1、硬闲洛密达法则求极限的 儿点涅 枣口杨黎霞(江南大学江苏无锡214122)摘要如果当圹+口或r+*时，两个函数删与，M都趋于零或都趋于无穷大。那么极限lm葡可能存在，也可能不存在。洛：，必达法则是计算此类未定式极限行之有效的方法然而。对于本科一年级的初学者来讲，若盲目使用此法则会导致错误。本文就使用该法则解题过程中的几点注意作了分析与探讨。关键词洛必达法则 极限未定式等价无穷小代换 变量代换中图分类号：0172 文献标识码：A在高等数学里极限是大一新生一开始就要接触而且非常重要的内容。其中有一类未定式的极限不能用“商的极限等于极限的商”这一法则而要用洛必达法则。洛必达法则内容很简单使用起来也方
2、便有效。但在具体使用过程中。一旦疏忽了以下几点解题就可能出错。首先，只有分子、分母都趋于零或都趋于无穷大时，才能直接使用洛必达法则。其次，每次使用洛必达法则前都要检验是否满足次法则条件。只要满足此法则条件就可连续使用此法则直到求出结果或为无穷大。例如：tmx“。：坛，n垡!；!j：以，n墨王翌：!芝三：lira墨=D(n仨z+)，-er_ e Jr-JO er_e。此题用了n次法则。再者，使用洛必达法则求极限是应及时化简，主要指代数、三角恒等变形，约去公因子。具有极限不为零的因子分离出来，等价无穷小代换，变量代换等。下面通过例子说明。土-例：鲤【(J慨)。7I叫】=塑【(J+)eL】=纫型笋=
3、姆号等力此题先用了变量代换。当变量x趋于。时t趋于0这一点要注意。 例：矗。卑=f溉!堡：型Jim rzim掣=f讹丝车堑=lim S,ec气-I=li，n+cosx-一2本题用了多种方法：提出极限存在但不为零的因子。等价无穷小代换。洛必达法则，三角恒等变形约分等。(J呵+，)一、瓦芦fJ目：lim生r_一若直接使用洛必达法则，其分子求导带来复杂的运算。用等价无穷小代换又不知道分子与谁等价，故可以拆开考虑其解如下：原式：梳!二：主!：!一跏型互享=!：lira原式=梳冬一一跏尘弘=ex(1-x+扛乇) 一1卜也广 地半一号吻二簪一专锄等一号：吉一2磐导一一_2鳃型与i一专。叻i一寺2吉一11虿
4、一丁此题综合运用了代数恒等变形，等价无穷小代换，极限不为零的因子先分离出来，洛必达法则这几种方法。由这儿个例题也可以知道，洛必达法则不能贸然使之必要时应与求极限的其他方法同时使用。才能简化计算。还有洛必达法则的条件是充分的不是必要的。因此。当竺m铹不存在时。并不能肯定zf，l糕也不存在只是这时不能用法则。而需r，I工J用其他方法。砖讥三 2min上-c甜上例如：lira。=Z咖 苎一苎r0 Sl，l落，司 CDl菇。而后面式子的极限不存在并不能断言原式的极限不存在。只说明此时不能用法则。正确做法如下：原式=lim4L托m(搿讥上)=1O-O M引燃M茹 J+兰丝兰跏l(“上J讥鬈)X女llll
5、im x+sinx=lira兰一=善一=J也不能用洛”。髫+c珊毒”“!璺丝Z概(J+c椰善)茗 H 膏必达法则。最后一点。洛必达法则用于求连续自变量的函数未定式的极限，对于整标函数(数列)的未定式不能直接使用洛必达法则阂为对数列极限式中的n无法求导。要将n换成x后先求出相应函数的极限测数列的极限就等于函数的极限，下面举例说明。例：Im(Vi1)、百因为“m(订一1)订：lm(e扣一1)订；lkn(土1艘)，+o，叶-，+o 善尽管洛必达法则是求未定式极限的一种非常有用的方法，许多极限题目用了洛必达法则便能很快得出结果，但是在这里必须指出熙等等与恕湍用洛必达法则就求不出结果应改用其，lira
