1、第23卷第6期2003年1 2月东北电力学院学报Journal 0f Nonh蛆st ChinaInstitute Of Electric Power EngineeringVOl 23，No 6Dec2003文章鳙号：10052992(2003】06005704Jacobi迭代预处理中的条件数与迭代次数的关系周 硕1，郭丽杰1，吴柏生21东北电力学院数理科学系吉林吉林132012；2吉林太学数学研究所吉林长春130012)摘 要：为改进共轭梯度法的性能，降低方程组系数矩阵的条件数，需对原方程进行预处理。在Jpcobi选代预处理中矩阵的条件数并不随迭代趺数的增加而单调减少，而是有所起伏。通过对
2、Jacobi迭代矩阵c的特征值情况的分析，讨论了矩阵的条件教与迭代次数的关系。关键词：预处理；条件数；迭代次数；关系中田分类号：O 241 6 文献标识码：A共轭梯度法是求解大型稀疏对称正定方程组的最有效方法之一。但当系数矩阵的特征值xx。时共轭梯度法的收敛是相当慢的，它的数值稳定性也相当差。为了提高共轭梯度法的收敛速度和改进其数值性能，在求解方程之前需要对原方程进行适当处理。改进共梯度法的手段是预处理技术。多数二阶椭圆型偏微分方程边值问题，用差分方法离散化得到的方程Ax=6满足：A对称正定，而且用”ohi迭代解Ax=b是收敛的。但某些问题用Jaeohi迭代预处理后，矩阵时“A的条件数并不随J
3、aeobi迭代次数的增加而单调减少，而是有些起伏。取由泊松方程第一边值问题在单位正方形上用正方形网格并采用五点差分方法离散化得到的方程组为例，并取n=400“。用Jacobi迭代预处理后的矩阵f一1A的条件数列入下表：寰1 t：ond口IMA)一P之问关系J眦obi造代攻数D 0 1 2 3 4 5eond2肼叫A) 178 45 59 23 35 15本文通过对Joacbi迭代矩阵G的特征值情况的分析对这一现象从理论上加以解释。1 Jacobi迭代预处理求解方程；=i，其中A舻“是一个对称正定矩阵，预处理技术就是找一个“近似于”A的矩阵肘，它也是对称正定的，用|If“左乘原方程两端得到其等价
4、的方程MAx=肘-。b。如果f“A的条件数很小又可以用共轭梯度法求解它，那么由下面的定理知道可以大大改进它的收敛性。定理111 A为一对称正定矩阵，求解Ax=b的共轭梯度法有：|x一x。|Ir厅 厅V2I与兰二号当I|*。一zI|，其中、。分别为A的最大、最小特征值。Ll+A。不失一般性，可以假设矩阵A的对角线元素均为I，而且用Jacobi迭代解Ax=6是收敛的。把矩阵A写成A=，一G，Jacobi迭代格式为：。=Gx+6，k=0，l，2，收稿日期：20030523作者简介：周硕(1968一)男东北电力学院数理科学系讲师现读吉林大学研究所博士研究生万方数据58 东北电力学院学报 摹!j巷又有A
5、=(，一G)，p(G)；A 2。0设P为非负整数。则矩阵cP+1的特征值为1fg+1A0，得到矩阵肘一A的斛麴d2(圹IA)=篇。引理3设函数g(x)=当誊，其中为任意正常数，则对任意x(o，1)，函数g(z)单调减少。证明：已知函数g(。)孝，有g 7(x)=型二等鼍，下面往证g，(*)o，即y(，)单调增加。而对于任意，(O，1)，有，(#)y(1)=0，故可证得g()a6o，则对任意x(o，+*)，函数，(x)单调减少。 证明：已知f(x)=等，有，=坠盟咤气譬螋ln 、l一口，由引理知，对确定的常数x，当186意*(O+*)，函数_厂(z)单调减少。o时，有当詈c当嘉，故可得，7x(x
6、)c o，则对任由定理2可知，随着p的增加，矩阵M“A的条件数单调减少。(11)Jacobi迭代矩阵G的特征值为0AlA 2A。一1，设p为非负整数。藤=2万方数据第6期 周硕，等：J村ubi速代镬北理中的条件教与进代次数的关系 59若P为奇数，则矩阵G9“的特征值为101兰Ag+1+0，由此矩阵M一。A的条件数。d：(M-tA)：二_等；由定理2可得此时矩阵M一-A的条件数随P取奇数单调减少。 1一n为说明p为偶数时矩阵M“A的条件单调减少，先证明下面的定理。定理3：设函数(x)=三一苦芸，其中p为偶数，则对任意z(一1o)，函数(x)单调减少。证明：h(z)=对任意x(减少。!=!：1 1
