1、1第 1 章 矢量分析例 1.1 求标量场 通过点 M(1, 0, 1)的等值面方程。zyx2)(解：点 M 的坐标是 ，则该点的标量场值为1,0,10。其等值面方程为 ：)(20zyx或 ( 2)(yxz例 1.2 求矢量场 的矢量线方程。22zyaxyaAx解： 矢量线应满足的微分方程为 ： zydxd22从而有 zydx2解之即得矢量方程 ，c1 和 c2 是积分常数。221x例 1.3 求函数 在点（1，1，2）处沿方向角xyz2的方向导数。3,4,3解：由于 ,1)2,1(2),1( MMyzx,0)2,1()2,1( xy,3)2,1()2,1(MMyzzcos,cs,os所以21
2、coscscos zyxlM例 1.4 求函数 在点 处沿着点 到点 的方向导数。yz)2,15()2,15()9,4(解：点 到点 的方向矢量为)2,15(94 173)9()()( zyxzyx aaal 其单位矢量 314314coscos zyxzyxl 5,0,2 )2,1()2,15()2,15()2,15(),15()2,15( xzz 所求方向导数 314coscscos lzyxlM 例 1.5 已知 ，求在点 和点zxz62322 )0,(),(处的梯度。解：由于 )6()4()( zayayxa所以 ，623)0,( zyx 3)1,(yx例 1.6 运用散度定理计算下列
3、积分： S zyx SdzyxaazI )2()(322S 是 和 所围成的半球区域的外表面。0x解：设： )2()(322 zyxazyazAzx 则由散度定理 sSdA可得3504204 222sin)(adrdr dryxzASIaas 例 1.7 试求 和 :A(1) 232yxazxyay(2) sinco),(rrzrz(3) cos1si2rAr 解： 32320)1( zyzyAxzy )23()23()2( 32 xyzaxyzaxyaaAzazyx zyxzy cossin(0cos11)2( rrrrrz sinsi2co )sin0()20()(1cos2rarra r
4、arzaaArzaAzzzrzr 4cos2sin3 )cos1(sin)si1(in)i(1s)3( 2232r rrrArAr cos1sin2co )cos0(sin)2i10()s( i1sinsiniisin133 22arra rarrrararArAaarr rrr 例 1.8 在球坐标中，已知 ，其中 、 为常数，试求此标量场的204csrpeep0负梯度构成的矢量场，即 。E解： 在球坐标戏中，sin1rarar)sinco2(44is0)sin(1)2(co )4cos(i)4co4c3030230 2020 arprpaar rpppEeeer eer eeer例 1.9
5、 在由 ， 和 围成的圆柱形区域上，对矢量5r0z4验证高斯散度定理。zarA2解：因为要求验证高斯散度定理，即需要根据给出条件分别计算5和 ，得到二者结果相同的结论。dAsS在柱坐标系下，有 23)(0)(11)( 3 rzrzArr在由 ， 和 围成的圆柱形区域内取一个小体积元 ，可知50z4 d，其中 、 、 ，故dr5r24z 1204150)3()23( 02505024 drdzA而 ， 和 围成的圆柱形区域的闭合外表面由三部分构成：圆rz柱上表面 （面元矢量 ， 、 、 ） 、圆柱下1SraSz15r2z表面 （面元矢量 ， 、 、 ）和圆柱侧2 dz200表面 （面元矢量 ，
6、、 、 ） ，故有：3r324z5r 12042541508)( )()2(25240 0502452 3131 dzdrraza rdazrarSASAdr zzzS ，即证。10sSdA例 1.10 现有三个矢量场 、 、 ,分别为：BC，sincoscosinaaaAr ，222 rzzzr。xyCzyx)3(哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示？6解：本题考查的是矢量场的场源关系，即：标量函数的梯度是一个有散无旋的场，并根据发散场旋度为零，漩涡场散度为零进行反推。故先分别求出矢量的散度和旋度： 0 sincoscosinis1sinisin10 )si
