1、年第 期故争故学 三视图还原几何体的一种高效通法 新疆生产建设兵团第二中 学 张国治 程似锦 席光煜 赵佳睿在近年的高考试卷中 ，不仅呈现出 “画出正视图空间几何体的三视图”这一题型， 而且对其逆 一过程“三视图还原几何体”的考查更是屡见不；鲜 由此可见这一考点的重要性？ 如何快速 ，图严视图 侧视图准确地将三视图还原成几何体？ 文 给出 了 几何体三视图的标准作图方法， 但对于己 俯為图知三视图如何还原为几何体并未做出详细说 明 文 概括了一些常见几何体的三视图， 通 ），过“化整为零”到“积零为整”总结出三视图題丨正棚 高侧视图的方法也有瑕疵， 并且其产生过程不 自然， 操作难度较大， 有
2、定的局限性 为此 经笔者研究给出三视图还原几何体的一种高效的通法， 丨户二与供读者参考， 望同行斧正为了较好地把握几何体的形状和大小，通 常， 总是选择三种正投影： 一种是光线从几何根据三视图的概念和投影规律，结合教学体前面向后面正投影， 得到的投影图叫做几何实践经验给出如下还原多面体的有效步骤：体的正视图；一种是光线从儿何体左面向右面步骤： 画长方体或正方体 根据三视图所正投影，得到的投影图叫做几何体的侧 （左） 视给尺寸及“三等”关系画出对应的长方体或正方图 ； 第三种是光线从几何体上面向下面正投影， 体得到的投影图叫做几何体的俯视图 几何体的步骤：逆投影作垂线段？ 利用“六向对正视图 、
3、 侧视图 、 俯视图统称为几何体的三视应， ， 关系及三视图中虚实线的交点， 确定逆投图 一般地， 侧视图在正视图的右边俯视图在影点，即根据正视图中各线条的交点在长方正视图的下边 （如图 所示）体或正方体的后“面”找到对应的点，然后从后通过对“三视图”概念的深刻理解和研究， 向前拉伸作长方体或正方体后“面”的垂线段；不难发现“三视图”中的两大投影规律：根据侧视图 中各线条的交点在长方体或正方（）“三等”关系：主视图与俯视图的长对体的右“面， ， 找到对应的点， 然后从右“面” 向左正，主视图与侧视图的高平齐，俯视图与侧视拉伸作长方体或正方体右？ ？面”的垂线段； 根据图的宽相等俯视图中各线条的
4、交点； 方体或正方体的“六向对应”关系： 主视图的上 、 下、下“面”找到对应的点， 然后从下“面”向上拉伸左、右对应几何体的上、 下、 左、 右，俯视图作长方体或正方体下“面” 的垂线段的上、 下、 左、 右对应几何体的后、 前、 左、 步骤 ： 利用垂线段交点和三视图中的虚右，侧视图的上、 下、 左 、 右对应儿何体的实线段选取“最优点” ？ 上述三个不同方向垂线丨 ： 、下、 后、 前 （如图 所示） 段的交点称为 “可疑点” ，而“可疑点”处线段数故学敉学年第 期目最多的点称为 “最优点”（注：如果从长方体例 （年高考辽宁卷理科第题）设或正方体某一顶点出发的三条棱上的个“可某几何体的三
5、视图如图 （） （尺寸长度单位疑点”都是“最优点”， 那么该顶点可能被剔除 ）为） 则该几何体的体积为步骤： 连线 将各“最优点”逐一连线再隐 解析： 步骤 ： 根据三视图及尺寸画出对应去所有的辅助线条即可得到还原后的几何体的长方体（如图（） ） 步骤？根据正视图中各步骤 ： 验证 根据所得几何体的三视图线条的交点在长方体的后“面”找到对应的点，与题目所给对比检验然后从后向前垂直拉伸 （如图 （） ）； 根据俯视上述步骤为 ： 画； 垂； 选； 连； 图中各线条的交点在长方体的下“面”找到对应验的点，然后从下向上垂直拉伸 （如图 （） ）；根据说明： （） 还原三个视图无先后顺序； 侧视图中各