7、一zP+3+#，+3一#p+1 ，1一xp+3 1一zp+311，0)，函数xp”、lx 2单调增加，函数1兰!：!(!=苎1l一p+3zP“单调减少，则可得函数h(x)单调若P为偶数，则矩阵口“的特征值为0At+1兰g+1兰一1，由此矩阵M一1A的条件数为dz(M-1A)=岸舳蚴证哥，艄愀“剿撇娜偶数单调减少。综上，P为非负整数，由于Jacobi迭代矩阵G的特征值符号及最大、最小特征值的影响。随着P的增加，矩阵肼1A的条件数不是单调减少，而是有所起伏。示例如下第一组数据近代矩阵G的最大、最小分别为10 1，A。0 9；第二组数据迭代矩阵c的最大、最小分别为I0 ol，。099；第三组数据迭代
8、矩阵G的最大、最小分别为A。0 001，0999。由模拟数据可得，此时宜采用偶数次迭代，以保证具有良好的收敛速度。()Jacobi迭代矩阵G的特征值为1l2A0AA。一1，设P为非负整数。记D=max|Al l，I2 l，一，I。I，b=rainI A_I，l2 l，I。I。若P为偶数，则G“的特征值为1A“兰A5“兰A+。0A：i01一1，撇耵斛鼬con枷“)-岸溻证筹岸删酬删条件数随P取偶数单调减少。若为奇数，则矩阵俨“的最大、最小特征值为矿“、扩“，由此矩阵肼“A的条件数为cond2(M。A)=_二苎五。由定理2可得此时矩阵肼。A的条件散随P取奇数单调减少。综上，P为非负整数，由于Jac
9、obi迭代矩阵G的特征值符号及最大、最小特征值的影响，随着口的增加，矩阵M“A的条件数不是单调减少，而是有所起伏，但变化情况与()相反。此时宜采用奇数次迭代，以保证具有良好的收敛速度。3结 论从表1、表2中的数据可以看出Jacobi预处理后矩阵的条件数并不随Jacobi迭代次数的增加而单调减少而有些直。这种现象与Jacobi迭代矩阵的特征值符号及特征值大小有关。但随着迭代次数的逐渐增大，总的趋势是条件数逐渐减少进而趋近于极限值1。万方数据东北电力学院学报 第21卷参考文 献1蔡太用，白峰杉现代科学计算M北京：科学m版社，200023502施妙根顾|ili珍科学和工程计算基础M北京：清华大学出版
10、社，19993j李荣华，冯果忱触分方程数值解法(第三版)M北京：高等教育出版社，1996Relation Between Condition Number and IterationDegrees in Jacobi Iteration PretreatmentZHOU Shu01，GUO Li-jie，WU Bai-shen92(1Institute of Mathematics，Jilin UniversityChangchun 130012，P RChina；2Department of Mathematics and PhysicsNortheast China Institute o
11、f Electric Power Engineering，Jilin City，132012)AbstracttIn order to improve capability of conjugate gradient method and decrease conditon number of coefficient matrix of equations，the pretreatment for primitive equations is processedCondition number of mat rix doesnt monotonically decreaseis iterati
12、on degrees increase in Jaeobi iteration pretreatmentBy is dicussed by analyzing the eigenvaluesthe connection between condition number and iteration degreesKey words：Pretreatment；Condition number；Iteration degrees；Relation一一I。一。_+一一一一一，(上接第15页参考文献1唐跃平双n RAM与FIFO芯片在数据处理系统中的应用比较J微型机与应用2000年第9期2宴振中等编著单
