1、第七章板壳单元对于小挠度弹性薄板弯曲问题，板的变形完全由垂直于板面的挠度w确定，在一般情况下，取w和它的一阶、二阶导数为参数进行数值计算。当前用来离散薄板的单元多用四边形或三角形单元，相邻之间有弯矩传递，所以将节点看成刚性的。7.1 弹性板的弯曲设板的中面在xy 平面上，即z = 0表示板的中面，在板理论中，一般假设板的中面是一中性面，也就是在没有面内力时，中面上的三个应变x =y =xy = 0 。另一个基本假设即为所谓的直法线假定：变形前垂直于中面的法线变形后仍然保持直线，但是不一定仍然垂直于变形后的中面。这条直线有绕y 和x 轴的转角分别为x 和y 。则距离中面距离为z 的任意点的位移和
2、应变分别是xyxxyyuz vz z z = = = =()xy x y y xyz y yxz x xzww= +=这里w是板的横向挠度，假设它沿板的厚度方向不变，即z =0 。上式是Mindlin 板理论的基本假定。如果假定变形后的法线仍然是变形后中面的法线，即w,x =x和w,y =y ，则式中的两个横向剪切应变yz 和xz 为零，这就退化为Kirchhoff 板理论。当板足够薄时，用Kirchhoff 板理论能得到符合实际的结果。在板理论中经常用内力，即弯矩和剪力来表示，它们与应力之间的关系为：/2 /2 /2/2 /2 /2/2 /2/2 /2hh hxxyyxyxyxxzyyzhh
3、xy xy xyM zdzM zdzM zdzQdQdMM M QQ =式中、是弯矩，是扭矩，、是剪力对于线弹性材料，板内的应力应变关系为：()21010100 1 2xxxyyyxyxED = 7.1.1 Kirchhoff板理论由于忽略横向剪切变形，即，因此板内所有的力学量都能用挠度w表示：x xyyww = =和()()32101000 1 22=12 1xxyyyxy xyMwMD wDEhD = 式中，抗弯刚度为7.1.2 Mindlin板理论根据Mindlin板理论的假设，中面法线在变性后不再垂直于中面，因此必须采用3个位移分量来描述板内的变形，即xyw 、和xxxyyyxy x
4、y y xz = + 则内力与位移的关系为：()101000 1 2xxxyyyxyxMMDM = + 另外为了修正横向剪应力沿板厚均匀分布导致的误差，引入了所谓剪切修正因子来修正剪力，即( )()xxxyyyQGhwQGhw =应用有限元法求解板弯曲问题时，用一些离散的板单元代替原来连续的结构。每个结点有三个广义位移分量，即挠度w，绕x 轴的转角x和绕y 轴的转角y 。挠度w的正方向跟z 轴一致，转角则以按右手螺旋法则标出的矢量沿坐标轴正向为正。7.2 矩形薄板单元每一个节点有三个位移分量，即挠度w，x 和y 。则单元位移列阵和节点力列阵分别为： 11 12 2 233 34 4 4Texy
5、 xy xy xyww ww =111222333444Tezx yzx yzx yzx yP fM M fM M fM M fM M = （1）单元位移场的表达与平面问题矩形单元类似，引入自然坐标系（,）。由于每个节点有3个位移分量，所以选取含有12个参数的多项式作为位移模式：22312 3 4 5 6 72233 38 9 10 11 12waa a a a a aaaaaa =+ + + + + +可以得到转角：233 6 823 29101 121(223 3)xwwaa a ayb baaaa = = + +2245 722389 1 121(2 323)ywwaaa axa aaa
6、 a a = = + + +由节点位移条件可求得待定系数a1至a12：再代入位移模式整理后得到：()()()()()()()()()()412222112 /8111/8111/8ei i xi xi yi yiiiii iixi i i iyi i i iwNwNN NNNbNa =+=+ + + + = + + =+ + 其中形函数：（2）单元应变场的表达由弹性力学几何方程有：1234222/1/(1,234)2/ 22xxxeyyyxy xyiiixxiiy i iiiixywzw zBBBBwNabN aNBN Nb aNbiabNab NN = = = = = = 式中（3）单元应变
7、力的表达由物理方程有：210101001 2ED = eeDS = = （4）单元刚度矩阵单元刚度矩阵的分块子矩阵的公式：311211(, 1,2,3,4)12TTij i i i ihK z B DBdxdydz B DBabd d i j= = 把应变矩阵B和弹性矩阵D代入并运算得到：11 12 1321 22 2331 32 33ijaaaKaaaaaa = 式中9个元素为：22 2211 0 0 0 022 222212 0 02213 0 02221 0315 144 5 53235 15 53235 15 53235 15 5iijiijjjba baaHab abaaaHbbbb
8、baHaaaaaaHbbb =+ = + + + +=+ += + + + +()( ) ()()02222 0 0 0 0221 3 5 5 3 3iaaHbb =+( )( )()()()( ) ()()232231 0 0322233 0 0 0 0200153235 15 51521 3 5 5 3 3,60ijijjjiijijij ijaHabbbaHaaaaHabbaHaaDHab = + +=+ += + +=+=式中7.3 基于Mindlin板理论的四边形单元基于Kirchhoff 薄板理论的薄板矩形单元忽略了剪切变形的影响。由于Kirchhoff 板理论要求挠度的导数连续，
9、给构造协调单元带来了不少麻烦。为此，采用考虑剪切变形的Mindlin 板理论来克服。这种方法比较简单，精度较好，并且能利用等参变换，得到任意四边形甚至曲边四边形单元，因而实用价值较高。根据Mindlin板理论的假设，板内任意一点的位移由3个广义位移确定，为了与有限元的节点位移相对应，采用的位移列阵为：,xyw 11 12 2 233 34 4 4Texy xy xy xyww ww =,x yy x = =（1）单元位移场的表达()4112ei i xi xi yi yiiNwNwNN NNNN N“ = + =其中形函数：（2）单元应变场的表达Mindlin 板理论考虑了横向剪切变形，因此应
10、变有5 个分量，即()yxxyxy y xyzxyzxzxzyz yxwywx = +把位移模式代入得到：12 12,00000 (1,2.)00besbbb bnsss sniiiibi siiiiizBBBBB BBBB BNNxNN yB BinyNNNN xxy“= = = = 式中，（3）单元应力场的表达相应的应力也有5 个分量，它们与应变的关系是：xxyybxy xysyz yzzx zxbbessDDDzBDB = =（4）单元刚度矩阵单元刚度矩阵为：/2/230012hbbeTTbshssTTbbb sssDzBK zB B dxdydzDBhB D B dxdy h B D B dxdy=+
