并填写算式。 （图略）1=1 4=1+2+1 9= 16= 2、观察已有的几个图形，按规律画出下一个图形。 （图略）板书设计点阵中的规律第一个11=1第二个22=4第三个33=9第四个44=9第五个55=25