13、片机外围器件实用手册存储器分册M北京：航空航天大学出版社19983强雄伟等编著DSP芯片的原理与开发应用M J北京：电子工业出版社，2000年第2版4 AD775 Dat础htet from hlp：h1 anMogcomsearchProxy蚰pDesign of video frequency data acquisition circuit applicable for DSPDAI Fu。sheng，MAO Xing-peng(Harbin Institute of Technology at Weihai，Weihai 264209，China)Abstract：video freq
14、uency data acquisition circuit is designed according to real-time processing requirement ofDSPTheheorem of AD convertor which speed is up to 20 M SPS and its typical applied circuit is introducedBecause the AD convertor and DSP work in the mode of stream line，the dual-ported RA M 8S theshared memory
15、 is adopted to buffer dataAt the same time，the access control circuit is designed Io avoidstorage collision of dual-ported BA M in two sidesThe specific data acquisition circuit is given and the theo-rem of the circuit is representedKey wardstData acquisition；AD convertor；Dualported RAM万方数据Jacobi迭代预
16、处理中的条件数与迭代次数的关系作者： 周硕， 郭丽杰， 吴柏生作者单位： 周硕,郭丽杰(东北电力学院数理科学系,吉林,吉林,132012)， 吴柏生(吉林大学数学研究所,吉林,长春,130012)刊名： 东北电力学院学报英文刊名： JOURNAL OF NORTHEAST CHINA INSTITUTE OF ELECTRIC POWER ENGINEERING年，卷(期)： 2003，23(6)被引用次数： 2次参考文献(3条)1.蔡大用.白峰杉 现代科学计算 20002.施妙根.顾丽珍 科学和工程计算基础 19993.李荣华.冯果忱 微分方程数值解法(第三版) 1996相似文献(10条)1
17、.学位论文 李桂清 一类组合预处理子的代数构造与理论分析 2002该文主要研究具有Dirichlet-周期边界条件的二阶自共轭椭圆型偏微分方程的高效预处理迭代解法,尤其对于系数矩阵的预处理子的代数构造与理论分析做了系统研究.首先,注意到由五点心差分格式离散所得到的系数矩阵,具有相当特殊的结构（为对称M矩阵）,除在某些特殊位置具有若干非零元素外,可认为是“五对角”矩阵.理论分析表明,新预处理子是对称正定的,新预处理矩阵的条件数O（h）阶,比原系数矩阵的条件数（O（h）降低了一阶.2.学位论文 朱建伟 非重叠区域分裂法中的预处理技术 2000八十年代以来,区域分裂法有许多新的结果,Bramble基
18、于子结构法构造的解椭圆型微分方程的预处理技术,Babuska的h-p型有限元方法和多水平分裂是其中具有代表性的工作.该文旨在继续这方面的工作.在第二章中提出了基于两水平剖分对于h-p型有限元的一个预处理器,并对它的条件数作了分析.文中的数值实验结果说明预处理效果良好.在第三章中提出了一个界面预处理器构造的一般方法(BPS是其中一个典型的预处理方法),同时还证明了一个估计界面预处理条件数的一般结论.它有助于研究人员去构造新的预处理器.3.会议论文 谢拥军.李磊.张玉.梁昌洪 “邻居单元“为基础的条件数预处理技术及其在板型基站天线分析中的应用 2003本文提出了一种具有物理意义的条件数预处理技术-
