1、 130第五章 Lebesgue 积分 本章是实变函数的中心内容，Lebesgue 积分称为勒贝格积分或 L 积分。 一、内容结构 L 积分是在 L 测度论基础上讨论的积分，建立 L 积分的方法有多种，更普遍地采用“非负简单函数 非负可测函数 一般可测函数”这种由特殊到一般的递进方式，或“有界可测函数 有界集上无界函数积分 一般可测函数的积分”的步骤建立 L 积分，并讨论 L积分的初等性质。对积分序列的极限学习 L 积分的三大定理：勒维定理、法都定理与勒贝格定理，这是 L 积分的中心结果。我们还要学习L 积分意义下重积分交换次序的富比尼定理。建立了 L 积分后，把 R积分与 L 积分进行比较，
2、找出它们之间的区别、联系，用 L 测度的知识完整地解答 R 可积的本质。由微分与积分的讨论，在 L积分中推广微积分基本定理。 主要内容： 勒贝格积分的定义；勒贝格可积的充要条件；勒贝格积分的性质；勒贝格积分的三大极限定理；勒贝格积分与 R 积分的关系；黎曼可积的充要条件；勒贝格积分的计算。 基本要求：学习本章内容，着重理解和掌握以下几个方面： 1、对于勒贝格积分的定义，理解、掌握定义过程的思想、方法，掌握勒贝格积分的定义。 2、对于 L 积分的性质，注意掌握勒贝格积分所特有的性质，如勒贝格 L 积分的绝对可积性，这是 L 积分的根本特点；由此得 L 积分的控制131收敛定理是 L 积分的重要结
3、论；L 积分的绝对连续性是 L 积分的重要特征，很多问题的证明用此性质；可测函数可以用连续函数平均逼近、零测度集不影响函数的可积性及积分值等等是很有用的结论。对于 L 积分性质的学习，要注意分清哪些只需积分有意义就成立，哪些必须函数可积才成立。 3、函数列积分的极限定理理论上很重要，是全章的重点之一。注意掌握几个定理各自的特点、条件、结论和相互联系，会用于解决问题。 4、掌握有界变差函数和绝对连续函数的概念，了解它们在微分与积分关系中的地位和作用。 5、了解为什么说勒贝格积分是黎曼积分的推广及二者的关系。对 L积分的计算最终还是转化为黎曼积分来完成。能准确地表述 R 可积的充分必要条件。 13
4、2二、主要的数学思想与方法 1、 由“三步”转换定义 L 积分的思想与方法： 简单函数 非负可测函数 一般可测函数 2、 L 积分的三个有关绝对值概念的内涵、意义： L积分的绝对连续性、绝对可积性、变上限积分的绝对连续性 3、 可测函数列的 L 控制收敛定理的意义与作用：是 L 积分理论中最重要的结论之一，由简明条件所提供的积分与极限交换次序的充分条件有广泛应用。 4、 L 积分与 R 积分的联系，用测度理论彻底解答 R 可积性问题： R可积的充分必要条件是不可测集为零测集。 5、L 积分中牛顿莱布尼兹公式成立的条件、意义。 133三、疑难点学习方法 （一）L 积分定义 在 L 积分定义的引入
5、过程中，与 R 积分类比，先采用对有界点集的分划，通过上确界 )(sup xfEi及下确界 )(inf xfEi，构成大和与小和，定义上积分与下积分，当上积分等于下积分时定义积分为 L 可积，进一步考虑有界集上无界可测函数积分、一般可测函数的积分，这种定义的优点是刚接触 L积分的概念较自然，容易接受；而不足也是因为与 R 积分类比引入 L-积分，过于套用 R 积分的模式，掩盖了 L 积分特有的思想、方法及优点，在理论上未能达到应用的简洁。 更多的实变函数教材中采用以简单 函数的线性表示 L 积分为起点，通过“三步”模式转为一般可测函数的 L 积分定义，具有简捷性，方法特点有启发性，在现代数学中
6、已被普遍接受。最大优点在于，由此定义方法定义 L 积分，将 R 积分中的定积分、重积分、常义积分、广义积分熔为一个整体，从高度的抽象中达到了高度的统一。 L-积分“三步”转化的主要思想如下。 L-积分研究的是可测函数的积分，根据可测函数的特性转化过程是： 一般可测函数 )(xf ； )(xf 用非负可测函数表示： )()()( xfxfxf+= 非负可测函数 )(xf+由非负上升简单数列极限表示： )(lim xfnn+= 定义 L-积分，采用从特殊到一般的“三步”转化： 134非负简单函数 Xcxnii=1)(Ei定义 L 积分：=EniiimEcdxx1)( 非负可测函数 )(xf ：由