7、n(si1)cos(insi1)cosin(1 1)i222 rraaarArAaar rrr ArArrr 0sin2cosin11sin2 )sin2()cos(1)(12222 rzrzzaarBraBr rzzrzBrB zrzzz )62(230yxazxyaCzxayzyxyzx 故 可以由一个标量函数的梯度表示， 可以由一个矢量的旋度表示。B C7第 2 章 静电场与恒定电场例 2.1 已知半径为 a 的球内、 外的电场强度为下式所示，求电荷分布。 )(235)(02ararEarr 解：由高斯定理的微分形式 ， 得电荷密度为 0E0用球坐标中的散度公式 可得： ArrAr si
8、n1)(siin1)(12 )()(215)235(10230220 araEarErAo例 2.2 一个半径为 a 的均匀极化介质球，极化强度是 ，求极化电荷分布。0Pz解：建立球坐标系，让球心位于坐标原点。极化电荷体密度为 0azp极化电荷面密度为 cosPnPrzs例 2.3 一个半径为 a 的导体球，带电量为 Q，在导体球外套有外半径为 b 的同心介质球壳， 壳外是空气，如图 2.1 所示。求空间任一点的 以及束缚PED、电荷密度。图 2.18解：由介质中的高斯定律可知，在 区域内： ，故arQrDSds2424ra由本构方程 得：EPEr00介质内(a0 时。但场点位于 zl 处的电
9、场为 4023rqlEr12证明：用点电荷电场强度的公式及叠加原理，有 )(2)(4120lrqlrqEr 当 rl 时, )321()1()( 222 rlrlrl )()()( 222 rlrlrl将以上结果带入电场强度表达式并忽略高阶小量，得出 4023rqlEr图 2.5例 2.11 真空中有两个点电荷，一个电荷 位于原点，另一个电荷 位于q2/q处，求电位为零的等位面方程。)0,(a解：由点电荷产生的电位公式得电位为零的等位面为 04210rq其中， 212)(zyxr 212)(zyaxr等位面方程简化为 113即 222)(4zyxzyax此方程可以改写为 22233azyx这是
10、球心在 ,半径为 的球面。)034(aa例 2.12 如图 2.6 所示，一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴方向，介质柱的高度为 L，半径为 a，且均匀极化，求束缚体电荷分布及束缚面电荷分布。图 2.6解：选取圆柱坐标系计算，并假设极化强度沿其轴向方向， 如图xaP0示，由于均匀极化，束缚体电荷为。0P在圆柱的侧面，注意介质的外法向沿半径方向 ，极化强度在 z 方向，故ranra在顶面，外法向为 ，故xan0Pxsp在底面，外法向为 ，故x0)(axsp14例 2.13 假设 x0 的区域为电解质，电解质的介电常数为，如果空气中的电场强度 （V/m ） ，求电介质中的电场强03 zyxaE54
11、1度 。2E解：在电介质与空气的界面上没有自由电荷，因而电场强度的切向分量连续，电位移矢量的法向分量连续。在空气中，由电场强度的切向分量，可以得出介质中电场强度的切向分量 ；对于法向xyta541 xytaE542分量，用 ，即 ，并注意 ，得出 。nD21 xxE210013,x 12xE将所得到的切向分量相叠加，得介质中的电场为 )/(542 mVaazyx例 2.14 一个半径为 a 的导体球面套一层厚度为 b-a 的电解质，电解质的介电常数为 ，假设导体球带电 q，求任意点的电位。解：在导体球的内部，电场强度为 0。对于电介质和空气中的电场分布，用高斯定理计算。在电介质或空气中的电场取
