数形结合例题选集.doc

1、数形结合1数形结合一、在一些命题证明中的应用举例：1、证明勾股定理： 22cba0.5ab4）（）（解析：上图中，四个小三角形（阴影部分）的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，化简后得到勾股定理 。222、证明乘法公式（平方差与完全平方）：） （ baba2 2abba2）（解析：在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化，能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。3、证明基本不等式：数形结合2解析：如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为 ，2ba根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的长度为 ，显然在直角三角形中，斜边上的中

2、线的长度会大于等于高，利用这样简洁明了的几何图解，对基本不等式的理解也就更加简单了。4、证明正（余）弦定理：解析：（1）如上图所示， ；csinBbiCsina21hSABC的 面 积即 ；siCcinbsiasinciBb， 同 理 可 得根据圆的性质（等弧对等角） ；2RsinAaiDA， 即，综上，得正弦定理： 。2RsiciBsiAa（2）根据勾股定理 ；222 cosBabcosBCE）（）（， 即 整理可得余弦定理： ；同理得出 cosA、cosC 的余弦定理。2acbcos5、证明结论 ），（， 0xinxta数形结合3解析：如上图所示，根据 y=tanx、y=x、y=sinx

3、在 上的图像可看出），（ 20xtanxxsinx， 。当然，实际考试作图不可能如此精确，那么转化到右），（ 20x图的单位圆中，当 时，角的终边始终在第一象限内，根据三角函数线），（可知，蓝线表示正弦线，红线表示正切线，再根据弧长公式 ，x1Rl即图中黑色弧线的长度表示 x，显而易见。红线长度弧线长度蓝线长度，即tanxxsinx， 。），（ 20x6、证明两角差的余弦公式：解析：如上图所示，根据三角比的定义及单位圆的定义可知单位圆上的点的坐标表示。左图中， ，将 B 点旋转至（1，0）处222 sincosAB）（）（ （右图所示） 。此时， ，因为线段 AB 的长1 ）（）（度没有发生变

4、化，即 ，22sics）（）（ 22sincos）（）（ 化简： 。当然也可以用向量的方法证明，利用向inocos）（量数量积定义，证明更加简洁。如左图， 1sicosicOBAs ），（），（）（ 数形结合4。sincos二、在考试中的具体应用：1、与函数的综合运用，主要体现在求零点、交点、解的个数及参数范围等方面：例 1 （14 奉贤）已知定义在 R 上的函数 y=f（x）对任意 x 都满足 f（x+2）=-f（x） ，当 只有四个零点， 若 函 数）（时 ， 3xf1x- logfga）（）（则 a 的取值范围是 答案： ），（），（ 53解析：根据已知条件，f（x）的周期为 4，先画

5、f（x）一个周期图像，当1 x1 时，也有两个界值，如下图所示：数形结合5此时 3 个交点，代入（-3，1） ，解得 a=3。评注：数形结合体型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质及函数图像的变换。例 2 （ 14 闵行） ，若 a、b、c、d 互不相同，且4x3708x2logf，）（f（a）=f（b）=f（c ）=f（d） ，则 abcd 的取值范围是答案：（32，35）解析：根据题意，如下图所示，ab=1，abcd=cd= ，40 时， y=f（x）单调递减且无最值；方程 f（x）=kx+b （k 0）一定有解；如果方程 f（x）

6、=k 有解，则解的个数一定是偶数；y=f（x）是偶函数且有最小值。数形结合7则其中真命题是答案：、解析：含绝对值、分类讨论。先画 x1 和 00 且 a 1，已知函数 f（x） = 至少 ）（ 0x2sinax有 5 个零点，则 a 的取值范围为答案：（0，1） （1，2）解析：就是求函数 上的交点个数，分），（在与 函 数 0a2yxsinyx两种情况：（1）当 01 时，如下图所示，在 要至少 5 个交点，），（ 0x在 x=1 处要大于 0xay函 数数形结合9即 2-a0，a0，不等式 f（x） 恒成立，则实数 k 的取值范围是 ）， 89则其中所有命题的序号是答案：、解析：根据下图所

