1、164第八章 代数数与超越数我们对于全体复数有不同的分类方法。例如，可以将它们分为整数和非整数，有理数和非有理数（无理数） ，实数和非实数，等等。本章要介绍一种对复数的分类方法：代数数与超越数，并且介绍这两类数的一些简单知识。以下，若无特殊声明， “数”都是指一般意义下的复数。第一节 代数数定义 1 若 满足有理系数代数方程f(x)=xn an 1xn 1 a1x a0 = 0， (1)即 是有理系数多项式 f(x)的零点，则称 是代数数；若 an-1 , . . . , a0 都是整数，则称 是代数整数。例如， , （a，b，n 是正整数）是代数数； 是2i1 35,2代数整数。容易看出，定
2、义 1 等价于下面的定义 1。定义 1 设 满足整系数代数方程f(x)= anxn an 1xn 1 a1x a0 = 0， (2)则称 是代数数；若 an=1， 则称 是代数整数。定义 2 一个有理系数多项式若不能等于两个非常数的有理系数多项式的乘积，则称为不可约多项式。在定义 1 中，若 f(x)是不可约多项式，并且(a 0,an)=1，则称 是 n 次代数数，记为 d()=n, 并称 h=h()=max(|a0|, , |an|)是它的高。定理 1 两个代数数的和、差、积、商（分母不为零）是代数数。165证明 设 和 是代数数，它们分别是有理系数多项式f(x)=xn an 1xn 1 a
3、1x a0 和 g(x)=xm bm 1xm 1 b 1x b0的零点。设 f(x)和 g(x)的全部零点分别是 1, n和 1, m ,则 + 是多项式nij jih1)()(的零点。显然，多项式 h(x) 的系数是 1, , n与 1, m的对称多项式。因此，由对称多项式的性质，h(x)是有理系数多项式，即+ 是代数数。同样地可以证明 -, ,以及 是代)0(数数（留作习题） 。证毕。定理 2 若 是代数数，则存在正整数 m, 使得 m 是代数整数。证明 （留作习题） 。定理 3 设 0 是代数数, 满足方程（ 2） ，则1。设 1 是任意固定的常数。如果| ， (9)那么，由式(7)，(
4、8) 及(9) ，得到n a1n 1 a n 1 an = 0以及|n| |a1|n 1| |a n 1| |an|，| | |a1| |a2| 1 |an 1| n + 2 |an| n + 1 1 2| 1 + (n 1)| | n + 2 n| n + 1 0 是任意常数，但是，不能改进为 q 2。事实上，在第三章第三节中我们知道：对于任何无理数 ，都有无穷多个有理数 ，使得p，q 0，( p, q) = 1。21|p现在，我们来构造具体的超越数。设r1, r2, r n, 与 s0, s1, s n, 是严格增加的正整数列，满足条件0 = s0 r1 N 时，有 rk 2，r k +
5、1 1722rk，因此rk + 1 rk rk 2，于是，当 n N 时，有rn + 2 rn + 1 2，rn + 3 rn + 1 4，rn + i rn + 1 2(i 1)，从而11nkrrnkrkkaapq)(2(iir。11 2 nn rr aa（12）当 n 充分大时，式(11)与式(12)矛盾，所以 不是有理数。证毕。例 下面的两个数是超越数：() ； !32211n！() 。 n32解 留作习题。做为本节的结束语，我们指出，利用 Liouville 定理及定理 2 可以具体构造一些超越数。但是，能用它们来判定的超越数只是超越数集合中的很小一部分。对于给定的数的超越性的判定，常
6、常是非常困难的。习 题 二1. 证明例中的结论。1732. 证明连分数 !3!21010n是超越数。3. 设 是一个超越数， 是一个非零的代数数，证明： ， ， 都是超越数。第三节 数 e 的超越性本节要证明数 e 是超越数。为此，首先证明一个定理。定理 1 设 f(x)是实系数多项式，次数为 m，记， (1)dufetIt)()(0其中 t 是任意实数，则。iimiit tffI0)(0)()(证明 对于任意的正整数 k，k m，由分部积分得到 tukttuktku deede0100tt1kutkkt 02)()(!1tet (2)。000 |)()(xkkiiki txkit dd由于