6、线条的交点在长方体的右“面”找到（） 虚线一定出现在长方体或正方体的后面、对应的点， 然后从右向左垂直拉伸 （如图（ ） ） 右面、 下面等几何体不可视的位置； 实线一定步骤 ： 由图可知，上述依次拉伸的垂线段交出现在长方体或正方体的前面、 左面、 上面等点处垂线段数目最多的点为 、 、 如几何体可视的位置 若三视图内框中出现了虚图（） ），即为“最优点 步骤： 将“最优点”线和实线段， 则需要连接节点按步骤判断、 、 、连线并隐去所有的辅助线条即例 将如图 （） 所示的三视图还原为几可得到还原的几何体为三棱锥如何体图（） ） 步骤 ：验证得图（） 所示的几何体解析： 步骤： 根据三视图画出对
7、应的正方符合题意体 （如图 （ ） ） 步骤 ： 根据俯视图中各线条的交点在正方体的下“面”找到对应的点 ， 然后从下向上垂直拉伸 （如图 （ ） ）； 根据正视图中各线条的交点在正方体的后“面”找到对应的点 然后从后向前垂直拉伸 （如图 （） ）；根据侧视图中各线条的交点在正方体的右“面”找到对应（ ），（） （）的点， 然后从右向左垂直拉伸 （如图（） 步骤： 由图可知，上述依次拉伸的垂线段交点处 ：垂线段数目最多的点为、 、 、（如 （ ）（）图 （） ）， 即为 “最优点 步骤： 将“最优点”图、 、 （ 、 、 连线并隐去所有的辅助线条即可得到还原的几何体为四棱锥 如图（） 所不，
8、该几何体的直观图 （如图 （ ） ）？ 步骤 ： 验证得图 （ ） 所示的几何， 其中点为 的中点， 点为 ） 的体符合题竟中点 ， 五丄面， ， 召五乃五 ，所以吟仙吾，丨 （）例 （年高考宁夏卷理科第 题）一个棱锥的三视图如图 （） 所示，则该棱维（）（）的全面积 （单位： ） 为（ ） （）；（）；， （） ；（） 解析： 步骤 ： 根据三视图及尺寸画出对应的长方体 （如图（） ） 步骤 ： 根据俯视图中各（）（）（）线条的交点在长方体的下“面”找到对应的点，图 然后从下向上垂直拉伸 （如图 （） ）；根据正视年第 期故学轧学图中各线条的交点在长方体的后“面”找到对应例（年高考全国卷 理
9、科第题）的点，然后从后向前垂直拉伸 （如图 （） ） ； 根据如图 （ ），网格纸上小正方形的边长为， 粗实侧视图中各线条的交点在长方体的右“面”找到线画出的是某多面体的三视图， 则该多面体的对应的点，然后从右向左垂直拉伸 （如图（ ） ） 各条棱中 ， 最长的棱的长度为 （ ）步骤： 由图可知，上述依次拉伸的垂线段交（）力； （）；（）力； （点处垂线段数目最多的点为、 石、 、 （如，”、 正视图中各线条的交点在正方体的后“面” 找到儿去 捕助线条？ 对应的点， 然后从后向前垂直拉伸 （如图 （ ） ） ；可得到还原的几何体为二板锥（如關俯视图 中 各线条的交点在正方体的图 （） ） 步骤
10、： 验证得图 （） 所不的几何体 下“面， ，找到对应的点， 然后从下向上垂直拉符合题意 伸（如图 （） ） ； 根据侧视图中各线条的交点在由三视图结合图 （） 及图 （） 可知， 该几正方体的右“面”找到对应的点， 然后从右向左何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥， 垂直拉伸 （如图 （ ） ） 步骤 ： 由 图可知，上高为 如图 （） ， 底面中， 述依次拉伸的垂线段交点处垂线段数 目最多。， 作丄面，垂足为点的点为儿 、 （如图 （ ） ） ， 即为“最优，则点是 的外心， 即是 的中点” 步骤： 将“最优点”、 、 连线占 设占五、 分别是、 的中并隐去所有的辅助线条即可得到还原的几