7、)()(lim xfxnn= 。 定义 L 积分： dxxxfEEnn=)(lim)( 一般可测函数 )(xf ：当+f ，f 于 E 上不同为 ， 定义 L 积分：=+EEEdxxfdxxffdx )()( 由此，在理论上建立了 L-积分的定义，但 L-积分的计算通过与 R 积分的关系化为 R 积分进行。 （二） L 积分有关“绝对值”的性质 学习 L 积分的性质，除了掌握与 R 积分相似的初等性质外，更要注意掌握 L 积分特性，例如三个有关“绝对值”的性质： L 积分的绝对连续性： )(xf 于 E 可积，任一可测集 EA ，有 0)(lim0=dxxfAmA。或任一 0 ，存在 0 ，当
8、 =nxfnnxfxf)(,)(),(当当则对任意取定的 n， )(xfn有界，且： ,)()()()(321 xfxfxfxfn)()(lim xfxfnn=由，得： nE 、 )(xfn单调增加，每个 En测度有限， )(xfn有界， 有1221)()()(0EEnEndxxffdxxfdxxf 从而， dxxfEnn)(lim存在（可能为+ ）， 定义 2 设非负可测函数 )(xf 定义于可测集 E， )(xf 于 E 上的 L积分定义为： dxxfdxxfnEnnE)(lim)(=其中，每一 En 测度有限， nE 单调升，EnE。 )()()( xfxfxfnn= ,每一个nf 于
9、En有界。 第三步，一般可测函数的积分 设可测函数 )(xf 定义于可测集 E， 令 )(xf 的正部 0,max)( fxf =+， )(xf 的负部 0,max)( fxf =， 则 )()()( xfxfxf+= ， )()(|)(| xfxfxf+= ， 142且 )(xf+与 )(xf于 E 上非负可测， 由第二步，积分 dxxfE)(+、 dxxfE)(有意义。 定义 3 设 )(xf 于可测集 E 上可测 , 1若 dxfE+与 dxfE不同时为+ ，称 )(xf 于 E 积分确定，记为： dxxfdxxfdxxfEEE)()()(+=2若 dxxfE)(有限，称 )(xf 于
10、E 上 L 可积。 注意 1. dxxfE)(两个含义，积分确定与 L 可积是不同概念。 无意义： dxfE+与 dxfE均为+ ； 有 dxxfE)(积分确定： dxfE+与 dxfE至多有一个为+ ； L可积： dxfE+与 dxfE均有限。 注意 2. 非负可测函数都是积分确定的。 至此，以积分和为起点，经过两次转换，对一般可测集上的可测函数定义了 L-积分，学习中应很好理会，掌握定义的思想与方法。 用线性函数的扩张方式定义 L-积分 第一步定义非负简单函数的积分 定义 1 设 )(xf 是可测集 E 上的非负简单函数： =niEiiXcxf1)( (其中：所有 0ic ,每一个 Ei
11、可测， )( jiEEji= ， EEnii=U1) 称非负广义实数iniimEc=1（ mEi是 Ei的测度）是 )(xf 在 E 上的 L143积分，记为：iniiEmEcdxxf=1)( 注 1. 定义中对 E 的有界性及 E 测度的有限性没有限制； 注 2. 积分值 dxxfE)(与函数 )(xf 的表示形式无关。 事实上，设 )(xf 另存有表示： EimjjXdxf=1)( 当 =*jiEE 时， )()(*jijiEExdCxf = 所以， = =nimjjiiniiEEECimmECdxxf1 1*1)( U ( ) =mjjijniEEmd1*1= =mjjjmjjimijm
12、EdEEmd1*1*1)( 。 第二步 非负可测函数的 L 积分 由可测函数的性质知：对于非负可测函数 )(xf ，一定存在非负简单函数的上升列 )(xfK，满足： )()()()(0121xffxfxfxfnn+, 且 )()(lim xfxfnn=从而，由定义 1，每一EKdxxf )( 有定义，且 dxxfKE)(144是一单调上升数列，故必有极限（含+ ）. 定义 2 设 )(xf 是可测集 E 上的非负可测函数， )(xfn是 E 上非负简单函数的上升列，且 )()(lim xfxfnn=, 则 称Enndxxf )(lim 为 )(xf 在 E 上的 L-积分，记为： =EnnEd
13、xxfdxxf )(lim)( 注 1 由定义过程知：任意非负可测函数的 L-积分总有意义（积分值有可能为 ）； 注 2 非负可测函数的积分，是一个非负广义实数，它与简单函数列 )(xfn的选择无关。 事实上，设 )(xfn与 )(xgn同时是以 )(xf 为极限的非负简单函数的上升列，有 )()(lim xgxflnn，)()(lim xfxgmnn),3,2,1,( =ml 。 从而，ElEnndxxgdxxf )()(lim EmEnndxxfdxxg )()(lim 分别对 l、m 取极限，得 =EnnEnnEdxxgdxxfdxxf )(lim)(lim)( . 第三步 一般可测函数
