1、第二章 多项式与插值,来源于实际、又广泛用于实际。 多项式插值的主要目的是用一个多项式拟合离散点上的函数值，使得可以用该多项式估计数据点之间的函数值。 可导出数值积分方法，有限差分近似 关注插值多项式的表达式、精度、选点效果。,2.1 关于多项式MATLAB命令,一个多项式的幂级数形式可表示为：也可表为嵌套形式或因子形式N阶多项式n个根，其中包含重根和复根。若多项式所有系数均为实数，则全部复根都将以共轭对的形式出现,幂系数：在MATLAB里，多项式用行向量表示，其元素为多项式的系数，并从左至右按降幂排列。例：被表示为 p=2 1 4 5 poly2sym(p)ans =2*x3+x2+4*x+
2、5 Roots: 多项式的零点可用命令roots求的。例： r=roots(p) 得到r =0.2500 + 1.5612i0.2500 - 1.5612i-1.0000 所有零点由一个列向量给出。,Poly: 由零点可得原始多项式的各系数，但可能相差一个常数倍。例： poly(r) ans =1.0000 0.5000 2.0000 2.5000注意：若存在重根，这种转换可能会降低精度。例： r=roots(1 -6 15 -20 15 -6 1) r =1.0042 + 0.0025i1.0042 - 0.0025i1.0000 + 0.0049i1.0000 - 0.0049i0.995
3、8 + 0.0024i0.9958 - 0.0024i 舍入误差的影响，与计算精度有关。,polyval: 可用命令polyval计算多项式的值。例： 计算y(2.5) c=3,-7,2,1,1； xi=2.5; yi=polyval(c,xi)yi =23.8125 如果xi是含有多个横坐标值的数组，则yi也为与xi长度相同的向量。 c=3,-7,2,1,1; xi=2.5,3; yi=polyval(c,xi) yi =23.8125 76.0000,polyfit:给定n+1个点将可以唯一确定一个n阶多项式。利用命令polyfit可容易确定多项式的系数。例： x=1.1,2.3,3.9,
4、5.1; y=3.887,4.276,4.651,2.117; a=polyfit(x,y,length(x)-1) a =-0.2015 1.4385 -2.7477 5.4370 poly2sym(a)ans =-403/2000*x3+2877/2000*x2-27477/10000*x+5437/1000 多项式为 Polyfit的第三个参数是多项式的阶数。,多项式积分：功能：求多项式积分调用格式：py=poly_itg(p)p:被积多项式的系数py：求积后多项式的系数poly_itg.mfunction py=poly_itg(p)n=length(p);py=p.*n:-1:1.(
5、-1),0 不包括最后一项积分常数,多项式微分：Polyder: 求多项式一阶导数的系数。调用格式为: b=polyder(c )c为多项式y的系数，b是微分后的系数， 其值为：,两个多项式的和与差：命令poly_add:求两个多项式的和,其调用格式为:c= poly_add(a,b)多项式a减去b，可表示为:c= poly_add(a,-b),功能：两个多项式相加调用格式：b=poly_add(p1,p2)b:求和后的系数数组 poly_add.m function p3=poly_add(p1,p2) n1=length(p1); n2=length(p2); if n1=n2 p3=p1
6、+p2;end if n1n2 p3=p1+zeros(1,n1-n2),p2;end if n1n2 p3=zeros(1,n2-n1),p1+p2;end,m阶多项式与n阶多项式的乘积是d=m+n阶的多项式:计算 系数的MATLAB命令是:c=conv(a,b) 多项式 除多项式 的除法满足:其中 是商, 是除法的余数。多项式 和可由命令deconv算出。例：q, r=deconv(a,b),例 a=2,-5,6,-1,9; b=3,-90,-18; c=conv(a,b) c =6 -195 432 -453 9 -792 -162 q,r=deconv(c,b) q =2 -5 6 -
7、1 9 r =0 0 0 0 0 0 0 poly2sym(c)ans =6*x6-195*x5+432*x4-453*x3+9*x2-792*x-162,2.2 Lagrange插值,方法介绍对给定的n个插值点 及对应的函数值 ，利用n次Lagrange插值多项式，则对插值区间内任意x的函数值y可通过下式求的：MATLAB实现,function y=lagrange(x0,y0,x) ii=1:length(x0); y=zeros(size(x); for i=iiij=find(ii=i); y1=1;for j=1:length(ij), y1=y1.*(x-x0(ij(j); end
8、y=y+y1*y0(i)/prod(x0(i)-x0(ij); end 算例：给出f(x)=ln(x)的数值表，用Lagrange计算ln(0.54)的近似值。 x=0.4:0.1:0.8； y=-0.916291,-0.693147,-0.510826,-0.356675,-0.223144; lagrange(x,y,0.54) ans =-0.6161 （精确解-0.616143),2.3 Hermite插值,方法介绍不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且要求导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等，满足这一要求的插值多项式就是Hermite插值多项式。下面只讨论函数值与一阶导数值个