11、何体则紐丄氐证丄所，即紐、 处分别是为三棱锥召 如图 （） ） ？ 步骤 ： 验证两个侧面三角形的高， 昼（） 所不的儿何体符合题意 同理可得处 所以， 全二厂结合图 （），易？ ， 不难算得， 所 以最长的棱长：，故选 （） ？ ， 故选（）三三三：丨（ ）（）（）（）（）（） 图（ ）例 将如图 （ ） 所示的三视图还原为几，二 分析：文間给出如下结论： 如果三视图中（）（）（）有两个视图是矩形 （不要管内部细节， 只要外 轮廓线为矩形就称该视图为矩形） ，那么该空间几何体为柱体，间几何体为圆柱， 否则为棱柱 此题三视图中（ ）有两个是矩形，第三个视图是三角形， 若按图 文的结论，还原后的
12、几何体必为棱柱 此结故爭狄学年第 期论可靠吗？ 果真如此吗 ？ 本文的方法将揭开其注： 本题的关键是“选”， 关注哪些节点是神秘的面纱， 以观其庐山真面目 真正的“最优点 此处需要深思熟虑， 谨慎选解析： 步骤 ： 根据三视图画出对应的正方择， 结合题意， 及时验证体 （如图 （） 步骤 ： 根据正视图中各线条的变式： 将如图（） 所示的三视图还原为几交点在正方体的后“面”找到对应的点，然后从何体后向前垂直拉伸 （如图 （ ） ）；根据俯视图中各 分析： 同例 ， 过程略 还原后的几何体如线条的交点在正方体的下“面”找到对应的点 ，图 （） 所示然后从下向上垂直拉伸 （如图（） ）； 根据侧视
13、图中各线条的交点在正方体的右“面”找到对应的点， 然后从右向左垂直拉伸 （如图 （） ） 步骤： 由图可知，上述三个不同方向依次拉伸的垂线段交点为“可疑点”、 、 、山、历、（如 图（） ） ， 将、 、 、说、（连（）接得到几何体为直三棱柱，其 图 例 難图 （） 所示的三视图还原为几意题设中正视图 、 侧视图内框中有虚线， 故，现 面此？解析： 步骤：根据三视图画出对应的长方令丨有 、而占体 （如图（） ） ？ 步骤 ： 根据正视图中各线条的分别 条 、 条 、 条线段， 点历处只六占介？丄的 “说，秘说丨科 丨 丨有条线段， 即正方体中从顶点说出发的三 后士曰 二棱上的点召、牵、均为“最
14、优点” ， 顶点 各可以被剔除？ 步骤： 将“最优点”、 、 、下“面”找到对放的 然！从下向也、连线并隐去所有的辅助线条即可肖 上垂直拉伸 ； 根据麵图中各线条的交点在长到还原的几何体为 四棱锥 （如 方体的右“面”找到对应的点， 然后从右向左垂图（） 步骤 ： 验证得图（） 所示的几何直拉伸 （如图（） ） 步骤： 由图可知，、点体符合题意可见，文的结论是错误的 、 （、 、 、 、 、 、 、为 “可疑 点” （如图 （ ） ），由于题设中正视图 、 侧视图、 俯视图内框中有实线， 故必出现在长方体的前 面、 左面、上面 因此连接五、五 、！、 、如图 ） ， 这样点儿 、 矽处分别有
15、条、 条、条线段，而点处只有 条线段， 即长方体中从顶点 出发的三条 棱上的点儿 五、 逆均为“最优点”， 故顶点可以被剔除， 同理， 顶点以也可以被剔除步骤 ： 将“最优点”儿 丑、 、 、 疗、 、 ） ）五、 连线并隐去所有的辅助线条即可得到还 原的几何体 （如图 （） ）？ 步骤 ： 验证得图 （ ）（ ） （ （） 所示的几何体符合题意，？评注： 若按文的结论，本题中的三个视图都是矩形（不要管内部细节， 只要外轮廓线： 为矩形就称该视图为矩形） ， 那么该空间几何体 必为柱体 但事实上 图 （） 所示的几何体并（）（）（ ）非柱体 此题就再次说明了文的结论是错误图 的 年第期故学枚学