7、示可知：选项是 ，选项反比例函数图像至少要满足点k2（ ）上，此时，21,545k数形结合11评注：数形结合的思想，国家题意画图帮助理解，然后利用一些特殊点定位，图像尽量做到精确，才能避免差错3、与解析几何的综合运用：例 1 （14 闸北）设曲线 C： ，则曲线 C 所围封闭图形）（ yx32yx2的面积为答案： 382解析：因为图像关于 x 轴、y 轴对称，所以可以先画第一象限的图像，第一象限 x0，y0，绝对值直接去掉，可得一段圆弧，然后关于 x 轴、y 轴对称翻折，如下图所示，根据题目数据，可得 ，AB=2，可以先算第一象限的150ABC面积，由一个扇形与一个四边形构成，然后再乘以 4，

8、全面积为 。382评注：方程图像问题，含绝对值，所以根据象限分类讨论，根据相关性质画出方程图像，割补法求面积。变式 由曲线 所围成的封闭图形的面积为yx2答案：2+ 数形结合12例 2 （14 金山）已知直线 ：4x-3y+6=0 ，抛物线 C： 图像上的一个动l 4xy2点 P 到直线 与 y 轴的距离之和的最小值是l答案：1解析：结合题意，画出直线与抛物线的草图，找到点 P 到直线 与 y 轴的距离l之和，如下图所示，即 PH+PA=PH+PB-1=PH+PF-1 用点到直线距H,1离公式求出来等于 2，所以答案为 1。评注：注意圆锥曲线的相关定义，进行巧妙的转化，如本题中用到了“抛物线上

9、的点到焦点的距离等于这个点到准线的距离”这个性质，然后结合图像进行转化。例 3 （14 金山）已知有相同焦点 的椭圆21F、22 ynx1myx） 和 双 曲 线（=0 （ ）21PFSP0n是 它 们 的 一 个 交 点 ， 则） ， 点（A. ；B. ；C.2 ；D.121数形结合13答案：解析：法一：如下图所示，由题意得： 2212 PFmPFnmc ， 212111 PFPFnPF ）（， 所 以， 两 式 平 方 相 减 得 ： S4c222 ， 得， 即法二：对于椭圆而言，焦点三角形的面积为 ，对于双曲线而言焦点2tanbS三角形面积 ，而这是同一个三角形，所以 ，2cotbS 2

10、cot， 即所以 。21PF评注：熟悉圆锥曲线的定义非常重要，根据条件找到变量之间恒定的关系，做数学题时，很多时候要辩证思考，透过变化的表象，发现不变的内在联系，动静结合，有机分析，以静制动，以不变应万变。例（14 金山）设双曲线 上动点到定点）， （）（ Nn1ynx22的距离三最小值是 （ ），（ 01Qdlim， 则A. ；B. ；C. ；D.120答案：解析：双曲线方程两边同时除以 ，得到n，即方程01n1yx22 ， 当）（，即求点 的距离，选置， 这 就 是 方 程 的 极 限 位0 xy01Q） 到 直 线，（评注：这是一类要考虑极限位置的极限体型，在高考中出现过类似的题目，一般

11、找到了极限的位置，题目就很容易解的，很多同学不会因为没有想到极限的数形结合14位置，而像想把 。表 示 出 来 就 复 杂 了用 nd例（14 闵行）若曲线 上存在两个不同点处的切线重合，则称这0yxf），（条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）A. ；B. ；C. ；D.01yx214201xyx23答案：解析：A、B、C 、D 选项图像依次如下图所示，根据题意，选评注：利用数形结合的方法，考查了含绝对值曲线方程的画法，一般根据图像的对称性，或者分区间、分象限进行分类讨论函数方程在各个象限的图像，再结合题意解题。、与向量的运用：例（14 徐汇）如下图所示，已知点两边分别交