12、球面为高斯面，由得出srqDSd2424rq电场为： 在介质中（ab ） 。2rEr 204rqEr电位为 )1(440220 brqddqEdrbbr （ab)rr r020例 2.15 真空中有两个导体球的半径都为 a，两球心之间距离为 d，且 da,试计算两个导体之间的电容。解：因为球心间距远大于导体的球的半径，球面的电荷可以看作是均匀分布。由电位系数的定义，可得， ap0214dp021415让第一个导体带电 q, 第二个导体带电-q，则 ， dqaqp00121 4 aqdqp00212 4由 21UC化简得 ad0例 2.16 球形电容器内，外极板的半径分别为 a,b，其间媒质的电
13、导率为 ，当外加电压为 时，计算功率损耗并求电阻。0U解：设内,外极板之间的总电流为 ，由对称性，可以得到极板间的电流密0I度为raIJ2rE4= =0Uabd1Iab从而 = ，I041abrUJ20)(单位体积内功率损耗为 = =p2J2021rab总功率耗损为 P= = =24bard02baUdr2041由 P= ，得20URR= 14Iab16例 2.17 一个半径为 a 的导体球作为作为电极深埋地下，土壤的电导率为 。略去地面的影响，求电极的接地电阻。解：当不考虑地面影响时，这个问题就相当于计算位于无限大均匀点媒质中的导体球的恒定电流问题。设导体球的电流为 ,则任意点的电流密度为I
14、，raIJ24raE24导体球面的电位为（去无穷远处为电位零点）= =U2aIdrIa接地电阻为 = =RI4a例 2.18 如图 2.7 所示，平板电容器间由两种媒质完全填充，厚度分别为 和 ，1d2介电常数分别为 和 ，电导率分别为 和 ，当外加电压 U 时，求分界面12120上的自由电荷面密度。解：设电容器极板之间的电流密度为 J，则21EJ21,J于是210JdU即210dJ分界面上的自由面电荷密度为172102121212 dUJEDns 1d21,2,图 2.7例 2.19 在电场强度 的电场中把带电量为 的点电荷从点xayEx)(2Cq移到点 ，试计算电场沿下列路径移动电荷所做的
15、功。)1,2()1,28(1)沿曲线 ；(2)沿连接该两点的直线。yx解：本题要求电场力移动电荷所做的功，最直接的办法就是根据功=作用力作用距离，由给出的电场强度确定电荷所受电场力，再在对应的移动路径 C上进行线积分，即 。但注意到题目给出的场强为静电CldEqldFW2场的电场强度，则可根据静电场为保守场，由静电力所做的功与电荷移动路径无关，至于电荷运动起止点的电位差有关这一特点进行计算。方法一： ，此电场为静电场，电场力所做的功与电荷移动路径无关。0E由 可得，电位 ，其中 C 为常数。xayxyz),(点 到点 之间的电位差)1,2()1,28( 14),28(1,U故无论是沿曲线 还是
16、沿连接该两点的直线，电场力移动电荷yx所做的功 。)(Cq)(8JqW0U18方法二：电场力 ，)2()(2qxayEqFx点 移到点 变化的只是 x 和 y，)1,2(1,8(故有 ，dyaxlddl(1)曲线 C： 有 24)(281)2( 21 JqyyqylFW(2)曲线 C： ，即 ，有62xyxdx6)()4()( 211 Jdyydyld 例 2.20 球形电容器内外导体球半径分别为 a 和 b，如果保持内外导体间电位差U 不变，试证明当内外导体球半径满足关系 a=b/2 时，内导体球表面的电场最小，并求此最小电场强度。解：要求得内导体球表面的最小电场强度，需先求出空间各点电场强
17、度的分布，再根据高等数学中函数最小值出现在函数一阶导数零点的知识，求出内导体球表面的电场强度最小值，并得到此时内外导体球半径之间的关系。由于内外导体球间存在电位差，故内导体球表面存在电荷，可设在内导体球面上均匀分布有总量为 Q 的电荷，因此以导体球球心为坐标原点建立球坐标系，内导体球面为 ，外导体球面为 。arbr在 的区间包围原点做一个半径为 的闭合球面 S，由于电荷和电场ba的分布满足球对称，在 S 上应用高斯定理，有 02024sin QErdrEd2020,4aQrr设外导体电位为 0，则内导体电位为 U，将点电荷从内导体表面搬到外导体上所需要的电场力所做功为： abQadrQldEU