16、骤 中的正方体的八个顶点， 无需再通过拉伸找点， 以节省时间） 步骤： 由图可知， 点 、 一召 、 、 以、 ， 、 为“可 疑 点， ，（如图 （） ） ， 由于题设中正视图、 侧视图 、 俯视（图内框中有实线，故必出现在正方体的前面、左面、 上面？ 因此连接九、 、召（如 ， 图 （） ） ， 这样点儿 疗、 处均有条线段，），而点处只有条线段， 即正方体中从顶点 出发的三条棱上的点儿 、 为“最优（） 点”，故顶点，可以被剔除 步骤： 将“最优；点”儿 召 、 、 、反、 、 连线并隐去所，（有的辅助线条即可得到还原的几何体 （如图 ） 步骤：验证得图 所示的几何体符合题意 易知棱锥，
17、 否正方体，例（年高考全国卷 理科第 题）所以截取部分体积与剩佘部分体积的比值为一个正方体被一个平面截去一部分后， 剩余部？） 故选 （）分的三视图如图 （ ） 所示， 则截取部分体积八；与剩余部分的体积的比值为（ ）变式个正方体被截后，剩余部分的！三视图如图（ ） 所示， 则截取部分体积与剩（）；（）（）（） 余部分的体积的比值为 （ ） （ ）（ ）（）图解析： 若被平面截取一次同例 分析过程， 还原后的几何体可能如图 所示的几何 体；苦波平面截取两次， 注意到正方体中从顶 点 （ 出发的三条棱上的点、 、 均为“最（ ） （ ）优点”， 故顶点可以被剔除 将“最优点”儿图 、，、， 、
18、连线并隐去所有的辅助解析： 步骤 ： 根据三视图画出对应的正 线条即可得到还的儿何体 （如图 （ ） ） 经方体 步骤： 根据正视图中各线条的交点在 验得证图 （） 所示的几何体也是符合题意的正方体的后“面”找到对应的点， 然后从后向前胃垂直拉伸；根据俯视图中各线条的交点在正 匕棱锥心棱锥方体的下“面”找到对应的点 ， 然后从下向上垂 、？直拉伸；根麵视图中各线条的交点在正方 ，体的右咽”翻对应的点， 然后从右向左垂直拉伸 （小技巧： 此题的三视图交点形式与正方体三视图交点形式一致， 于是可以直接描黑步 正方体故学敦学年第期正方体縱下面和上面 因此连接 、 仙、 仙、 撕、 、 ，（如 图 （
19、） ） ， 这样点儿 疗、 （、所門取卞体只与 部气体乃， 处均只有条线段， 而处均比值为否：（一否）吾或否：（一石）豆只有条线段， 这样顶点、 ，、 可以评注： 虽然如图 所示的三视图均被剔除 步骤： 若全部剔除， 将其余“最优为正方形 （外轮廓） ，但是其对应的如图、点”儿贫、 、 连线并隐去所有的辅助线 （） 、 图 （） 所示的几何体并非柱体，再次条即可得到还原的几何体 （如图 （） ） ； 若剔说明文间的结论是主观臆断的 同时，也提醒除 、 、 中的三个， 而只保留其中大家注意同一个三视图所对应的几何体可能并 一个，将其余“最优点”连线并隐去所有的辅不唯一助线条即可得到还原的几何体
20、（如图 、变式个正方体被截后，剩余部分的如图 （） 、 如图 （） 、 （ ） 步骤： 验三视图如图 （ ） 所示，则截取部分体积与剩证 图 （） 、 图 （） 、 图 （） 、 图 （） 、余部分的体积的比值为？图（ ） 所示的几何体均符合题意此时， 不难算得截取部分体积与剩余部分的体积的比值为 ： ，或暑）一 评注： 通过此题不难发现，若三视图的内框中的两条对角线一条为虚线一条为实线，这两者的交点一般不被选作交点， 因为实际上这就好似两条异面直线， 并无交点而如果虚， ）线与实线的交点出现在边框上， 则需将其选为交点 雜職雜： 可簡：一图可以相同， 但某个几何体一旦被确定以后，（）（）（其
21、对应的三视图必是唯一的 反之，同一三视， 图可能对应多个几何体总之， 在解决“三视图还原几何体”这一类问题时， 一定要紧扣“三视图”的概念， 深刻剖 析概念的内涵和外延，在长方体或正方体中（）（） 利用逆投影确定“最优点 用这种思路去解 决“三视图还原几何体” 的问题， 能化抽象为直解析： 步骤 ： 根据三视图画 出对应的观形象， 方法简单、 快捷又容易掌握？ 关键要正方体 步骤： 根据正视图中各线条的交让学生形成“从基本概念出发”思考问题的思维点在正方体的后 “面”找到对应的点， 然后从方式？ 事实上， 解决问题的习惯、 解题的灵活后 向前垂直拉伸；根据俯视图中各线条的性与新思路新途径，都来
