1、1数的整除知识点数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。数的整除1.整除因数和倍数例如：153=5，637=9一般地，如 a、b、c 为整数，b0，且 ab=c，即整数 a 除以整除 b（b 不等于 0） ，除得的商 c 正好是整数而没有余数（或者说余数是 0） ，我们就说，a 能被 b 整除（或者说 b 能整除 a） 。记作 ba.如果整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的因数。例如：在上面算式中，15 是 3 的倍数，3 是 15 的因数；63 是7 的倍数，7 是 63 的因数。2.数的整除性质性质
2、 1：如果 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和与差也能被 c整除。即：如果 ca，cb，那么 c（ab） 。例如：如果 210，26，那么 2（106） ，并且 2（106） 。性质 2：如果 b 与 c 的积能整除 a，那么 b 与 c 都能整除 a.即：如果 bca，那么 ba，ca。2性质 3：如果 b、c 都能整除 a，且 b 和 c 互质，那么 b 与 c 的积能整除 a。即：如果 ba，ca，且（b，c）=1，那么 bca。例如：如果 228，728，且（2，7）=1,那么（27）28。性质 4：如果 c 能整除 b，b 能整除 a，那么 c 能整除 a。即：如果 cb，ba，
3、那么 ca。例如：如果 39，927，那么 327。3.数的整除特征能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被 2 整除；另一方面，能被 2 整除的数，其个位数字只能是偶数（包括 0）.下面“特征”含义相似。能被 5 整除的数的特征：个位是 0 或 5。能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或 9）整除。能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25）整除。例如：1864=180064，因为 100 是 4 与 25 的倍数，所以 1800是 4 与 25 的倍数
4、.又因为 464，所以 1864 能被 4 整除.但因为 2564，所以 1864 不能被 25 整除.能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或3125）整除。例如：2937529000375，因为 1000 是 8 与 125 的倍数，所以 29000 是 8 与 125 的倍数.又因为 125375，所以 29375 能被 125 整除.但因为 8375，所以 829375。能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是 11 的倍数。例如：判断 123456789 这九位数能否被 11 整除？解：这个数奇数位上的数字之和是
5、97531=25，偶数位上的数字之和是 864220.因为 25205，又因为115，所以 11123456789。再例如：判断 13574 是否是 11 的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（451）-（73）0.因为 0 是任何整数的倍数，所以110.因此 13574 是 11 的倍数。能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7（11 或13）整除。例如：判断 1059282 是否是 7 的倍数？解：把 1059282 分为 1059 和 282 两个数.因为 1059-282777，又 7777
6、，所以 71059282.因此 1059282 是 7 的倍数。再例如：判断 3546725 能否被 13 整除？4解：把 3546725 分为 3546 和 725 两个数.因为 3546-725=2821.再把 2821 分为 2 和 821 两个数，因为 8212819，又13819，所以 132821，进而 133546725.质数和合数1.质数与合数一个数除了 1 和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数（也叫做素数） 。一个数除了 1 和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。要特别记住：1 不是质数，也不是合数。2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这
7、个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：把 30 分解质因数。解：30235。其中 2、3、5 叫做 30 的质因数。又如 12223223，2、3 都叫做 12 的质因数。例 1 三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数.解：210=2357可知这三个数是 5、6 和 7。例 2 两个质数的和是 40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？5解：把 40 表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=1129=3+37。17233911129319337111。所求的最大值是 391。答：这两个质数的最大乘积是 391。例 3 自然数 123456789
8、是质数，还是合数？为什么？解：123456789 是合数。因为它除了有约数 1 和它本身外，至少还有约数 3，所以它是一个合数。例 4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？解：如果这连续的九个自然数在 1 与 20 之间，那么显然其中最多有 4 个质数（如：19 中有 4 个质数 2、3、5、7） 。如果这连续的九个自然中最小的不小于 3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有 5 个.这 5 个奇数中必只有一个个位数是 5，因而 5 是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另 4 个奇数都是质数。综上所述，连续九个自然数中至多有 4 个质数。例 5 把 5、6、7、1
