1、聚焦抛物线的通径我们知道，抛物线的“通径”在课本上是这样定义的：经过抛物线的焦点 且垂直于 x 轴的直线和抛物线交于 、2(0)ypxF12pM，两点，线段 叫做抛物线的通径不难求得抛物线的通径长为 通2M， 12Mp径作为抛物线的一条特殊的弦，所具有的某些结论和结论的探求方法可为迅速寻求某些问题提供求解途径一、 “通径”性质的探求如图，设抛物线方程为 ， 为过焦点2(0)ypxAB的弦，其所在直线方程为 ，联立消 y02pF， ()2k有， 2()04kpkxx ， ，1AF2B22122()1tanpkkBxpp（ 为弦 所在直线的倾斜角且 ） 显然当2(cot)sinpAB90时， 90
2、A即“抛物线过焦点的弦长最小值为通径长 ”2p通径的端点和抛物线的顶点构成的等腰三角形面积为定值证明：如图 2，抛物线方程为 ， 为其焦点，2(0)yxF为抛物线的通径，则 AB21ABOpS二、 “通径”性质的应用抛物线的通径是过焦点的弦，但其本身有特殊的性质如果解题时注意应用“通径”的这些性质，将减少运算量，提高解题的速度例 1 直线 过抛物线 的焦点，并且与 x 轴垂直若 被抛物线截l2(1)0yaxl得的线段长为 4，则 _解析：所截得的线段就是抛物线的“通径” ，所以线段的长为 ，24p又 ， a例 2 过抛物线 的焦点 作一直线交抛物线于 两点，若 与2(0)yaxFPQ， F的长
3、分别是 ，则 等于（ ）QFpq， 1 2a4a4解析：本题可以用特殊位置法来解，因为弦 是任意的，所以，可以取最特殊的情PQ况：弦 垂直 y 轴时（也就是“通径” ） 此时 ， ，故选PQF12a4apq（C） 例 3 已知探照灯的轴截面是抛物线 ，如图 3 所示，平行2yx于对称轴 x 轴的光线在抛物线上经 P、Q 两点两次反射后，反射光线仍平行于对称轴 x 轴设点 P 的纵坐标为 ，a 取何值时，从(0)入射点 到反射点 Q 的光线路程最短P解析：利用光学知识将问题转化为焦点弦长的最小值问题，可用结论：通径长是焦点弦长的最小值，即 ，此时交点 和122pa142，分别为入射点和反射点142，若不用此结论，需构建目标函数，利用均值不等式求解由光学知识知，光线 恰PQ过焦点，则 ，由 ， ，解得 PQFya2xy2()Pa，直线 的方程 与 联立，解得交点 ，由241y2 2164a，抛物线的定义有， （当且仅当2216PFaaA时取等号） ，即当入射点为 ，反射点为 时，路程 最短这12a14， 4Q， PQ时 恰好关于对称轴对称，且 为通径PQ， P