9、数相等且已知的情况。已知n个插值点 及对应的函数值和一阶导数值 。则对插值区间内任意x的函数值y的Hermite插值公式：,MATLAB实现 % hermite.m function y=hermite(x0,y0,y1,x) n=length(x0); m=length(x); for k=1:m yy=0.0;for i=1:n h=1.0; a=0.0;for j=1:nif j=ih=h*(x(k)-x0(j)/(x0(i)-x0(j)2;a=1/(x0(i)-x0(j)+a;endendyy=yy+h*(x0(i)-x(k)*(2*a*y0(i)-y1(i)+y0(i);endy(k
10、)=yy; end,算例:对给定数据,试构造Hermite多项式求出sin0.34的近似值。 x0=0.3,0.32,0.35; y0=0.29552,0.31457,0.34290; y1=0.95534,0.94924,0.93937; y=hermite(x0,y0,y1,0.34) y =0.3335 sin(0.34) 与精确值比较 ans =0.3335, x=0.3:0.005:0.35;y=hermite(x0,y0,y1,x); plot(x,y) y2=sin(x); hold on plot(x,y2,-r),2.4 Runge现象和分段插值,问题的提出：根据区间a,b上
11、给出的节点做插值多项式p(x)的近似值，一般总认为p(x)的次数越高则逼近f(x)的精度就越好，但事实并非如此。 反例：在区间-5,5上的各阶导数存在，但在此区间上取n个节点所构成的Lagrange插值多项式在全区间内并非都收敛。 取n=10,用Lagrange插值法进行插值计算。, x=-5:1:5; y=1./(1+x.2); x0=-5:0.1:5; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+x0.2); 绘制图形 plot(x0,y0,-r) 插值曲线 hold on plot(x0,y1,-b) 原曲线为解决Rung问题，引入分段插值。,算法分析：所谓分段插值就是通
12、过插值点用折线或低次曲线连接起来逼近原曲线。 MATLAB实现 可调用内部函数。 命令1 interp1 功能 ： 一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。 格式1 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x与Y的内插值决定。参量x指定数据Y的点。若Y为一矩阵，则按Y的每列计算。 算例 对于t，beta 、alpha分别有两组数据与之对应，用分段线性插值法计算当t=321, 440, 571时beta 、alpha的值。,2.5 分段插值, temp=3
13、00,400,500,600; beta=1000*3.33,2.50,2.00,1.67; alpha=10000*0.2128,0.3605,0.5324,0.7190; ti=321,400,571; propty=interp1(temp,beta,alpha,ti); propty=interp1(temp,beta,alpha,ti ,linear); ti,propty ans =1.0e+003 *0.3210 3.1557 2.43820.4000 2.5000 3.60500.5710 1.7657 6.6489,格式2 yi = interp1(Y,xi) %假定x=1:
14、N，其中N为向量Y的长度，或者为矩阵Y的行数。 格式3 yi = interp1(x,Y,xi,method) %用指定的算法计算插值： nearest：最近邻点插值，直接完成计算；linear：线性插值（缺省方式），直接完成计算；spline：三次样条函数插值。cubic： 分段三次Hermite插值。其它，如v5cubic 。对于超出x范围的xi的分量，使用方法nearest、linear、v5cubic的插值算法，相应地将返回NaN。对其他的方法，interp1将对超出的分量执行外插值算法。 yi = interp1(x,Y,xi,method,extrap) yi = interp1(
15、x,Y,xi,method,extrapval) %确定超出x范围的xi中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN或0。,算例 year=1900:10:2010; product=75.995,91.972,105.711,123.203,131.669,. 150.697,179.323,203.212,226.505,249.633,256.344,267.893; p1995 = interp1(year,product,1995) p1995 =252.9885 x = 1900:1:2010; y = interp1(year, product,x,cubic); plo
16、t(year, product,o,x,y),例:已知的数据点来自函数 根据生成的数据进行插值处理，得出较平滑的曲线 直接生成数据。 x=0:.12:1; y=(x.2-3*x +5).*exp(-5*x ).*sin(x); plot(x,y,x,y,o),调用interp1( )函数： x1=0:.02:1; y0=(x1.2-3*x1+5).*exp(-5*x1).*sin(x1); y1=interp1(x,y,x1); y2=interp1(x,y,x1,cubic); y3=interp1(x,y,x1,spline); y4=interp1(x,y,x1,nearest); pl
17、ot(x1,y1,y2,y3,y4,:,x,y,o,x1,y0) 误差分析 max(abs(y0(1:49) -y2(1:49), max(abs(y0-y3), max(abs(y0-y4) ans =0.0177 0.0086 0.1598, x0=-1+2*0:10/10; y0=1./(1+25*x0.2); x=-1:.01:1; y=lagrange(x0,y0,x); % Lagrange 插值 ya=1./(1+25*x.2); plot(x,ya,x,y,:),例, y1=interp1(x0,y0,x,cubic); y2=interp1(x0,y0,x,spline);