9、4、15 这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。解：5=5，7=7，6=23，1427，15=35，这些数中质因数 2、3、5、7 各共有 2 个，6所以如把 14（=27）放在第一组，那么 7 和 6（=23）只能放在第二组，继而 15（35）只能放在第一组，则 5 必须放在第二组。这样 1415=210=567。这五个数可以分为 14 和 15，5、6 和 7 两组。例 6 有三个自然数，最大的比最小的大 6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是 42560.求这三个自然数。分析 先大概估计一下，303030=27000，远小于42560.40404064000，远大于 42560.因此，
10、要求的三个自然数在 3040 之间。解：42560=26571925（57）（192）323538（合题意）要求的三个自然数分别是 32、35 和 38。例 7 有 3 个自然数 a、b、c.已知 ab=6，bc=15，ac10.求 abc 是多少？解：623，15=35，1025。（ab）（bc）（ac）=（23）（35）（25）a 2b2c2=223252（abc） 2（235） 2abc=235307在例 7 中有 a22 2，b 2=32，c 2=52，其中 22=4，3 29，5 225，像 4、9、25 这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方
11、数。如.12=1，2 24，3 29，4 2=16，11 2=121，12 2=144，其中1，4，9，16，121，144，都叫做完全平方数.下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。例如：把下列各完全平方数分解质因数：9，36，144，1600，275625。解：9=3 2 36=2232 144=32241600=2 652 275625=325472可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。如上例中，366 2，144=12 2，1600=4
12、0 2，275625=525 2。例 8 一个整数 a 与 1080 的乘积是一个完全平方数.求 a 的最小值与这个平方数。分析 a 与 1080 的乘积是一个完全平方数，乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。8解：1080a=23335a，又1080=23335 的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，a 必含质因数 2、3、5，因此 a 最小为 235。1080a108023510803032400。答：a 的最小值为 30，这个完全平方数是 32400。例 9 问 360 共有多少个约数？分析 360=2 3325。为了求 360 有多少个约数，我们先来看 325 有多少个约数，然
13、后再把所有这些约数分别乘以 1、2、2 2、2 3，即得到 23325（=360）的所有约数.为了求 325 有多少个约数，可以先求出 5 有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、3 2，即得到 325 的所有约数。解：记 5 的约数个数为 Y1，3 25 的约数个数为 Y2，360（=2 3325）的约数个数为 Y3.由上面的分析可知：Y3=4Y2，Y23Y1，显然 Y1=2（5 只有 1 和 5 两个约数） 。因此 Y34Y2=43Y1=432=24。所以 360 共有 24 个约数。说明：Y3=4Y2 中的“4”即为“1、2、2 2、2 3”中数9的个数，也就是其中 2 的最大指数
14、加 1，也就是 3602 3325中质因数 2 的个数加 1；Y2=3Y1 中的“3”即为“1、3、3 2”中数的个数，也就是 23325 中质因数 3 的个数加 1；而 Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即 23325 中质因数 5的个数加 1.因此Y3（31）（2+1）（1+1）=24。对于任何一个合数，用类似于对 23325（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加 1 的连乘的积。例 10 求 240 的约数的个数。解：2402 435，240 的约数的个数是（4
15、1）（1+1）（11）=20，240 有 20 个约数。请你列举一下 240 的所有约数，再数一数，看一看是否是 20 个？公因数和最大公因数1.公因数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。10例如：12 的因数有：1，2，3，4，6，12；18 的因数有：1，2，3，6，9，18。12 和 18 的公数因有：1，2，3，6.其中 6 是 12 和 18 的最大公约数，记作（12，18）=6。2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：12 的倍数有：12，24，36，48
16、，60，72，84，18 的倍数有：18，36，54，72，90，12 和 18 的公倍数有：36，72，.其中 36 是 12 和 18的最小公倍数，记作12，18=36。3.互质数如果两个数只有公因数 1，那么这两个数互为互质数。奇数和偶数1.奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。偶数通常可以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用 2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。2.奇数与偶数的运算性质性质 1：偶数偶数=偶数，11奇数奇数=偶数。性质 2：偶数奇数=奇数。性质 3：偶数个奇数相加得偶数。性质 4：奇数个奇数相加得奇数。性质 5：偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数。
