1、1圆锥曲线中轨迹方程的求法临沂李宝峰求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.一：直接法：是求轨迹方程最基本的方法，如果动点 P 满足的等量关系易于建立，可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系，再用点 P 的坐标（x，y）表示该等量关系式，构成 F（x，y）=0，即可得到轨迹方程。一般有设点，列式，代换，化简，证明
2、（可省略）五个步骤。但要注意“挖”与“补”。直接根据等量关系式建立方程.例 1 已知点 ，动点 满足 ，则点 的轨迹是（）(20)(3AB，()Pxy，2APBxP圆 椭圆 双曲线 抛物线解析：由题知 ， ，()Pxy(3)由 ，得 ，即 ，2ABx 23x26yx点轨迹为抛物线故选例 1：两个定点的距离为 6，点 M 到两个定点的距离的平方和为 26，求点 M 的轨迹。分析：根据题意建立合适的坐标系，列出等量关系即可。二：定义法（待定系数法）:适用于根据条件可直接判断轨迹是什么曲线，且知道其方程形式的情形（如圆、椭圆、双曲线、抛物线） ，运用解析几何中定义,则可先设出轨迹方程，再根据已知条件
3、，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。，例 2 在 中， 上的两条中线长度之和为 39，求 的重心的ABC 24ACB， ABC轨迹方程解：以线段 所在直线为 轴，线段 的中垂线为 轴建立直角坐标系，如图 1， 为xyM重心，则有 3926M点的轨迹是以 为焦点的椭圆， BC，其中 123ca25bac所求 的重心的轨迹方程为 A 21(0)69xy注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.例 2：已知:c 1（x+3 ） 2+y2=1 和c 2（x-3） 2+y2=9,动圆 M 与c 1,c 2 相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。三：相关点法（代入法）：若所求动点随另一动点（称为相关点
4、，该点坐标满足某已知曲2线方程）有规律运动，根据条件找出它们坐标间的关系，用动点坐标表示相关点坐标，由相关点坐标满足的方程可求得动点轨迹方程。本法关键找出动点与相关点间的坐标关系。即设出动点 P（x，y） ，用（x，y）表示出相关点 P的坐标，然后把 P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。27.（安徽理 21）设 ，点 A的坐标为（1,1） ，点 B在抛物线 yx上运动，点 Q满足 QB，经过 点与 Mx轴垂直的直线交抛物线于点 M，点 P满足PM,求点 的轨迹方程。本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解
5、决问题的能力，全面考核综合数学素养.解：由 MPQ知 Q，M，P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上，故可设 .)1(),(),(),(), 202020 yxyyxyxP 则则再设 ,.(, 11AB即由解得 .)(01yx将式代入式，消去 ，得.)1()1(,2yxyx又点 B 在抛物线 上，所以21x，再将式代入21xy，得.01),1(,0.)1(2 ,)(,)()( 222 yxyx得两 边 同 除 以因 故所求点 P 的轨迹方程为 .3例 3 已知ABC 的顶点 ，顶点 在抛物线 上运动，求 的重心(30)(1BC，A2yxABC的轨迹方程G解：设 ， ，由重心公式，得 又()xy
6、0()Ay 0031xy，3y， 在抛物线 上， 0()A， 2x20x将，代入，得 ，3()(yy即所求曲线方程是 240x例 3：已知线段的端点（,） ，端点在圆 （x） 2+y2=上运动，求线段的中点的轨迹方程。四：参数法：在求轨迹方程时，变量 x，y 间的关系不易得到，可通过分析动点的变化规律及特点，寻求引发动点 P 运动的某个几何量 t，以此量作为参数用来表示动点的坐标x，y，消去参数即可。常见的参数有角度，直线的斜率，点的坐标，线段的长度等。例 4：设点 A，为抛物线 y2=px(x0) 上原点以外的两个动点，已知 OAOB,OMAB,垂足为 M，求点 M 的轨迹方程。分析:点 A
7、,B 坐标满足抛物线的方程，又 OAOB，可设 OA 的斜率 k,作为参数，可得斜率间的关系，又 OMAB，也可以得到斜率间的关系，消参可得点 M 轨迹方程。例 4 已知线段 ，直线 垂直平分 于 ，在 上取两点 ，使有向线段2AalAOlP，满足 ，求直线 与 的交点 的轨迹方程OP，4PP解：如图 2，以线段 所在直线为 轴，以线段 的中垂线为x轴建立直角坐标系y设点 ，(0)t，则由题意，得 40Pt由点斜式得直线 的方程分别为A，4()()tyxayxat，两式相乘，消去 ，得 224(0)y这就是所求点 M 的轨迹方程评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是
8、消参，消参的途径灵活多变.五：交轨法：求两动曲线交点的轨迹问题时，可将适合于每一条件的轨迹方程做出，联立方程，通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能4直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程） ，该法经常与参数法并用。例 5：如图，垂直于 x 轴的直线交曲线 1 于 M,N 两点，A 1，A 2 为双曲线顶点，2axby求直线 A1M 与 A2N 的交点 P 的轨迹方程。注：求轨迹方程注意参数范围对方程的影响，注意方程的完备性与纯粹性及轨迹与轨迹方程的区别。过抛物线 y2=4px(p0)的顶点作互相垂直的两弦 OA,OB,求抛物线的顶点 O 在直线
9、AB 上的射影 M 的轨迹。六：点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为A ,B 并代入yx1,2,圆锥曲线方程，然后作差求出曲线的轨迹方程。用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；代入法要设法找到关系式 x=f(x,y), y=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建顶点作互O的轨迹。 （考例5） )0(42px5立两曲线方程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等.求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