12、于ACBGABCG、作 直 线 与的 重 心 ， 过是 yxyNxMN， 则，两 点 去 ， 且、答案： 31解析：法一： ，1ANMGNGM， 有三 点 共 线 ， 设、数形结合15，ABxM，因为CyNACyBxNG 31AG是 重 心 ， 所 以31131yx31 ， 化 简， 即法二：取特殊值， 。2取评注：作为填空题，本题的第一做法是法二，同时也要知道具体过程，注意向量一些常用知识点及一些转化技巧。例（14 闵行）设 jji ayx轴 上 的 单 位 向 量 ， 且轴 、系依 次 表 示 平 面 直 角 坐 标、 的 取 值 范 围 是则 i2a,52a答案： 36，解析：根据题意，

13、 的几何意义为一个点到 的距离加上ja52j ），（ 01这个点到 的距离等于 ，如下图所示，即到点的距离加上到点的距），（ 20离等于 ，而 ，所以这个点的轨迹为线段 ，而我们要求的取值范55ABAB围的几何意义即转化成线段 上的点到点（ ）的距离的取值范围，最短02-，距离是下图中 的长度，用点到直线的距离公式或等面积法可求得CD,56因 为。33A2， 距 离 的 最 大 值 为，评注：用代数的方法计算，因为有根号，过程很复杂，结合向量的模的几何意数形结合16义，转化成图形问题就简明了，易于理解，教学过程中注意引导数形结合的使用。例 3 （14 徐汇）如下图所示，在边长为的正六边形 中，

14、动圆 的ABCDEFQ半径为，圆心在线段 量上 及 内 部 的 动 点 ， 设 向是 圆（ 含 端 点 ） 三 上 运 动 ， QPCD的 最 大 值 为） ， 则、（ nmRnAFBmP答案： 5解析：如上图所示， 。）（ AFB25P评注：本题结合动态图像考查了向量的分解，要求能够理解题意，本题也可建系分析5、与其他知识点的综合运用：例 1 （14 浦东）用有序三元组。如），为 集 合 ， 称 （、中 的 元 素 的 个 数 ， 设集 合 CBACBAS果集合 1CBA， 且满 足、的 的 子 集 构 成，合） 为 一 最 小 相 交 ， 由 集、， 则 称 有 序 三 元 组 （ 432

15、所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为答案： 96解析：设 ，如下图所示，因为为、 CBA的 三 个 子 集， 4321S， 所 以不 含 任 何 元 素 ， 因 为 中 个 各 有， 所 以 321MCAB一个元素，将 的元素排入，有 种方法，由题意得，还剩下的中， 432134P数形结合17一个元素，可排在 种方法，由分步原理4P1RQP3， 也 可 不 排 入 ， 共 有、得 。964P3评注：本题要注意分步原理与分类原理的综合运用，抽象出解题模型，从而使问题得到解决，当然也可以用列举法， ，显然个 非 空 子 集有， 15432中为含有CBA、列举即可个 元 素 的 子 集 ，

16、个 或 者为 含 有意 ，个 元 素 的 子 集 不 符 合 题个 或 者 A41求解。对于新定义题型，要善于将陌生问题化为熟悉模型，注重基本原理的运用。例 2 （14 十三校联考）集合、且、），（ xzyxNzyx|S ，则下列选项正确SwSxz ），且 （）， 若 （恰 有 一 个 成 立的是（ ）A. ；B. ；C.wyxSy）， （），（ yxzy）， （），（，（ z；D. w）， （） SwSz）， （），（答案：解析：根据题意，可将题目中的定义画成直方图，如下图所示，各个元素只要在顺时针方向，即满足题目要求，就可得到答案。数形结合18评注：这是一个非典型的数形结合题型，题目的定义很抽象，但可以用图形将其具象化，从而能够更好的理解，帮助解题。例 3 为的 交 集， 则 所 有， 其 中， k2k A20143k1tktx|A答案： 25，解析：因为 ，结合耐克函数的图像，如下图1k20143k2， 所 以，所示，当 ，因为At1k2，有 。递 增 ， 所 以 所时 ， 25Ak，的 交 集 为评注：本题考查了耐克函数的图像与性质，结合图像及函数的定义域，求值域问题，难度不大，但学生可能会因为含参数而产生畏惧心理，可让学生先求 、2A结 归 纳 。， 发 现 一 般 规 律 ， 再 总、 43数形结合19