18、baba 0020 4)1(4419故可反解出 ，UabQ04 )(2brabEr在内导体球表面 ，有r ,2Err， ，即 ， 时有 的最值。2)(abEr0r 0ab2/brE又 时， ； 时， ；故 时 有最小值。/r2/Er/r当内外导体球半径满足关系 a=b/2 时，内导体球表面的电场最小。此最小值为 。bUaErr42min例 2.21 电场中一半径为 a 的介质球，已知球内、外的电位函数分布为： arEarE,cos2cos20301 ,302验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。解：题目给出的边界面，是介于介质和空气之间的球面，其法向为球的径向 ，切向则为 和 方向
19、。要验证分界面上的边界条件，可以从电场矢量方raa面入手，根据题目给出电位分布，求出电场强度的分布，得到在边界面 上ar；也可以直接根据电位的边界条件，在 的分界面上，得到ttE21 ar的结论。而要计算球面的束缚电荷密度，可根据 来计算。 nPps1）验证边界条件：方法一：直接利用电位的边界条件，有：时，ar 20001 cos23cos2cos rEaEaE，边界条件成立。120方法二： EarEaEaraar ),sin2sin()cos2cos( 30030011 rEEr ),is(230002分界面 上，arrn tt Ea20001 sin23)sin2si( ，边界条件成立。t
20、tE12）计算球表面的束缚电荷密度：由上面可得 arEaEarEaEar ),sin2sin()cos2cos( 3003001 rr ),sin(23000EPD0 EP)(0arEraaraar ,sin)21(cos)21()()( 0300300101 ,202例 2.22 有一半径为 a，带电荷量为 q 的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的介电常数分别为 和 ，分界面可视为无限大的平面，求：12(1)球的电容量；(2)储存的总静电能。解：此导体球为单导体系统，选无穷远点为零电位点，球的电容量可由求出，其中 为导体球所带电荷量，即 ； 为导体球表面电位与零电QCq位点的
21、电位差。故求球的电容量，就需求导体球外电场强度的分布。同样，静21电场的能量也可由电场强度求出，故本题的核心在于求电场强度的空间分布。图 2.8由图 2.8 所示，以导体球的球心为坐标原点建立球坐标系，电荷和电场分布具有球对称特性。在 处做同心的高斯闭合球面，有ar qrDrSdD221在 和 的介质分界面上，有 ，即 ，12 ttE2rrE21故有 ， ，rrrE11rrrqDrrrr 22221 )(21)(qr(1) )(2)(2)( 212121 aqrqrddrEaa)(22121aaqqC(2) )(4121qWe（注：也可计算为：）)(4 sin21sin211 /02/022
22、aq drEdrEdae22第 4 章 恒定磁场例 4.1 半径为 a、高为 L 的磁化介质柱，如图 4.1 所示，磁化强度为 ( 为0M常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流 和磁化面电流 。 mJmsJ图 4.1解：取圆柱坐标系的 z 轴和磁介质柱的中轴线重合， 磁介质的下底面位于z=0 处，上底面位于 z=L 处。此时， ，磁化电流为0Maz)(zmJ在界面 z=0 上， ， zan0)(0zzSan在界面 z=L 上， ， zzmJ在界面 r=a 上， ， r MrzS 00例 4.2 内、外半径分别为 a、b 的无限长空心圆柱中均匀分布着轴向电流 ，求I柱内、外的磁感应强度。解：使