14、的积分 设 )(xf 是可测集 E 上的可测函数，则， )(xf+， )(xf是 E 上非负可测函数，由定义 2，145+EEdxxfdxxf )()(_， 有意义。 定义 3 设 )(xf 是定义于 E 上的可测函数，如果积分 +EEdxxfdxxf )()(_， 不同时为 ，则定义 )(xf 在 E 上的 L 积分为： =+EEEdxxfdxxfdxxf )()()(_若上述积分取有限值，称 )(xf 在 E 上是 L-可积的。 无意义：+EEdxfdxf_与 均为 ； 有 Edxxf )( 积分确 E：+EEdxfdxf_与 至多有一个为 ； L可积：+EEdxfdxf_与 均有限。 2
15、、L 积分定义的几点说明 L 积分的两种定义引入方式，具体的方法虽有较大差异，但都是采用从特殊到一般的递进方式，最后给出了任意可测集上可测函数的 L-积分定义。可以证明，这两种方式实质上是相等的，即两者之间互相等价。 L 积分符号Edxxf )( 包括了定积分、重积分、常义积义、广义积分等一切可能的情况，它用一种定义把所有可能的积分溶为一体，这是 L 积分的优点之一。 若 )(xf 于 E 上 R 积分同时存在，则相等。由此，给出了用 R 积分计算方法求解 L-积分的理论保证，也论证了 R 积分是 L 积分的特殊情况。 )(xf 于 E 上 L 可积，但不一定 R 可积。如： 狄雷克莱函数 )
16、(xD ，在0 ， 1是 L 可积，但 R 不可积的函数。 由此可见，L 积分是 R 积分的推广，有更广泛的应用。 146 L- 积分的示意图 =niEiiXcxf1)( +Edxf Edxf Efdx + Edxxf )( Endxx)( Efdx (a)f 为非负简单函数 (b) 非负可测函数 (c) 一般可测函数 (二) L 积分的初等性质 1、积分的线性性质 若 )(xf 、 )(xg L 可积，c 是实数，则 =EEdxxfcdxxcf )()( ()=+EEEdxxgdxxfdxxgxf )()()()( 证明：由 f 可积 可积， 由于 )()( xfcxfc = ，得 )(xc
17、f L 积。 += fccfcfcfc ;,0 () += cfcfxcf )( 147 += ffccfcf 得积分式成立。 += ,2,1,1)( kkxfEEK又 () 0)()(1=EEKdxxfdxxfEmk得 () ( )= ,2,10 kEmK因为 =kxfEExfEkkk1)(0)(11UU所以 00)( =xfmE 。 149 若 () 0=Em , )(xf 于 E 上可测，则 )(xf 于 E 上可积，且 0)( =dxxfE设函数 )(xf 于 , ba L 可积，若对任意的 , baC ，有0)(,=dxxfca， 则 0)( =xf a.e.于 , ba 。 证明：
18、（反证）设存在 , baE 、 0）（ Em ,且 )(xf 在 E 上的值不等于零。不妨假定在 E 上 0)( xf 。作闭集 F， EF ，且 0)( Fm ，并令 ，（ FbaG ),= 我们有 0)()()(=+baEGdxxfdxxfdxxf . 因为 0)( dxxfF, 所以 0)()(1=Gnbadxxfdxxfnn其中 ()nnba , ，为开集 G 的构成区间，从而存在 n0,使得 0)(00dxxfnnba， 由此可知 0)( dxxfnoaa或 0)(0dxxfnba这与假设矛盾。 定理的意义：给出了可积函数几乎处处为零的一种判别法。 5、 L 积分的有关特性 设 f
19、(x)在可测集 E上可积, 则 f(x)在 E的任何可测子集上也可积。 若 f(x)在a,b 上 R 可积，则它在a,b 必同时 L 可积，且有相同的积分值。即 =,)()(babadxxfdxxf f (x)于 E 可测的充分必要条件是|f (x)| 于 E 可积。 150意义：L 积分是绝对可积的积分。 设 f (x)在可测集 E 上可积, 则 f(x)于 E 上几乎处处有限，即 mE|f (x)| = =0 。 积分的绝对连续性 若 f (x)在可测集 E 上 L 可积, ，则对任意的0, 存在0,使当 E 中任意的子集 A 的测度 mA 0) 原积分化为： I = E=1nnxxe d