18、plot(x,ya,x,y1,:,x,y2,-),命令2 interp2 功能 二维数据内插值（表格查找） 格式1 ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI) %返回矩阵ZI，其元素包含对应于参量XI与YI（可以是向量、或同型矩阵）的元素。参量X与Y必须是单调的，且相同的划分格式，就像由命令meshgrid生成的一样。若Xi与Yi中有在X与Y范围之外的点，则相应地返回NaN。 格式2 ZI = interp2(Z,XI,YI) %缺省地，X=1:n、Y=1:m，其中m,n=size(Z)。再按第一种情形进行计算。 格式3 ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)
19、 %用指定的算法method计算二维插值：linear：双线性插值算法（缺省算法）；nearest：最临近插值；spline：三次样条插值；cubic：双三次插值。,算例： years=1950:10:1990; service=10:10:30; wage = 150.697 199.592 187.625179.323 195.072 250.287203.212 179.092 322.767226.505 153.706 426.730249.633 120.281 598.243; w = interp2(service,years,wage,15,1975) w =190.6288
20、,例 x,y=meshgrid(-3:.6:3,-2:.4:2); z=(x.2-2*x).*exp (-x.2-y.2-x.*y); surf(x,y,z), axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5),选较密的插值点，用默认的线性插值算法进行插值 x1,y1=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); z1=interp2(x,y,z,x1,y1); surf(x1,y1,z1),axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5),立方和样条插值： z1=interp2(x,y,z,x1,y1,cubic); z2=interp2(x,y,z,x1,y1,spline); s
21、urf(x1,y1,z1),axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5) figure;surf(x1,y1,z2),axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5),算法误差的比较 z=(x1.2-2*x1).*exp(-x1.2-y1.2-x1.*y1); surf(x1,y1,abs(z-z1),axis(-3,3,-2,2,0,0.08) figure;surf(x1,y1,abs(z-z2),axis(-3,3,-2,2,0,0.025),二维一般分布数据的插值,功能:可对非网格数据进行插值 格式:z=griddata(x0,y0,z0,x,y,method) v4 :MATLA
22、B4.0提供的插值算法，公认效果较好；linear：双线性插值算法（缺省算法）；nearest：最临近插值；spline：三次样条插值；cubic：双三次插值。 例： 在x为3，3，y为2，2矩形区域随机选择一组坐标，用 v4 与cubic插值法进行处理，并对误差进行比较。, x=-3+6*rand(200,1);y=-2+4*rand(200,1); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); x1,y1=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); z1=griddata(x,y,z,x1,y1,cubic); surf(x1,y1,z1),axis(-3,3
23、,-2,2,-0.7,1.5) z2=griddata(x,y,z,x1,y1,v4); figure;surf(x1,y1,z2),axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5),误差分析 z0=(x1.2-2*x1).*exp(-x1.2-y1.2-x1.*y1); surf(x1,y1,abs(z0-z1),axis(-3,3,-2,2,0,0.15) figure;surf(x1,y1,abs(z0-z2),axis(-3,3,-2,2,0,0.15),例：在x为3，3，y为2，2矩形区域随机选择一组坐标中，对分布不均匀数据，进行插值分析。 x=-3+6*rand(200,1); y
24、=-2+4*rand(200,1); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); % 生成已知数据 plot(x,y,x) % 样本点的二维分布 figure, plot3(x,y,z,x), axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5)，grid,去除在(-1,-1/2)点为圆心，以0.5为半径的圆内的点。 x=-3+6*rand(200,1); y=-2+4*rand(200,1); % 重新生成样本点 z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); ii=find(x+1).2+(y+0.5).20.52); % 找出不满足条件的点坐标 x=x