6、ee沁-e。-*=Urn等=l恐湍也蔫也蔫2丢一。并+、孬=一(J+、J+丢)一J+、J+丢2以上所述的几点注意对初学者能较快地掌握此法则定会有所帮助。由于所举例题有限，也不可能将所有情况都罗列出来所以，在碰到具体题目时。还需根据题目本身的特点灵活应用洛必达法则及参考文献：i117高等数学(第五版)同济大学应用数学系主编高等教育小版社,20027【2L茂南薜国民主编高等数学习题课教程苏州大学出版社200410【3l蔡燧林湖金德。陈兰祥主编顾士研究生入学考试数学辅导讲义理工类北京学苑l版社,2002267万方数据使用洛必达法则求极限的几点注意作者： 杨黎霞作者单位： 江南大学,江苏无锡,2141
7、22刊名： 科教文汇英文刊名： THE SCIENCE EDUCATION ARTICLE COLLECTS年，卷(期)： 2008，“(25)被引用次数： 0次参考文献(3条)1.同济大学应用数学系 高等数学 20022.王茂南.薛国民 高等数学习题课教程 20043.蔡燧林.胡金德.陈兰祥 硕士研究生入学考试数学辅导讲义,理工类 2002相似文献(10条)1.期刊论文 林清华 探讨洛必达法则求解极限 -湖北广播电视大学学报2008,28(12)极限作为重要的思想方法和研究工具贯穿于高等数学课程的始终.本文通过对洛必达法则求极限的深入探讨,针对不同题型归纳总结出具体的化简转化的方法;利用数列
8、极限和函数极限的关系间接地应用洛必达法则求数列未定式,充分体现了洛必达法则应用的广泛性,给求极限提供了强有力的工具.2.期刊论文 王悦 关于利用洛必达法则求极限的几点探讨 -科技信息2009,“(2)是大学中的基础课程,极限是学生一开始就要接触的最基本的知识.其中有一类未定式的极限不能用“商的极限等于极限的商“这一法则,而要用洛必达法则.洛必达法则内容很简单,使用起来也方便,但在具体使用过程中,一旦疏忽,解题就可能出错.对于初学者来讲,若盲目使用此法则,会导致错误.本文就利用该法则解题中的几点注意作以分析与探讨,并举例说明.3.期刊论文 吴维峰.Wu Weifeng 对等价无穷小代换与洛必达法
9、则求极限的探讨 -潍坊教育学院学报2008,21(2)本文对用等价无穷小代换与洛必达法则求函数的极限进行了探讨.4.期刊论文 于祥 洛必达法则应用误区的分析 -北京电力高等专科学校学报2010,28(2)洛必达法则是在柯西中值定理的基础之上推出的一种求不定式极限的重要定理,它的应用避免了因机械使用极限四则运算法则“商的极限等于极限的商“而产生的错误.但不可忽视的是由于对洛必达法则的使用不当,在计算不定式极限时同样得不到正确结果,究其因为主要是对洛必达法则的使用条件把握不够准确.本文结合具体例子对洛必达法则应用中易产生的误区进行了探讨和分析.5.期刊论文 夏滨 利用洛必达法则求极限的方法与技巧探
10、讨 -现代企业教育2008,“(4)本文主要通过一些典型例题介绍利用洛必达法则求极限的方法与技巧,从而更好地解决未定式问题.6.期刊论文 汤茂林.TANG Mao-lin 用洛必达法则求不定式极限的技巧 -职大学报2007,“(2)本文介绍用洛必达法则求不定式极限的技巧.7.期刊论文 张波.李秀菊.赵广华 关于“洛必达法则“求未定式极限的几点思考 -网络财富2009,“(11)本文通过洛必达法则的内客,给出了应用此法财的几类需要注意的情况.8.期刊论文 冯志敏.薛瑞 使用洛必达法则的实质及其注意事项 -中国科技信息2009,“(15)本文主要总结了洛必达法则在求未定式极限中的应用,需要注意的问题,并深入分析了在使用洛必过法则的时候实质是对无穷小或无穷大进行降阶,从而经过有限次的使用法则将未定式转化成一般的极限问题,再利用极限的四则运算法则求出极限.另外指出在使用的时需要注意条件的满足,与其它求极限的方法如无穷小的替换的结合.9.期刊论文 刘蒲凰 洛必达法则应用两则 -高等数学研究2004,7(2)指出洛必达法则在证明二重极限不存在时的一个应用,并指出了洛必达法则的一个推广10.期刊论文 段桂花.孙秋娟 洛必达法则的应用求不定式极限 -科技信息2010,“(6)洛必达法则是微分学基本定理在极限方面的一个具体应用,它是求不定式极限的一种重要而简便的方法.本文链接：http:/
