1、泊肃叶定律公 式 (qv 就 等 于 Q)实 验 表 明 ， 流 体 在 水 平 圆 管 中 作 层 流 运 动 时 ， 其 体 积 流 量 Q 与 管 子 两 端 的 压 强差 p， 管 的 半 径 r， 长 度 L， 以 及 流 体 的 粘 滞 系 数 有 以 下 关 系 ：Q=r4p/(8L) 这 就 著 名 的 泊 肃 叶 定 律 。 令 R 8L/(r4)， 即 Q p/R， R 称 为 流 阻 。可 对 泊 肃 叶 定 律 作 进 一 步 讨 论 ：(1)流 阻 R 与 管 子 半 径 r 的 四 次 方 成 反 比 。 这 说 明 ， 管 子 的 半 径 对 流 阻 的 影 响
2、非 常大 。 例 如 ， 在 管 子 长 度 、 压 强 差 等 相 同 的 情 况 下 ， 要 使 半 径 为 r/2 的 管 子 与 半 径 为 r的 管 子 有 相 同 的 流 量 ， 并 联 细 管 的 根 数 需 要 24， 即 16 根 。(2)流 阻 R 与 管 子 的 长 度 L 成 正 比 。 管 子 越 长 ， 流 阻 越 大 。(3)流 阻 R 与 液 体 的 粘 滞 系 统 成 正 比 。 液 体 的 粘 滞 系 数 越 大 ， 流 阻 就 越 大 。由 此 可 见 ， 流 量 Q 是 由 液 体 的 粘 滞 系 数 、 管 子 的 几 何 形 状 和 管 子 两 端
3、压 强 差P 等 因 素 共 同 决 定 的 。泊 肃 叶 定 律 可 以 近 似 地 用 于 讨 论 人 体 的 血 液 流 动 。 但 应 指 出 ， 由 于 血 管 具 有 弹 性 ，与 刚 性 的 管 子 不 同 ， 其 半 径 是 可 变 的 ， 因 此 流 阻 会 随 血 管 半 径 的 变 化 而 变 化 ， 这 一 变 化也 会 影 响 到 血 液 的 流 量 Q。C3.4.2 泊肃叶定律 将速度分布式（C3.4.6a）沿圆管截面积分，可得体积流量为 RRRxprdxprduQ00 428)(2(C3.4.8a)或48GRQ (C3.4.8b) (C3.4.8a)和(C3.4.
4、8b)式就是著名的泊肃叶定律，它表明不可压缩牛顿流体在圆管中作定常层流时，体积流量正比于比压降和管半径的四次方，反比于流体的粘度。圆管截面上的平均速度为 max2218uRGQV(C3.4.9)上式表明平均速度是最大速度的一半。利用（C3.4.9）沿程水头损失可表为 VgRlGlgphf 28(C3.4.10) 上式表明沿程水头损失与平均速度一次方成正比。上述理论结果（C3.4.8）和（ C3.4.10）式与哈根（G.Hagen,1893）和泊肃叶（J.Poisenille,1840）分别独立地获得的实验结果相吻合，因此（C3.4.8）式被称为哈根-泊肃叶定律，简称泊肃叶定律。泊肃叶定律从理论
5、和实验上首次证实了牛顿粘性假设、壁面不滑移假设的正确性及 N-S 方程的适用性，因此具有重要理论和实际意义。利用泊肃叶定律可求得流体粘度表达式 48GRQ(C3.4.11) 上式表明在一定管径和比压降条件下，流体粘度可通过测量流量来确定，这就是毛细管粘度计的原理。思考题 C3.4.2例 C3.4.1圆管定常层流：N-S 方程精确解 例 C3.4.2毛细管粘度计：泊肃叶流C3.5 圆管湍流流动C3.5.1 湍流简介1湍流的特点迄今为止，还很难对湍流下一个确切定义。笼统地讲，湍流是一种在任一空间点的瞬时物理量都在作剧烈变化的随机运动。近期的研究认为在湍流中存在无序的小尺度脉动结构和具有某种次序的大
6、尺度旋涡结构（拟序结构）的复合结构。湍流的特点是随机性、掺混性和涡旋性，这些特点使湍流元的质量、动量和能量传输强度超过分子运动的几个数量级，例如湍流的表观粘度可比层流的牛顿粘度增加成千上万倍。（管内湍流演示）湍流运动的复杂性给数学表达造成困难，但在工程上感兴趣的是湍流在有限时间段和有限空间域上的平均效应，因此如同对分子运动取统计平均值一样，对湍流质点在更大范围内再取一次统计平均。例如在时域上对有限时间段取平均，称为时均法；在空间域上对有限空间域取平均，称为体均法等。图 C3.5.1图 C3.5.1 为在一定常湍流的某空间点上用热线测速仪测得的 x 方向的瞬时速度分量 u 随时间的变化值。（用热
7、线测速仪测得的湍流信号）瞬时速度可看作时均值（ ）与脉动值（ u）之和(C3.5.1)时均值的平均周期为 T(C3.5.2) 时均值不像瞬时值那样随时间随机变化，而是较缓慢地变化，可用确定性函数表示。对定常湍流，时均值与时间无关而仅是空间位置的函数。脉动值的时间平均值为零类似地，所有湍流物理量均可表示为时均值与脉动值之和，例如压强可表为(C3.5.3)将湍流速度和压强（C3.5.1）式和（C3.5.3）式代入流体力学的基本方程后再取统计平均，可得湍流运动基本方程。当方程中存在脉动值项时，由于脉动值与时均值之间的函数关系难以确定，因此目前在理论上尚无法求解方程，但可以在一定条件下结合实验数据求得
8、半经验半解析结果，以满足工程需要。2、 圆管中的湍流切应力设圆管定常湍流中 x 和 r 方向的速度分量为(C3.5.8) x 方向的流动切应力应由时均速度 的速度梯度决定的层流切应力 l和由脉动速度 u,v 决定的湍流脉动切应力 t（通常称为雷诺应力）两部分组成(C3.5.9)为理解雷诺应力与脉动速度的关系，考察流场中垂直于 r 轴的控制面元A，该处的脉动速度分量为 u,v (图 C3.5.3)。图 C3.5.3单位时间通过 A 进入下层的流体质量为 ， x 方向的动量变化即为A 在 x 方向受到的切向力瞬时切应力为(C3.5.10)由脉动速度的连续性方程可知 u 和 v符号相反，对（C3.5.10）式取时均值即为雷诺应力(C3.5.11)将上式代入（C3.5.9）式(C3.5.12) 圆管中湍切应力从壁面到轴心的分布可分为三个区（图 C3.5.4）：（1） 粘性底层区 在壁面附近的薄层内（厚度 约 0.1mm 量级），时均速度梯度很大（比同流量层流速度梯度大得多），因此粘性切应力占主导地位，而雷诺切应力占次要地位。在壁面上雷诺切应力为零。(2 ) 过渡区 这里雷诺切应力与粘性切应力相当。图 C3.5.4（3）湍流核心区 由于时均速度分布均匀，粘性切应力很小，可忽略不计，雷诺切应力占绝对主导地位。