23、用圆柱坐标系。电流密度沿轴线方向为braIaJz,0,)(,2由电流的对称性，可以知道磁场只有圆周分量。用安培环路定律计算不同区域的磁场。当 r 时， ra2aIrHrIaH2磁感应强度如下：时， ； 时，r21IrB rIB2为了计算磁化电流，要求磁化强度：时， ， ra201)(aIrM 201)(aIMJzm 时， ， rI)(02在 的界面上计算磁化面电流时，可以理解为在两个磁介质之间有一个ar很薄的真空层。这样，其磁化面电流就是两个磁介质的磁化面电流之和，即 21nMJms 这里的 和 分别是从磁介质到真空中的单位法向。1n2如果设从介质 1 到介质 2 的单位法向是 ，则有nJms
24、21代入界面两侧的磁化强度，并注意 ，得ranaIaIIaJzms 2)(2)1(2)1( 012z0z0 27例 4.7 空气绝缘的同轴线，内导体的半径为 a，外导体的半径为 b，通过的电流为 I。设外导体壳的厚度很薄，因而其储蓄的能量可以忽略不计。计算同轴线单位长度的储能，并有此求单位长度的自感。解： 设内导体的电流均匀分布，用安培环路定律可求出磁场。时， ； 时， ar2aIrHbrrIaH2单位长度的磁场能量为= + = +mW012ard201bard2016Iln4ba故得单位长度的自感为 = + ，其中的第一项是内导体的内自感。L08ln例 4.8 一个长直导线和一个圆环（半径为
25、 ）在同一平面内，圆心与导线的距a离是 ，证明它们之间互感为 。d )(20dM证明：设直导线位于 z 轴上，由其产生的磁场 )cos(00rdIxIB其中各量的含义如图 4.4 所示。磁通量为 rdIBdsa020)cos(上式先对 积分，并用公式220cosadad得)(2002IrdIa所以互感为 20aM28Idr图 4.4例 4.9 一根通有电流 I 的长直导线埋在不导电的均匀磁性介质中。(1)求出 ， ， 及磁化电流分布；HBM(2)若将导线埋在介质分界面间，电流 I 沿 z 方向流动，在 的半无穷0z空间中充满导磁率为 的均匀介质，在 的半无穷空间为真空，求出 ，0H， 及磁化电
26、流分布；B(3)若将导线埋在介质分界面间，电流 I 沿 z 方向流动，在 的半无穷0x空间中充满导磁率为 的均匀介质，在 的半无穷空间为真空，求出 ，0x ， 及磁化电流分布。M解：(1)由安培环路定律，以导线为中心做闭合积分曲线，有： IrHldC2，即Ia故：， ， 。rIaHB2 rIHBM2)1()1(00 0MJm(2)如图 4.5(a)所示，以导线为中心做闭合积分曲线 C，由安培环路定律有：IrldC29，即 ，则有：rIH2rIa2， ，Bz:01 rIaHBM2)1()1(001 ， ；0JmnJrzrms， ， ， 。rIaHz2:0022mJs(3)如图 4.5(b)所示，
27、以导线为中心做闭合积分曲线 C，由安培环路定律有：IrHldC21对于分界面， 处 为法向，根据边界条件 ，0xanB21有 ，即： ，B21 B102代入安培环路定律，有 ，解得Ir0 rI0， ，rIaB0 raBH01 rIaBH002： ，x IMr 01101)(， ；Jm aMnJms： ， ， 。0x0202HB0msJ图 4.5(a) 图 4.5(b)30例 4.10 半径为 a 的无限长直圆柱形导线沿轴向通过电流 I。如图 4.6 所示，取图中 处为参考点，用拉普拉斯方程求导线外部的标量磁位。2图 4.6解：对磁标位来讲，它是和磁力线垂直的，而通电长直导线的磁力线是以电流为圆心的同心圆，因此磁标位就应该是 r 方向的射线，所以 应该与 r 和mz 无关，拉普拉斯方程应该是： 0122mmr解出来 DCm代入已知条件 为参考点，有2DCm2再以导线为轴心在导线外做一个近似闭合的回路 ，起点 A 和终点 B 在l的两侧，由于 ，比照静电场中电场强度和电位之间的关系，2mH有 ， ， ，则IldBAmA0ACmB2I2这样始终有两个未知量不能确定。于是又考虑 和 是同一点，那么参考点也可以看作是 ，2 代入 中， 时 ，故 ，这就只有一个未知量DCm0DmCm了。
