1、隨機過程在量子場論計算中的應用文/林立所謂隨機過程，是指在一定的條件下，可能發生也可能不發生的過程，具有不確定性，亦即：具有機率性。最常見的隨機過程之數學模型就是無規行走(random walk)。大家熟知的布朗運動現象即可利用無規行走來解釋。在無規行走中，最重要的一個物理量就是機率分布函數。它是表示一個在初始時刻位於原點的質點，經過N步無規行走之後，出現在的機率。由於在無規行走模型中，我們假設質點每一次行走之步伐大小相同，所花的時間也相同，所以在中的N即相當於是時間變數。經由條件機率的考量及傅立葉變換的技巧，我們可以推導出的路徑積分表達式，其形式和量子 學中時間 算 ( 子)之Feynman
2、路徑積分表達式在數學 相同，有一個一 一的 應 1。應在物理 也有一定的 ， 一個量子 具有量子不確定性， 有隨機性。量子 學的Feynman路徑積分表示 可以 隨機性 確的表示出來。我們可以 量子 子的路徑積分式中的每一條路徑 一個隨機過程，其 子之 的 重即 ，其中S 量子 所 應的 學 之用量，所以 於動能 位能 。是經過一個Wick：，時間換 時間t之後(所以 式中的currency1數“)，就可以 和無規行走之之路徑積分有一 一 應的形式。在 形式中， 子變fi ，其中SE是 應的 學 之動能 fl位能 ，相當於是 能量 2。 一來，Wick之後 子路徑積分式中的即可 相應的隨機過程
3、發生的機率。在物理 也可以和無規行走之的路徑積分式有 應 3。路徑積分表示 一 解 ，在具有機率性的物理中有 的應用。在 應用中，路徑積分式中之條路徑可以”fi是一個隨機過程。文要是要 路徑積分在量子場論之 計算中的應用。量子場論在數學 就是量子 學，其要在於量子場論 ( )間變fi ，場的 fi “ 學量“，亦即：fi 的 ， 有 應的“動量“( 之 動量場)，於是在量子場論中， 量子 的是場及其動量。我們可以利用下 的表 ”出量子場論 量子 學在數學形式 的 應：質點 學 動量 4和量子 學的 一 ，量子場論也有 量子 。 一 就是“ “的量子 ： 量子 。它的 假設即 表 中所 的 時
4、。 量子 應於 學的Hamilton 。它最大的 是可以經由傅立葉變換 場的 子性 示出來， 在原 可出 Hamilton算 的“ 5。 點是 計算( 其是 的數“計算)時不 。量子 就是函積分 。 是 量子 學中的Feynman路徑積分 的。我們可以由 量子 中的 的 機率 之表達式出發，時間分fi 個 的時 ， 入一組一組的備集，然後即可 場算 , 場函數, , 場動量部分的積分積掉( 部分的積分是高斯積分，所以可以 解析計算)，就會出形式 和量子 學的路徑積分相似的函積分 6。量子場論的函積分 在 計算時是十分 的。首先我們可以採用引入外源的 技巧來 展開計算，在計算過程中 自然的就會
5、Wick定理的結果 7。相 的，在 量子 中，我們必須花費一番功夫才能證 出Wick定理 8。其次，我們有一套 的 可以用來直接計算函積分。 裡所謂的“直接“是指不 展開，也不 其他的近似。 的計算當然適用於強耦合的 ，故通常 計算。文所要 的隨機過程在量子場論計算中的應用，指的 是 。裡所說的函積分其就是路徑積分，是在“場間“中的路徑積分，所以是抽象的路徑。和量子 學的路徑積分相同，量子場論的函積分告訴我們，時間 有來自每一條可能的路徑的 ，其 的 重於，其中S即 量子場論 所 應的 場論的 用量，其中L 量子場論 的拉氏量密度，所以也是動能位能。所以，在量子場論中， 的 在數學 也是一個相