22、源于对概念实质性的交点在正方体的下“面”找到对应的点， 然后挖掘 作为一线教师的我们应着重关注数学问从下向上垂直拉伸； 根据侧视图中各线条题的核心概念， 远离“题型技巧”的雕虫小技，的交点在正方体的右“面”找到对应的点， 然只有学会用概念这把金钥匙打开数学宝藏的方后从右向左垂直拉伸 （如图 （ ） ） 步骤 ：法，才能实现“减轻负担， 提高质量”的宏愿；只由 图 可知， 点儿 、 、 乃、 、 、 、有本着“返璞归真，平实近人， 精简实用”的理以 为“可疑点” （如图） ， 题设中正视图 、念处理教材， 才能收到事半功倍、 引人入胜的侧视图、 俯视图内框中有虚线和实线， 故必分教学效果别出现在
23、正方体的后面和前面、 右面和左面、（下转封底）￥用不等臂天平秤物导出基本不等式的得与失张奠宙晚近以来， 大力倡导实际情境创设，这当等式？”恒不等式知识的数学本质何在？它在然有积极意义，但有时会得不偿失 如苏教版整个中学数学体系中的地位、 以及它在提升引入基本不等式的实例是： “在臂长不准确的数学思维品质中有什么价值？ 总之， 学习和证天平上交换称两次所得两数据，试问对两个数明“恒不等式”， 进一步揭示不等式和等式相互据处理采用算术平均好，还是几何平均好？”这共生， 彼此水乳交融的数学本质， 才是我们需一情境明确而新奇，对调动学生的学习积极性要关注的会有帮助，然而， 这一问题离学生的生活现实求解
24、条件不等式和证明 “恒不等式”是两相当远， 对理解不等式的数学本质意义不大类不同的问题， 从恒等式到恒不等式是一个认事实上， 不等臂天平秤物并非学生常见情识上的飞跃， 本节教材应该在“恒不等”上下功境，需要教师解释一番才能明 白问题的意义？夫， 如果教材不注重条件不等式和恒不等式的通过左右盘两次称得到数据 ，还需要用杠区别，那是不明智的杆原理推导一番， 并且要引出算术平均数、 几我们不妨以一元二次方程的判别式， 展现何平均数的术语 尤其是最后提出的问题是哪恒不等式的纯数学情境种平均值好？ 若论精确， 当然是几何平均为好；例 方程 ： 有几个实根？若论计算简单， 则算术平均为佳？ 总之兜了一 答
25、案： 由于判别式 ， 所以必大圈， 还仅仅提出 了一个猜想 为了 “发现”这有两个实根？ 是一个文字不等式，一不等式，还得用数字代入汁算，相当啰嗦， 问对一切实数 、 都成立？ 方程是条件等式关题情境相对而言是过于复杂了？ 另一方面， 后系，数式变形是恒等变换，方程变形是同解变来要证明此不等式， 从 （ ） 出发，只要换，表面上似乎和不等式没有关系 一旦出现两步就可以得到， 显得头重脚轻了判别式， 就把不等式和方程联系起来了 我们不禁要追问 ， 学习基本不等式， 难道至于不等臂天平的例子，可作为基本不等是为了解决这类“天平失衡问题”吗？显然不式的一个例子， 列为阅读材料， 会是不错的选是 我们必须让学生知晓“为什么要学基本不择 ）（上接第 页 ） 傅香平？ 三视图还原实物图的新视参考文献 角 中学数学教学，（）： 谭团花， 方良秋 高中三视图 “作图模 课程教材研究所 普通高中课程标准型” 的构建及其应用 问 数学通讯， （） ：实验教科书数学 （必修） 北京： 人民教育出 版社，屈黎明 从“化整为零”到“积零为整”新青年数学教师工作室？ 当代中国数三视图还原成几何体的有效方法 数学学教育名言解读 上海： 上海教育出版社，教学， （） ： 定价： 元 国内统一连续出版物号： 每月 日出版 代号：
