1、奥孚培优小学奥数思维训练（数论板块）目 录1、 奇偶性分析2、 整除问题3、 质数与合数4、 约数与倍数5、 余数问题- 1 -奇偶性分析知识点说明： 奇数与偶数的运算规律： 偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数 偶数奇数=奇数 偶数个奇数的和或差是偶数 奇数个奇数的和或差是奇数 偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数，偶数偶数=偶数 在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性 对于任意 2个整数 、 有 与 奇偶性相同abab典型题讲解：例 1. 有一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34 后面每一个数都等于它前面两个 数的和，那么这个数列前 2011 项有多少个奇数？例 2.
2、 是否存在自然数 和 ，使得 ？ab5ab- 2 -例 3. 桌子上有 6 只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的 4 只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？（拓展）桌子上有 6 只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的 5 只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？（拓展）桌子上有 5 个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的 3 个，问能否经过若干次翻动，使得 5 个杯子的开口全都向下？（拓展）桌子上有 5 个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的 4 个，问能否经过若干次翻动，使得 5 个杯子的开口全都向下？例 4. （拓展）在一次聚会中，朋友们陆续
3、来到，见面时，有些人互相握手问好，主人很高兴，笑着说：“不管你们怎么握手，你们之中握过奇数次手的人肯定有偶数个” 。请你想一想，主人说的对吗？为什么？- 3 -整除问题知识点说明： 带余除法基本关系式： ，余数小于被除数被 除 数 除 数 商 余 数 位值原理：通俗地讲就是，一个多位数可以用它每一位上的数字来表示。例： 10010abcdebcde 特殊数的整除判定： 一个数的末位能被 2（或 5）整除，这个数就能被 2（或 5）整除 一个数的末两位能被 4（或 25）整除，这个数就能被 4（或 25）整除 一个数的末三位能被 8（或 125）整除，这个数就能被 8（或 125）整除 一个数的
4、各位数字之和能被 3（或 9）整除，这个数就能被 3（或 9）整除 一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11整除，这个数就能被 11整除 一个数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13整除，这个数就能被 7、11或 13整除 一个数从右向左，每两位一截得到若干个两位数（若该数由奇数个数字组成，会有一个一位数） ，若这些数之和能被 99整除，这个数就能被 99整除 简单的整除性质： 性质 1：如果 ， ，那么cabcab 性质 2：如果 ， ，那么 性质 3：如果 ，那么 ，bcaca- 4 -典型题讲解：例 1. 在一个除法算式中，如果商是 16，余数
5、是 8，那么被除数与除数之和最小是多少？例 2. 如果 ，那么 等于多少？70abab例 3. 已知九位数 既是 9 的倍数，又是 11 的倍数，那么这个九位数是多少？2071AB例 4. 已知四十一位数 能被 7 整除，那么中间方格内的数字是多少？205209 个 个- 5 -例 5. 已知： ，则四位数 是多少？23!5806738490DCAB ABCD质数与合数知识点说明： 质数与合数的概念： 特殊的质数与合数 0和 1既不是质数也不是合数，因此，我们可以说，自然数可以分成三部分，即：0 和 1，质数，合数 最小的质数是 2，最小的合数是 4 常用的 100以内的质数：2，3，5，7，
6、11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97 质数的判定：“连续小质数试除法” 质因数分解： 质因数分解：把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。分解质因数的基本方法是短除法 完全平方数：一个合数分解质因数后，每个质因数的次数都是 2的倍数，那么这个合数就叫做完全平方数 完全立方数：一个合数分解质因数后，每个质因数的次数都是 3的倍数，那么这个合数就叫做立方数典型题讲解：- 6 -例 1. 已知 、 都是质数，并且 ，则 等于多少？PQ19320PQPQ例 2. 一个长方体的长、宽、高是连续的 3 个自然
7、数，它的体积是 39270 立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？例 3. 已知 8 个数为：14、33、35、30、75、39、143、169，试将它们平均分成两组，使得两组数的乘积相等。例 4. 算式 的结果的末尾有多少个连续的 0？1235960 （拓展）算式 的结果的末尾有多少个连续的 0？12930 - 7 -例 5. 一个正整数，加上 100 后的结果是一个完全平方数，加上 168 后的结果也是一个完全平方数，那么这个正整数是多少？约数与倍数知识点说明： 约数个数与约数和： 约数个数：分解质因数后，将每个质因数的次数加 1后连乘 约数和：分解质因数后，将每个质因数依次从零
8、次幂加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘 最大公约数： ， 那 么 ， ，,ABMAaBMb,1a 短除法 质因数分解法 最小公倍数： ， ， ， ， 那 么,ABaBb,1a,ABMab 短除法 质因数分解法 辗转相除法：典型题讲解：例 1. 有 20 个不同约数的自然数最小是多少？- 8 -例 2. 房间中有 100 盏灯，依次编号 1 到 100，现把 100 个学生也依次编号为 1 到 100，然后这 100 个学生依次进房间拉灯，要求每个学生只拉灯号是自己学号的倍数的灯（如 7 号同学依次拉 7 号、14 号、21 号 98 号灯)，100 个同学全部拉过后，亮着的
9、是第几号灯？ 例 3. 两个整数 、 的最大公约数是 ，最小公倍数是 ，并且已知 不等于 1，也不ABCDC等于 或 ， ，那么 等于多少？187CDA例 4. 有一根长 2012 厘米的绳子，从左端开始，每隔 3 厘米做一个记号，每隔 4 厘米也做一个记号，然后将标有记号的地方剪断，则绳子共被剪成多少段？例 5. 从一张长 2002 毫米、宽 847 毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上述过程不断重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？- 9 -余数问题知识点说明： 特殊数的余数： 求一个数除以
10、2、4、8、5、25、125、3、9、7、11、13 的余数可以利用这些数的整除判定 一个完全平方数除以 3的余数只能是 0或 1 一个完全平方数除以 4的余数只能是 0或 1 一个完全平方数除以 5的余数只能是 0或 1或 4 余数定理： 余数的加法定理：和的余数等于余数的和的余数 余数的乘法定理：乘积的余数等于余数的乘积的余数 同余定理： 若两个整数 、 被自然数 除有相同的余数，那么称 、 关于模 同余，用式子表示为：abmabm，读作“ 同余于 ，模 ”odb 若 ，则 或a典型题讲解：例 1. 在数列 1、11、111、 中，是否存在完全平方数？ 1n个- 10 -例 2. 和 是两
11、个自然数， ，已知 、 除以 17 的余数分别是 9 和 10，求 、abababab、 、 分别除以 17 的余数。2例 3. 小明心里想了一个正整数，并且求出了它分别被 14 和 21 除后所得的余数，已知这两个余数的和是 33，则该整数被 42 除的余数是多少？例 4. 有一个两位整数，除 39、51、147 所得的余数都相同，求这个数。（拓展）一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 220 后所得的余数，则这个自然数是多少？例 5. 一个自然数，除以 5 余 2，除以 8 余 2，除以 9 余 2，这个自然数最小是多少？（拓展）一个自然数，除以 5 余 2，除以 8 余 5，除以 9 余 6，这个自然数最小是多少？（拓展）一个自然数，除以 5 余 2，除以 8 余 5，除以 9 余 5，这个自然数最小是多少？- 11 -
