1、2000 年 1 月第 9 卷 第 1 期中 央 民 族 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 )Journal of the CUN (N atural Sciences Edition)Jan. 2000V o l. 9 N o. 1狄 拉 克 符 号 的 教 法 X朱 振 和(中 央 民 族 大 学 物 理 系 , 北 京 100081)摘 要提 出 一 种 以 具 体 说 明 抽 象 的 教 法 来 讲 授 狄 拉 克 符 号 , 可 以 把 刃 矢 和 刁 矢 分 别 理 解 为 列 矩 阵 和行 矩 阵 . 还 说 明 了 刃 矢 左 乘 刁 矢 的 定 义 , 给 出 了 刃 矢
2、 和 刁 矢 连 乘 的 规 则 满 足 结 合 律 1关 键 词 : 狄 拉 克 符 号 ; 刃 矢 ; 刁 矢 ; 矩 阵 ; 乘 法 结 合 律1 引 言在 科 学 文 献 中 , 经 常 采 用 狄 拉 克 符 号 来 表 述 量 子 力 学 的 理 论 和 公 式 . 所 以 在 量 子 力 学 课 程中 讲 解 狄 拉 克 符 号 是 必 不 可 少 的 .根 据 我 的 教 学 经 验 , 由 于 狄 拉 克 符 号 是 一 种 抽 象 的 表 述 法 , 因 此 学 生 们 理 解 起 来 比 较 困难 . 他 们 经 常 提 出 这 样 的 问 题 :“ 这 个 公 式 是
3、怎 样 推 导 出 来 的 ?” 例 如 , 在 曾 谨 言 著 的 量 子 力 学 卷 1 第 194 页 上 有 这 样 一 个 公 式 :W = 6kk = 6kk . (1)中 间 的 式 子 是 相 乘 得 到 一 个 数 , 再 与 k 相 乘 . 一 个 数 与 k 相 乘 , 既 可 以 写 在 k 的 左 面 , 也 可 以 写 在 k 的 右 面 , 所 以 等 于 右 边 的 式 子 . 但 是 在 写 成 右 边 的 式 子 以 后 , 学 生们 很 难 理 解 , 为 什 么 可 以 先 把 k 与 相 乘 ? 也 就 是 说 , 为 什 么 刃 矢 和刁 矢 连 乘
4、 时 可 以 变 更 相 乘 的 次 序 ?我 们 采 用 的 教 材 是 周 世 勋 编 的 量 子 力 学 教 程 . 我 们 发 现 在 该 书 的 狄 拉 克 符 号 那 一 节中 2 遗 漏 了 一 些 应 该 说 明 的 内 容 , 在 很 多 国 内 出 版 的 量 子 力 学 教 科 书 中 也 有 这 样 的 遗 漏 . 这 样一 来 , 增 大 了 学 生 们 理 解 狄 拉 克 符 号 的 难 度 .因 此 , 狄 拉 克 符 号 这 一 节 是 量 子 力 学 教 学 中 的 一 个 难 点 . 我 们 在 教 学 中 探 索 出 一 种 以 具 体说 明 抽 象 的
5、教 法 , 克 服 了 这 个 难 点 . 以 下 详 细 说 明 这 种 教 法 .2 刃 矢 和 刁 矢用 狄 拉 克 符 号 , 量 子 力 学 的 态 用 刃 矢 或 刁 矢 表 示 2 . 例 如 , A 态 的 波 函 数 为 WA , A 态 可 以用 刃 A 或 刁 和 或 刁X 收 稿 日 期 : 1998- 08- 10和 或 刁 B 在 Q 表 象 中具 体 化 为 一 个 行 矩 阵 . 所 以 我 们 可 以 把 刃 矢 理 解 成 如 (3)或 (6)式 这 样 的 列 矩 阵 , 把 刁 矢 理 解 成如 (4)或 (7)式 这 样 的 行 矩 阵 .在 周 世
6、勋 编 的 量 子 力 学 教 程 中 把 力 学 量 Qd 的 本 征 刃 写 作 n , 如 果 把 它 理 解 成 一 个 列矩 阵 , 应 该 是 这 样 的 形 式 :1 =100, 2 =010, n =010 第 n 行 , (8)其 理 由 是 : Qd的 本 征 态 un 按 (2)或 (5)这 样 的 形 式 展 开 的 表 达 式 为un = 6iDniu i. (9)06 中 央 民 族 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ) 第 9 卷 3 刃 矢 和 刁 矢 相 乘刃 矢 和 刁 矢 可 以 相 乘 . 刁 称 为 A 和 = a1b31 + a2b32 + +