19、“邻居单元“为基础的条件数预处理技术.该方法充分考虑了矩阵元素中的“主要“信息量,可以有效加快迭代收敛速度.在构造预条件因子时,采用从“结构“出发,而不是从矩阵出发确定“结构单元之间的作用量关系“,这样保证了构造预条件矩阵的计算复杂度为O(N).作为实例,将这种预条件处理技术与共轭梯度方法结合应用于矩量法基站天线分析所得方程的求解,数值结果表明了本方法的有效性.4.学位论文 黄燕丽 线性方程组迭代法的若干问题 2007本文考虑了三个与求解线性方程组相关的问题，它们分别是：求解亏秩最小二乘问题的块加速超松弛迭代法；求解奇异I)-循环线性方程组的块加速超松弛迭代法；广义的关于预处理线性方程组的支撑
20、理论众所周知，对于非奇异的线性方程组，即该方程组的系数矩阵A是可逆的，此时求解该方程组的迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径严格小于1然而当线性方程组奇异时，只能要求迭代法半收敛首先，将求解线性方程组的块加速超松弛迭代法应用于求解亏秩线性方程组的最小范数最小二乘解，其中线性方程组的系数矩阵A是秩为k的mn复矩阵证明了AOR和JOR(外推Jacobi)方法半收敛的一些充分必要条件，并且进一步讨论了由原系数矩阵A扩充而得的新的系数矩阵的不同分裂所导出的AOR迭代法的半收敛性，同时给出了最优参数使得AOR迭代法达到最快的收敛速度其次，研究了求解系数矩阵为奇异p-循环矩阵的线性方程组的块加速超松
21、弛迭代法的半收敛性。在讨论半收敛性之前，给出了块AOR迭代矩阵和相应的块Jacobi迭代矩阵的特征元素之间的一些基本性质，这些性质在半收敛性分析过程中起着十分重要的作用。利用块AOR迭代矩阵和相应的块Jacobi迭代矩阵的特征值之间所存在的关系，证明了求解奇异p-循环线性方程组的块AOR迭代法半收敛的一些充分条件预处理是用来加速迭代法收敛的一个重要手段值得注意的是，经典的求解线性方程组的迭代法也都能够看作是求解采用不同的因子预处理之后得到的线性方程组的迭代法换句话来说，原线性方程组的松弛迭代法等价于预处理之后的方程组的定点迭代法谱条件数是反映预处理因子性态是否良好的一个有效指标。在估计特征值和
22、条件数的界的研究领域，虽然已经有了很多的研究成果，但足支持理论还是一个全新的概念。支撑理论是一个用于分析预处理方程组的最大(或最小)特征值和条件数的代数架构，它最初产生于对称正定的线性方程组最后，将适用于对称正定矩阵的支撑理论推广到一般的矩阵(包括不定的和非对称的矩阵)在回顾了广义支撑数的概念以及它是如何用来估计矩阵对(A，B)的广义奇异值和条件数的界之后，证明了广义支撑数的一系列基本的代数性质，并且给出了用于分析低秩的预处理因子以及关于Schur补和Kronecker积的一些重要的结论和技巧。5.期刊论文 曾文曲.文有为.孙海卫.ZENG Wen-qu.WEN You-wei.SUN Hai
23、-wei 图像恢复中的一种新预处理算子 -广东工业大学学报2000,17(2)在图像恢复实际模型的预条件共轭梯度法中,提出了一种新的预处理算子.将新的预处理算子应用于原来的系统,证明了其条件数得到大大的改善.实验结果表明,新的预处理算子具有很大优越性,比传统的预处理算子具有更快的收敛速度.6.学位论文 王锋 带间断系数二阶椭圆问题的非协调有限元的多水平和区域分解预处理方法 2009本文，在加性Schwarz预处理方法的一般理论框架下，讨论了几种非协调有限元离散带间断系数二阶椭圆问题的高效的求解方法. 首先，基于最低阶的Crouzeix-Raviart非协调元离散问题，我们讨论了多水平预处理方法
24、.由于定义在嵌套网格上的Crouzeix-Raviart元空间是非嵌套的，我们借助P1协调元子空间，定义了在加权L2范数下稳定的延拓算子来交换不同网格之间的信息.虽然预处理后系统的条件数依赖于系数的跳跃，但是，通过分析预处理后系统的特征值分布，我们发现除少数小特征值外，其余所有特征值都有正的关于系数跳跃和网格尺寸拟最优的上下界.因此，预处理后系统的有效条件数关于系数跳跃是Robust的，关于网格尺寸是拟最优的，且预处理共轭梯度法的渐进收敛率是1-C/|logh|3/2. 其次，以分片双线性或三线性元空间作为粗空间，我们提出了P1非协调四边形元的两水平加性Schwarz预处理方法.与Crouze