7、k m，所以式(2) 就是。 (3)tmi mixkitxkiku ee0000|)()(设174，mikxaf0)(则由式(3)得到 。00000| |)()()()( xmiitmixi kiiktikiktumiktkut fdefdaadedfI证毕。为了证明数 e 的超越性，我们要引进多项式， (4)pppxxxf )()1()!(1) 其中 p 是素数，d 是正整数。引理 f(x)具有以下性质：() 对于 i = 0, 1, , p 1，有f (i)(x) = 0，x = 1, 2, , d；() 对于 i = p, p 1, , (d 1)p 1，多项式 f (i)(x)的系数都
8、是整数且能被 p 整除；() f (p 1)(0) = (1)dp(d!)p。证明 留作习题。定理 数 e 是超越数。证明 设 e 是代数数，满足整系数代数方程adxd ad 1xd 1 a 0 = 0， (5)其中 a0 0。我们要由此导出一个矛盾。记F(x) = f(x) f (x) f (n)(x)， (6)其中 f(x)由式(4) 定义，n = (d 1)p 1。因为数 e 满足方程(5)，由定理得到175 dkdkkud FaeFfea000 )()()(7)。k0由引理可知，pF(k)，k = 1, 2, 3, , d， 并且在表示式F(0) = f(0) f (0) f (p 1
9、)(0) f (p)(0) f (d + 1)p 1)(0) (8)中，有f(0) = f (0) = = f (p 2)(0) = 0， (9)p(f (p)(0) f (d + 1)p 1)(0)。 (10)由引理 1 的结论()，有f (p 1)(0) = (1)p(d!)p，将这个等式与式(8)，式(9) 和式(10) 联合，得到F(0) (1)p(d!)pa0 (mod p)以及 (1)p(d!)pa0 (mod p)。 (11)dka0)另一方面，对于 x0, d，有， (12)ppMf 11)()!(!(|)| 其中 M1 = dd + 1。于是， (13)21010 )!(|)
10、!()| pakpufea pdpk 其中 M2 是与 p 无关的常数。由式(7)与式(13)，得到。210)!()| MpkFapdk因此，存在常数 M3，使得当 p M3 时，有maxd, a0时， p (d!)pa0，因此，由式(11)可知，整数| 0。 (15)kF)这样，如果取 p 充分大，使得 p maxd, a0, M3，则式(14) 与式(15)矛盾，这个矛盾说明，数 e 不可能满足使任何形如(5)的代数方程。e 是超越数。证毕。在定理的证明中，定理 1 的作用是很重要的，它把数 e 的代数性质与函数的解析性质联系了起来。下面的关于数 的无理性的定理的证明，有类似的思路。引理
11、2 设 f(x)是 2n 次多项式，则对任意的实数 t，有， (16)00 |)cos(sin)(sit uFudu其中F(x) = f(x) f (x) f (4)(x) ( 1)n f (2n)(x)。证明 使用分部积分法即可。证毕。定理 3 是无理数。证明 设 = ，a 与 b 是正整数， (a, b)=1。我们将由此导出矛盾。事实上，在式(16)中取 t = = ，则nnxxf)(!1)，00(sin)(!10 FbFudun 其中 F(x)见于引理 2。但是，当 0x 且 n 充分大时，有,1!siaf0 1。udbunni)(!10因此，如果 F F(0)是整数，就得到一个矛盾，从而证得定a理。177可以证明，F F(0)是非零整数（留作习题） 。证毕。)(ba习 题 三1. 证明引理 1。2. 证明定理 3 中的 F F(0)是整数。)(ba