7、anb3n + = 6nanb3n . (10)我 们 把 刁 理 解 成 列 矩 阵 (3) , 则 标 积 自 然 可 以 理 解为 矩 阵 (7)左 乘 矩 阵 (3) ,b31 b32 b3n a1a2an= 6nanb3n , (11)这 与 (10)式 是 完 全 一 致 的 .刃 矢 和 刁 矢 还 有 另 外 一 种 乘 积 , 就 是 刃 矢 左 乘 刁 矢 之 积 , 它 相 当 于 一 个 可 以 作 用 于 刃 矢 的线 性 算 符 . 狄 拉 克 在 提 出 狄 拉 克 符 号 的 时 候 也 定 义 了 刃 矢 左 乘 刁 矢 之 积 3 . 在 周 世 勋 编 的
8、 量子 力 学 教 程 2 和 很 多 国 内 出 版 的 量 子 力 学 教 科 书 中 遗 漏 了 这 个 内 容 . 在 曾 谨 言 著 的 量 子 力学 卷 中 说 明 了 可 以 把 k 和 刁 左 乘 本 征 刁 的 标 积 是 一 个 数 , 它 左 乘 本 征 刃 k 和 右 乘 k 是 等 同 的 , 所 以 有(1)式 . 写 成 (1)式 右 边 这 个 形 式 以 后 , 把 它 看 作 k 和 相 乘 , 满 足 结 合 律 . 可 以 是 先 相 乘 (标 积 ) , 然 后 与 k 相 乘 ; 也 可 以 是 k 和 相 乘 , 即k ( ) = (k . (15
9、)4 态 和 算 符 的 表 示在 Q 表 象 中 , 任 一 刃 矢 A 可 以 按 Qd的 本 征 刃 n 展 开 :A = 6nann 1 (16)由 (3)式 和 (8)式 可 知 , 的 标 积 为= 6ia iDni = an, (17)代 入 (16)式 得 到A = 6nn = 6nn , (18)所 以 有6nn 的 封 闭 性 . 在 周 世 勋 编 的 量 子 力 学 教程 中 的 (415- 15)式 就 是 这 里 的 (19)式 , 但 是 在 该 书 中 没 有 说 明 1 表 示 单 位 算 符 , 容 易 被 人 误解 为 一 个 数 .如 果 Qd 的 本
10、征 值 既 有 分 立 谱 , 又 有 连 续 谱 , 以 q 表 示 对 应 于 连 续 本 征 值 q 的 本 征 矢 . 在连 续 谱 的 部 分 , 求 和 应 该 换 为 积 分 , 那 么 Qd的 本 征 矢 的 封 闭 性 表 示 为6nn 的 封 闭 性 表 示 为 d x x 的 封 闭 性 表 示 为 d p p 也 可 以 按 坐 标 本 征 矢 x 展 开 , 与 (18)式 相 对 应 , 可 以 写 出A = d x x . (23)的 标 积 可 以 表 示 为= d x = d x W3B (x ) WA (x ). (24)设 算 符 Fd作 用 于 刃 A
11、上 得 到 刃 B , 则 可 写 为B = FdA . (25)我 们 把 A 和 B 理 解 为 1 k 矩 阵 , 则 Fd 就 理 解 为 一 个 k k 矩 阵 . 设 Qd 有 分 立 的 本 征 值谱 , 则 类 同 于 (18)式 可 以 写 出B = 6nn . (26)将 (18)和 (26)式 代 入 (25)式 , 得 到6nn = 6nFdn . (27)以 基 刁 = Dm n, 得 到= 6n, (28)式 中 是 算 符 Fd在 Q 表 象 中 的 矩 阵 元 Fm n. (28)式 也 可 以 写 作bm = 6nFm nan. (29)把 B , Fd和 A
12、 都 理 解 为 矩 阵 以 后 , 求 (25) 式 的 共 轭 式 就 很 容 易 了 . F 矩 阵 乘 以 (3) 矩阵 得 到 的 矩 阵 的 共 轭 , 等 于 (3)矩 阵 的 共 轭 矩 阵 乘 以 F 矩 阵 的 共 轭 矩 阵 , 所 以 有 B = A F 0 1 (30)(30)式 就 是 (25)式 的 共 轭 式 . 当 Fd是 厄 密 算 符 时 , F = F 0 , (30)式 写 为 B = A F. (31)5 总 结我 们 找 到 了 一 种 以 具 体 说 明 抽 象 的 教 法 , 由 于 刃 矢 和 刁 矢 在 某 个 具 体 的 Q 表 象 中