25、ix-Raviart元的多水平方法类似，预处理后问题的有效条件数与系数跳跃无关，且关于粗网格尺寸是拟最优的，也就是说，有效条件数的上界是O(1+log(H0/H)，其中H表示粗网格尺寸,H0表示系数间断子区域的直径. 最后，我们考虑Mortar-型旋转Q1元方法.对于该元，我们仅讨论矩形和L-型区域，以及矩形网格剖分.由于mortar条件，直接对原问题设计与系数跳跃无关的高效算法是比较困难的，因此，我们先定义了一个与原问题等价的辅助问题.采用特殊的离散调和函数空间作为粗空间，我们先提出了几种解辅助问题的区域分解方法.然后将这些方法应用到原问题上，理论证明了这些方法都是拟最优的，也就是说，预处理
26、后系统的条件数的上界是O(1+log(H/h)，=2，3，与系数跳跃无关. 数值试验验证了我们的理论结果.7.期刊论文 卫加宁.武瑞婵.Wei Jianing.Wu Ruichan 预处理迭代的性质及其应用 -武汉理工大学学报（交通科学与工程版）2006,30(4)区域分裂并行计算的效率主要归结为解决并行过程中子区域间的信息传递问题.预处理方法是一种改善信息传递的重要手段.文中讨论了预处理迭代的一些性质,提出构造较优预处理的一类方法.在构造预处理的过程中运用参数来讨论条件数的改善情况,还对参数范围作了讨论.8.学位论文 张慧 用分层基解椭圆方程的双循环交替方向迭代法 2004本文始终遵循二维问
27、题“一维”化的思想，在一维分层基的基础上，提出了在改进的分层基下用双循环交替方向迭代法求解二维椭圆方程的边值问题.分层基设是平面多角形，Jh是的三角剖分，这意味着(-)是Jh的三角形单元并集，且任何两个单元或有公共边，或有公共顶点，或彼此交集为空集.在节点基下有限元节点不分等级，但实际计算中，节点生成是逐级构造的.对于一维情形，设I=a,b.Jh是I上的一个网格剖分，定义如下.首先给出I上的初始剖分J0.J0中的节点为a=x00x01x02.x0j.x0n=b.相邻节点x0i-1，x0i之间的小区间I0i=x0i-1，x0i称为单元，长度h0i=x0i-x0i-1.然后由J0出发，逐步加密生成
28、一族嵌套剖分J0，J1，其中Jk+1由Jk按如下办法加密生成：取Iki单元的中点，使之一分为二.以下令Nk表示Jk的全体单元节点集合，令Sk表示在(I)上连续且关于Jk分片线性的函数空间.我们在Sobolev空间H10(I)=u:uH1(I).u(a)=u(b)=0内取试探函数空间Vh，uhVh为试探函数.对任何uC(I).u=I0u+jk=1(Iku-Ik-1u).(A)uSj.(1.2)分解式(1.2)在以后的分析中有重要作用.下面用递归的办法定义分层基：首先，空间S0的分层基就是这个空间的节点基；其次，设Sk上分层基已经定义，则Sk+1上的分层基由Sk上分层基和Vk+1节点基构成.虽然分
29、层基刚度阵A的条件数比节点基刚度阵(A)的条件数k(A)=O(h-2)有本质改善，但分层基刚度阵亦有不容忽视的缺点：A不是稀疏的，这意味着直接解方程Ay=f.是颇为不利的.更好的办法是借助于有限元空间Sj的分层基表示与节点基表示之间的转换阵G.由于G的作用，分层基刚度阵A与节点基刚度阵(A)有关系：(x,Ay)=(Gx,(A)Gy)=(x,GT(A)Gy).(1.3)这里x,y是Rn中的任意向量，故A=GT(A)G.(1.4)这样，如果节点基方程为(A)x=(f)，x为节点基系数，则分层基方程为GT(A)GG-1x=GT(f)，或Ay=f，其中A=GT(A)G为分层基系数阵，y=G-1x为分层
30、基系数，f=GT(f).改进的分层基为更直观的分析拒阵，对分层基矩阵作改进，令P=2-1hIhI.2j-2hI.I(1.5)将节点基方程写成如下预处理形式：(GP)T(A)(GP)(GP)-1x=(GP)T(f)=PGT(f).其系数矩阵(A)cPAcP=I.I(A)00.其中(A)00为一三对角矩阵，显然其条件数与h无关，令z=(GP)-1x=P-1G-1x=P-1y为新改进的分层基系数，则(A)c=(GP)T(A)(GP)z=PGT(f).分层基解二维椭圆方程我们考虑一般二维椭圆边值问题-(p(x，y)u)=f(x,y),(x,y).u|=(x,y).=().(2.1)其中f，为(-)上的
31、连续函数，p(x)C1(-)，p(x,y)pmin0.对作矩形剖分，将方程(2.1)离散化，得到(A)u=(A)1+(A)2)u=(f).(2.1)显然(A)1，(A)2和(A)均为正定对称矩阵.(A)1，(A)2和(A)的条件数均为O(1/h2)。这使得求解(2.1)的许多迭代法收敛很慢.例如，Jacobi方法的收敛速度为O(h2).SOR方法(取到最佳因子)的敛速为O(h).交替方向迭代法的敛速为O(h).在王一博的硕士论文中，已经利用分层基下的交替方向迭代法得出了一些较好的结论，作者在她的基础上进一步利用双循环交替方向迭代法对方程求解，以得到更好的结果.记Gx，Gy分别为x,y方向的分层
