1、1阶段自测题（中值定理及导数应用）一、填空题1 _0_xxlnim02函数 的极小值点为 y2x2ln13曲线 在对应于 的点处的曲率为 3tt64设 时， 是比 高阶的无穷小，则 ， 0x12bxaex 2a21b5极限 xln1lim二、单项选择题1函数 在点 处导数为零是 在点 取到极值的（ D ）)(xfy0)(xf0（）充分但非必要条件； （）必要但非充分条件；（）充分必要条件； （）非充分、非必要条件。2设 ，则点 （ C ） 1)(lim3axfa ax（）是极大值点； （）是极小值点；（）不是极值点； （）以上结论都不一定成立3函数 在区间 上（ D ） xy),1e（）不存在
2、最大值，不存在最小值； （）最大值是 ；e1（）最大值是 ； （）最小值是 e1 4设 有二阶连续导数，且 ，则（ B ） )(xf 1)(lim,0)(xff（） 是 的极大值；0f)(xf（） 是 的极小值；（） 是曲线 的拐点；)(,f)(xfy2（） 不是 的极值， 也不是曲线 的拐点)0(f)(xf)0(,f )(xfy5设函数 有三阶连续导数，且满足： ；0)(,0, fx则下列结论正确的是（ C ）（A） 是 的极大值； （B ） 是 的极小值；)(0xff )(0fxf（C） 不是 的极值； （D ）不能判别 是否为极值。)( 06设 在定义域内可导，函数 图形如图所示，则导函
3、数 的图形)(xf )(xfy)(xfy为（ D ） 。图象 图象)(xfy)(xfy图象 )(xfy三、求极限 （1） ； xarctn2lim解： xxxxx ee1)arctn2l()arctn2l(imi)arct(li 2)1(arctn2li1tn2lim2xxxx3=xx)arctn2(lim2e（2） )si(1oli20xx21)(!31(4li)sin(cli 342020 xoxzx（3） exxsi)1(lim220211liin)(li 220220 xxxx四、设函数 在 上满足 且 ，证明)f,)(ff0f xef)(证明：令 则 在 上连续，可导，且()xFef
4、F,，所以 ，又因为()0xf ()xC01()exfe五、 （1）当 时，证明2,x x3sin2ta证明：令 ， ， ，xfitn)(0)(f 3cos2se)(xf， ，所以， 当0)(f 01scisasec32 xx )(f单调递增， ，则 当 单调递增，2,x)0(ff )(f)2,(，即当 时，证明3sinta)( xf ,0x xx3sinta（2）若 ，证明不等式： 。20 22cottncos证明：令 ，则 在 上连续，在 上可导，由 Lagrange 中()tanfx()fx,(,)值定理，存在 使得 因为,221ttansec()cos，所以 单调递减20cosx2 2
5、ttanos4六、设函数 对一切 ，满足方程)(xf),(xefxf 1)(121证明：当 在 取得极值，则 是极小值。)(xf(0)(0f证明：若 是极值点，并且 存在，所以 ，则 ，00)fx 0fx 010()xef所以 是极小值。)(0xf七、设函数 在区间 上连续、可导， ， 单调增加，),0)(f)(xf证明： 在区间 单调增加。xfg(),0(证明： ，由 Lagrange 中值定理存在 ，使得2)f (,)x，所以 ，因为 单调增加，所以()fx()xfg)f，所以 因此 单调增加。f0八、求函数 ， 的最大值和最小值32)(1)(x1x解： 是不可导点，3200()fffx所
6、以最大值 最小值(2)1f(21f0)f九、已知某企业生产一种电子产品，生产 件产品的成本为x 2401250xC（单位：元） ，试问：（1）要使每件产品的平均成本最小，应生产多少件产品？解： ，25040cyx25014yxx（2）若产品以每件 500 元售出，要使总利润最大，应生产多少件产品？解： 223250Lx30604十、求曲线 的单调区间，极值点，凹凸区间，拐点坐标及铅直、水平和斜渐近12xy线方程，并绘出曲线的图形52)1(xy 210xy3)1(4xy,),(2,),21y0000单增 凸 2单减 凸 单减 凹 2单增 凹垂直渐近线 不存在水平渐近线112limxx 12limx112li)(li)(2li)(li xyxkfbfk xxx斜渐近线