20、x , 令 fn(x) = xe-nx,(x0) 因为 fn(x)（ n=1,2）于（ 0，）非负连续，故可用逐项积分定理，（注若在 R 积分范围需验证 f n(x)一致收敛。 ）得： I = 0=1nnxxe dx = =1n0dxxenx=1n（02|1nxen） =1n21n=62。 156注：在例 1 的求解过程中，求和运算与积分运算互换次序的理由，用逐项积分定理十分简明，但由微积分的理论却不易讲清楚。 3、法都定理 定理 3（法都定理） 若 fn(x)是 E 上的非负可测函数列，则EkkkEkdxxfdxxf )(lim)(lim 。 证明：令行 gk(x) = inf fk(x),
21、 fk+1(x),则 gk(x)是非负可测函数的上升列，而且klim gk(x) =klim fk(x)，由列维定理， 得Eklim f k(x)dx =E klim gk(x)dx (已知等式 ) =klimEgk(x)dx (列维定理 ) = klimEgk(x)dx (gk(x)的极限存在，等于下极限 ) klim Ef k(x)dx (gk(x)的定义 ) 得 EkkkEkdxxfdxxf )(lim)(lim 。 157注 1 法都定理中对函数列所加的条件比较简单，主要的就是非负这一条件。 注 2 法都定理对函数列fn(x) 没要求有极限，函数列 fn(x)与积分列Enf (x)dx
22、的极限都不一定存在，故定理中用下极限。 注 3 当klim f k(x)与klimEf k(x)dx 都存在时，它们不 一定相等。此时，定理中下极限改为极限。 注 4 定理结论中的严格不等式有可能成立。见下例： =)1,0(1,0,0)1,0(,)(nxnxnxfn则 nlim fn(x) = 0 = f (x) ， 1,0limnfn(x)dx = 0 , 而 1,0fn(x)dx = =+nndxndx101110 ， nlim 1,0f n(x)dx = 1，即 1,0limnf n(x)dx nlim 1,0f n(x)dx 。 利用法都引理证明下列勒贝格控制收敛定理，该定理在函数论、
23、微分方程与概率论中是一个常用工具。 定理 4 （ L-控制收敛定理） 若可测函数列 f n(x)满足条件： 158（ 1） fn(x)的极限函数存在：nlim fn(x) = f (x),a.e. x E， （ 2）存在 E 上的非负可测函数 F（ x） ,使得 | fn(x) | F（ x） , (n=1,2) 则 fn(x) (n=1,2)及 f (x)于 E 可积，并且 Edxxf )( = nlim Endxxf )( 。 定理的意义与作用：该定理是 L 积分理论中最重要的结论之一，它对几乎处处收敛的可测函数列，只要找到非负可积的控制函数 F（ x） ，不仅能判定极限函数 f (x)的
24、收敛，而且能交换积分与极限的运算次序。 L-控制收敛定理简明有效的条件所供的交换积分与极限运算次序的充分条件，有着广泛的应用。通常，称 F(x)是函数列 f n(x)的控制函数。 定理的证明：第一步，证明 fn(x) (n=1,2)及 f (x)于 E可积。 因为 F(x)可积，且已知| fn(x) | F（ x） ,(n=1,2)， 有 |f (x)| = nlim | fn(x) | F（ x） , 所以， f (x)、 fn(x)于 E 上可积。 第二步，证明极限等式成立，即当证 0|)()(| =dxxfxfEk由于 | fn(x)- f (x)| | f n(x)|+ | f (x)
25、| 2F（ x） 将法都引理用于非负可测函数列： 1592F（ x）|fn(x)| |f(x)|,得 EnndxxfxfxF |)()(|)(2lim nlim EndxxfxfxF |)()(|)(2 ， 有EdxxF )(2 Enndxxfxf |)()(|lim EdxxF )(2 nlim Edxxfxfn |)()(| ， 消去EdxxF )(2 ，又nlim |)()(| xfxfk =0， a.e. x E 可得nlim Endxxfxf |)()(| = 0 ， 又 | Endxxf |)(| Edxxf |)(| | |Endxxfxf )()( | Endxxfxf |)()(| 0, 得Edxxf )( = nlimEndxxf )( 成立。 推论： （ 1）若 fn(x)是可测函数列，在可测集 E 上几乎处处收敛于 f (x); (2)存在常数 C，使| fn(x)| C,(n=1,2,) 则Edxxf )( = nlimEndxxf )( 。
