1、1佛山学习前线教育培训中心高二数学（理）讲义专题：排列与组合解题技巧主要技巧：一. 运用两个基本原理例 1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？练习 1：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）（A）6 种 （B）9 种 （C）11 种 （D ）23 种二. 特殊元素（位置）优先例 2：从 0，1，9 这 10 个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？练习 2：8 人站成两排，每排 4 人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？三. 捆绑法例 3：8 人排成一排，甲、乙必须分
2、别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？练习 3：记者要为 名志愿者和他们帮助的 为老人拍照，要求排成一排，52位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有2种 种 种 种.A140.B960.C70.D4802四. 插入法例 4：排一张有 8 个节目的演出表，其中有 3 个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？练习 4：安排 位工作人员在 月 日到 月 日值班，每人值班一天，其中7517甲、乙二人都不能安排在 月 日和 日，不同的安排方法共有 种。2五. 排除法例 5：求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。练习 5：100 件产品中有 3 件是次品，其余都是正品。现在从中取出
3、 5 件产品，其中含有次品，有多少种取法？练习 6：8 个人站成一排，其中 A 与 B、A 与 C 都不能站在一起，一共有多少种排法？六. 机会均等法例 6：10 个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？练习 7：用 1，4，5， 四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为 288，求 。七. 转化法例 7：一个楼梯共 10 级台阶，每步走 1 级或 2 级，8 步走完，一共有多少种走法？3练习 8：动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8），要使行驶的路程最小，有多少种走法？八. 隔板法例 14：20 个相同的球分给 3 个人，允许有人可以
4、不取，但必须分完，有多少种分法？练习 9：把 10 本相同的书发给编号为 1、2、3 的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？针对练习：1、7 名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？2、7 名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？3、(1996 年全国高考题) 正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为顶点的三角形共有 个.4、(1995 年上海高考题)1 名老师和 4 名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种5、（2000 年全国高考题）乒乓球
5、队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名队员参加比赛，3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.46、（2003 年北京春招）某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）A42 B30 C20D127、（2003 年全国高考试题）如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）8、（2002 年北京高考）12 名同学分别到三个不同的
6、路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案共有（ ）A 种 B 种 C 种 D种9、（2003 年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）A24 种 B18 种 C12 种 D 6 种10、（2008 年陕西卷）某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由6 名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种（用数字作答）11、（2008 年天津卷）有 4 张分别标有数字 1，2，3，4 的红色卡片和 4
7、 张分别标有数字 1，2，3，4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10，则不同的排法共有_种（用数字作答）12、（2008 年浙江卷）用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是_（用数字作答)。5参考答案：一. 运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。例 1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法 1：用分类记数的原理，没有人通过，
8、有 种结果；1 个人通过，有 种结果，；n 个人通过，有 种结果。所以一共有 种可能的结果。解法 2：用分步记数的原理。第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，第 n 个人也是这样。所以一共有 种可能的结果。例 2：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）（A）6 种 （B）9 种 （C）11 种 （D）23 种解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为 a、b、c、d。第一步，甲取其中一张，有 3 种等同的方式；第二步，假设甲取 b，则乙的取法可分两类：（1）乙取 a，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，（2）
9、乙取 c 或 d（2 种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。根据加法原理和乘法原理，一共有 种分配方式。二. 特殊元素（位置）优先例 3：从 0，1，9 这 10 个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？解：个位选 0，有 个，个位不选 0 且万位不能选 0，有 个，所以一共可以得到 个偶数。注 0，2，4，6，8 是特殊元素，元素 0 更为特殊，首位与末位是特殊的位置。例 4：8 人站成两排，每排 4 人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？解：先排甲，有 种排法。再排乙，有 种排法，再排其余的人，又有 种排法，所以一共有 种排法。三
10、. 捆绑法例 5：8 人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？解：把甲、乙、丙先排好，有 种排法，把这三个人“捆绑”在一起看成是一个，与其余 5 个人相当于 6 个人排成一排，有 种排法，所以一共有 =1440 种排法。四. 插入法例 6：排一张有 8 个节目的演出表，其中有 3 个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？解：先排 5 个不是小品的节目，有 种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有6 个空隙，将 3 个小品插入进去，有 种排法，所以一共有 =7200 种排法。注：捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条件的排列问题。6五. 排除法例 7；
11、求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。解：从 8 个点中取 4 个点，共有 种方法，其中取出的 4 个点共面的有 种，所以符合条件的四面体的个数为 个。例 8：100 件产品中有 3 件是次品，其余都是正品。现在从中取出 5 件产品，其中含有次品，有多少种取法？解：从 100 件产品中取 5 件产品，有 种取法，从不含次品的 95 件中取出 5 件产品有 种取法，所以符合题意的取法有 种。例 9：8 个人站成一排，其中 A 与 B、A 与 C 都不能站在一起，一共有多少种排法？解：无限制条件有 种排法。A 与 B 或 A 与 C 在一起各有 种排法，A、B、C三人站在一起且 A 在中间有
12、种排法，所以一共有 + =21600 种排法。六. 机会均等法例 10：10 个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？解：甲、乙、丙三人排列一共有 6 种排法，在这 6 种排法中各种排列顺序在 10 个人的所有排列中出现的机会是均等的，因此符合题设条件的排法种数为 。例 11：用 1，4，5， 四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求 。解：若 不为 0，在每一个数位上 1，4，5， ，出现的机会是均等的。由于一共可以得到 24 个四位数，所以每一个数字在每一个数位上出现 6 次，于是得到：，解得 。若 为 0，无解。七. 转化法例 12
13、：一个楼梯共 10 级台阶，每步走 1 级或 2 级，8 步走完，一共有多少种走法？解：10 级台阶，要求 8 步走完，并且每步只能走一级或 2 级。显然，必须有 2 步中每步走 2 级，6 步中每步走一级。记每次走 1 级台阶为 A，记每次走 2 级台阶为 B，则原问题就相当于在 8 个格子中选 2 个填写 B。其余的填写 A，这是一个组合问题，所以一共有种走法。例 13：动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8），要使行驶的路程最小，有多少种走法？解：动点只能向上或向右运动才能使路程最小而且最小的路程为 14，把动点运动 1 个单位看成是 1 步，则动点走了 14 步，于是问题就转化为在 14 个格子中填写 6 个“上”和8 个“右”，这也是一个组合的问题，于是得到一共有 种走法。八. 隔板法例 14：20 个相同的球分给 3 个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？解：将 20 个球排成一排，一共有 21 个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（两个隔板可以插在同一空隙中），规定由隔板分成的左、中、右三部分球分别分给 3 个人，则每一7种隔法对应了一种分法，每一种分法对应了一种隔法，于是分法的总数为 种方法。注：本题可转化成求方程 的非负整数解的个数。