13、分 别 由列 矩 阵 和 行 矩 阵 表 示 , 因 此 可 以 把 刃 矢 和 刁 矢 分 别 理 解 为 列 矩 阵 和 行 矩 阵 . 我 们 还 说 明 了 刃 矢左 乘 刁 矢 的 定 义 , 给 出 了 刃 矢 和 刁 矢 连 乘 的 规 则 满 足 结 合 律 . 我 们 还 指 出 了 (19) 式 中 的 1是 单 位 算 符 , 而 不 是 数 . 在 讲 授 狄 拉 克 符 号 这 一 节 时 作 了 以 上 改 进 以 后 , 学 生 们 就 容 易 理 解 了 ,取 得 了 很 好 的 教 学 效 果 .参 考 文 献1 曾 谨 言 . 量 子 力 学 (卷 ). 北
14、 京 : 科 学 出 版 社 , 1995, 192 1982 周 世 勋 . 量 子 力 学 教 程 . 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社 , 1995, 119 1243 P. A. M. D irac, T he P rincip les of Q uantum M echanics (4th ed. ) , (O xfo rd at the C larendon P ress,36 第 1 期 朱 振 和 : 狄 拉 克 符 号 的 教 法1958) , 18 26A M ethod of Teach ing D irac Sym bolsZhu Zhenhe(D ep artm
15、 ent of P hy sics, Central U niversity f or N ationalities, B eij ing 100081)AbstractA m ethod of teach ing D irac sym bo ls that the abstract is rep resented by the specific isp resented. A ket vecto r and a bra vecto r can be regarded as a co lum n m atrix and a row m atrix,respectively. T he p ro
16、duct of a ket vecto r and a bra vecto r w ith the ket on the left is defined. T heassociative axiom of m ultip lication fo r the continued p roduct of kets and bras is stated.Keywords: D irac sym bo ls; ket vecto r; bra vecto r; m atrix; associative axiom of m ultip lication(上 接 第 58 页 )On M ultipli
17、ca tion of Vector and Ten sorZhu Zhengyuan(D ep artm ent of M athem atics, Central U niversity f or N ationalities, B eij ing 100081)AbstractIn th is paper, W e study som e m ultip licationes of vecto r and tenso r including definitions,p roperties and relation betw een them.Keywords: Scalar ( inner) p roduct; vecto r p roduct; m ixed p roduct; tenso r p roduct; exterio r(outer)p roduct46 中 央 民 族 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ) 第 9 卷