32、基变换阵，记Gxpx和GyPy分别为x，y方向的改进的分层基变换阵.记A1,x=(GxPx)T(A)1(GxPx)=(P1GT1(A)11G1P2GT2(A)12G2P2.PmGTm(A)1mGmPm)(2.2)其中(A)1j为A1中对应(x,y)=(x,yj)的对角块，PjGj为对应的改进的分层基变换阵.由第一章第二节的内容我们知道PiGTi(A)1iGiPi的条件数与h无关，从而A1,x=(GxPx)T(A)1(GxPx)的条件数与h无关.以下简记(-G)x(=)GxPx,(-G)y(=)GyPy分别为x,y方向上改进的分层基变换阵(GyPy仿(2.2)可定义).将方程(2.1)预处理成(
33、-G)Tx(A)(G)x(-G)-1xu)=(-G)Tx(f).(2.3)记v=(-G)-1xu,fx=(-G)Tx(f).Ax=(-G)Tx(A)(-G)x,A1,x=(-G)Tx(A)1(-G)x,A2,x=(-G)Tx(A)2(-G)x，(2.4)则可将(2.3)写成Axv=(A1,x+A2,x)v=fx,(2.5)显然，Ax，A1,x，A2,x均为对称正定阵.同理我们也可以把(2.1)预处理成(-G)Ty(A)(-G)y(-G)-1yu)=(-G)Ty(f)，(2.6)可将(2.6)写成Ayw=(A1,y+A2,y)w=fy，(2.7)显然，Ay,A1,y,A2,y也为对称正定阵.下面
34、用双循环交替方向迭带法求解预处理方程(2.5)和(2.7).格式为(I+1A1,x)vk+1/2=(I-1A2,x)vk+1fx.(I+1A2,x)vk+1=(I-1A1,x)vk+1/2+1fy.uk+1=(-G)xvk+1,wk+1=(-G)-1yuk+1,(I+2A2,y)wk+3/2=(I-2A1,y)wk+2fy.(I+2A1,y)wk+2=(I-2A2,y)wk+3/2+2fy.uk+2=(-G)ywk+2,vk+2=(-G)-1xuk+2.(2.8)于是我们得到如下的收敛性结果和敛速分析：定理2.1迭代法(2.8)，当1，20时，对任意初值问题u(0)，均收敛到方程(2)的解u.
35、定理2.2当取1=(ab)-1/2,2=(cd)-1/2时，迭代法(2.8)收敛最快，且与h无关.(其中a，b和c，d分别为A1,x和A2，y的最小最大特征值)9.会议论文 杨文爽.李传习.肖勇刚 预处理共轭梯度法在有限元分析中的应用 2003预处理共轭梯度法为目前求解大型稀疏线性方程组极为有效的方法.本文在如何将其应用于有限元分析方面作了一些探讨性的工作.将SSOR-PCG方法与传统的迭代法进行了对比,进一步说明了其高效性.此外,笔者根据平面杆系刚度矩阵的特点,对其压缩存储方式进行了改进,与一般的压缩存储方式相比,可以节省内存2033.10.学位论文 林胜良 病态线性方程组解法研究 2005
36、病态线性方程组解法的研究是数值计算研究的一个重要课题.本文在分析了病态线性方程组的特点和成因的基础上,对一些传统的算法进行了改进,给出了加权迭代改善法和PSD-PCG法.其改进效果不仅在理论上得到了证明,且同时由几个典型的数值试验得到了验证.本文第一章介绍了求解病态线性方程组的算法类型以及评价标准,并简单介绍了几种有效的解法.第二章讨论了判别方程组性态的意义和方法,同时给出了一种估计条件数的实用方案.第三章在介绍了预处理方法的基本思想后,给出了两种典型的预处理算法.第四章介绍了共轭梯度(CG)法,及其与预处理方法的结合.本章提出的PSD-PCG法是解对称正定的稀疏病态线性方程组的有效算法.第五章介绍了实际工程中的一些病态问题,以及应注意的事项,以达到防患于未然的效果.最后指出了研究病态方程组的趋势和主要发展方向.引证文献(2条)1.卓芳.高仕斌 优化牛顿-拉夫逊算法雅可比矩阵的正交预处理方法研究期刊论文-电力系统保护与控制 2010(3)2.李兵.朱宁.唐文芳.段复建 改进的最小二乘估计确定高精度参数模型期刊论文-统计与决策 2007(23)本文链接：http:/