25、(ii); y=y(ii); z=z(ii); plot(x,y,x) t=0:.1:2*pi,2*pi; x0=-1+0.5*cos(t); y0=-0.5+0.5*sin(t); line(x0,y0) % 在图形上叠印该圆，可见，圆内样本点均已剔除,用新样本点拟合出曲面 x1,y1=meshgrid(-3:.2:3, -2:.2:2); z1=griddata(x,y,z,x1,y1,v4); surf(x1,y1,z1), axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5),误差分析 z0=(x1.2-2*x1).*exp(-x1.2-y1.2-x1.*y1); surf(x1,y1,a
26、bs(z0-z1), axis(-3,3,-2,2,0,0.1) contour(x1,y1,abs(z0-z1),30); hold on, plot(x,y,x); line(x0,y0) 误差的二维等高线图,命令3 interp3 三维网格生成用meshgrid( )函数,调用格式:x,y,z=meshgrid(x1,y1,z1)其中x1,y1,z1为这三维所需要的分割形式，应以向量形式给出，返回x,y,z为网格的数据生成，均为三维数组。griddata3( ) 三维非网格形式的插值拟合 命令4 interpnn维网格生成用ndgrid( )函数,调用格式:x1,x2,xn=ndgrid
27、v1,v2,vngriddatan( ) n维非网格形式的插值拟合 interp3 ( )、 interpn( )调用格式同interp2()函数一致； griddata3( )、 griddatan( )调用格式同griddata( )函数一致。,例：通过函数生成一些网格型样本点，试根据样本点进行拟合，并给出拟合误差。 x,y,z=meshgrid(-1:0.2:1); x0,y0,z0=meshgrid(-1:0.05:1); V=exp(x.2.*z+y.2.*x+z.2.*y ).*cos(x.2.*y.*z+z.2.*y.*x); V0=exp(x0.2.*z0+y0.2.*x0 +
28、z0.2.*y0).*cos(x0.2.*y0.*z0+z0.2.*y0.*x0); V1=interp3(x,y,z,V,x0,y0,z0,spline); err=V1-V0; max(err(:) ans =0.0419,2.6样条插值的MATLAB表示,定义一个三次样条函数类：S=csapi(x,y)其中x=x1,x2,.,xn, y=y1,y2,yn为样本点。S返回样条函数对象的插值结果，包括子区间点、各区间点三次多项式系数等。 可用 fnplt()绘制出插值结果，其调用格式：fnplt(S) 对给定的向量xp，可用fnval()函数计算，其调用格式：yp=fnval(S,xp) 其
29、中得出的yp是xp上各点的插值结果。,例： x0=0,0.4,1,2,pi; y0=sin(x0); sp=csapi(x0,y0), fnplt(sp,:); hold on, sp = form: ppbreaks: 0 0.4000 1 2 3.1416coefs: 4x4 doublepieces: 4order: 4dim: 1 ezplot(sin(t),0,pi); plot(x0,y0,o) sp.coefs ans =-0.1627 0.0076 0.9965 0-0.1627 -0.1876 0.9245 0.38940.0244 -0.4804 0.5238 0.8415
30、0.0244 -0.4071 -0.3637 0.9093,在(0.4000, 1)区间内，插值多项式可以表示为：,例,点，用三次样条插值的方法对这些数据进行拟合, x=0:.12:1; y=(x.2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x); sp=csapi(x,y); fnplt(sp) c=sp.breaks(1:4) sp.breaks(2:5) sp.coefs(1:4,:),. sp.breaks(5:8) sp.breaks(6:9) sp.coefs(5:8,:) c =Columns 1 through 7 0 0.1200 24.7396 -19.3588 4.
31、5151 0 0.48000.1200 0.2400 24.7396 -10.4526 0.9377 0.3058 0.60000.2400 0.3600 4.5071 -1.5463 -0.5022 0.3105 0.72000.3600 0.4800 1.9139 0.0762 -0.6786 0.2358 0.8400,Columns 8 through 12 0.6000 -0.2404 0.7652 -0.5776 0.15880.7200 -0.4774 0.6787 -0.4043 0.10010.8400 -0.4559 0.5068 -0.2621 0.06050.9600
32、-0.4559 0.3427 -0.1601 0.0356,格式S=csapi(x1,x2,xn,z),处理多个自变量的网格数据三次样条插值类：, x0=-3:.6:3; y0=-2:.4:2; x,y=ndgrid(x0,y0); % 注意这里只能用 ndgrid, 否则生成的 z 矩阵 顺序有问题 z=(x.2-2*x).* exp(-x.2-y.2-x.*y); sp=csapi(x0,y0,z); fnplt(sp);,例,函数spline 功能 三次样条数据插值 格式 yy = spline(x,y,xx) 例:对离散分布在y=exp(x)sin(x)函数曲线上的数据点进行样条插值计算：x = 0 2 4 5 8 12 12.8 17.2 19.9 20; y = exp(x).*sin(x);xx = 0:.25:20;yy = spline(x,y,xx);plot(x,y,o,xx,yy),