6、位角 子的積分：，不過 裡的積分是一個函積分。可以”出， 極限(即 場論) 是由靜止相位條件來決定的， 可出Euler-Lagrange程，即 場的運動程。然，任何函積分牽涉 的自由度 數必然是不可數的無窮，所以 計算還是必須 一些近似，否 無 執行。在 計算中，首先我們先 時間軸 時間軸， 相當於 一個Wick變換：，其中 純數, , 故 數， 於是 閔氏時入歐氏時， 會使原先函積分中的相位角 子變fi 指數衰 子， 在數學 理積分時會較 9。其中必須強調，我們時間變 時間的動 純粹是一個數學換，尚未 任何近似。接下來，我們 一個近似： 底間(即d+1維時) 子點 ，於是函積分就近似 一重積
7、分。是 來利用電腦 數“計算必須 的準備工 。我們 少近似的誤， 子點的分布必須要夠密，以免偏離連續時太遠 10。由於 使誤不至於過大， 子點的 數然 (例：84個, 104個, 甚至164個, 244個)， 無 利用電腦直接計算 重積分的地步。於是， 計算該重積分，勢必要 近似。 一步的近似就是設 利用隨機currency1 的算 來近似的計算 重積分， 是在 裡用 隨機過程的概念。其 想 是：一式中，指數衰 子之“相 較大(即SE之“相 較小)的場組態 積分有較重大之 ，所以我們要能設計出一 算 ，能夠在(不可數的)無窮個場組態中， 積分 較大的“那些“組態挑起來， 即應有較嚴 來說，是要
8、設計出一 算 ，使我們隨機挑選出來的 個場組態是依 於的機率來分布的 11。所以， 想 其是在原有的時之外， 引入一個假想的時間軸(fake time axis)，原有的d維間，一維()時間，”fi是d+1維間。然後， 一個任 給定的場組態出發，以一定的，沿著假想時間軸產生出一 的場組態。也可以說，在 想 之下的任何一 計算重積分的近似 ，其就是引入一套沿著假想時間軸的“動 學機制“， 套動 學機制會以一定的機率，產生一個隨機過程，使沿著假想時間軸產生出來的場組態 是依 特定的機率分布分布的。 就達 我們當初想要用隨機currency1 的式來近似的計算重積分的目的。接下來在 沿著假想時間軸的
9、動 學機制之前，我們必須先打個岔，強調一件事：在量子場論之函積分( 底時 子點 之後fi 重積分)之計算中，其有 隨機過程。一 隨機過程即 函積分 之個“路徑“， 是沿著底時的路徑，每一個特定的時點 應著一個場“，每一條路徑以之機率出現；另一 隨機過程出現在 裡引入的動 學機制中， 是一 沿著假想時間軸 的路徑，每一個特定的假想時間點 應著一組場組態，在 個隨機過程中，個場組態是以之機率來分布的。可以”出，在 隨機過程中，每一個特定假想時間點 出現的場組態 就是 一 隨機過程。在 提醒讀者 ，不要 隨機過程 。可以說，我們是利用假想時間軸 的動 學機制產生出一個 的隨機過程， 出 個 一 的隨
10、機過程，由 能近似的計算量子場論 的函積分。 在計算重積分時，可以引入不同的動 學機制。 是能使產生出來的場組態 特定的機率來分布的動 學機制 可採用。一 採用的機制分 大 ，一 是 有 偏的 ， 源 ，Metropolis ，Hybrid Monte Carlo (HMC) ，另一 是有 偏的 ， Langevin程，Kramer程是。所謂有 偏，是指產生出來的場組態不是依 來分布的，是依 來分布，其中的即 偏。一 它會和沿著假想時間軸 時離 的步伐大小的 個 次fi 。我們 計算重積分，引入隨機currency1 的概念來 近似， 就 經有 計誤。所以，我們當然不 有一個 偏。 ，在 計算
11、中，我們會 量 免 偏。亦即： 量採用無 偏的 。我們發現，是否有 偏的 是在於我們用來 計算的動 學機制是否 (detailed balance)的條件。 是 的算 給出的結果就 有 偏，有 計誤 11。在 有 偏的 中， 源 是直接產生依 來分布的場組態。所以 理論 來說， 是最 的 ，可 在 中 用不 。 是 我們會由 的隨機變數，產生高斯分布的隨機變數，所以當的 用量是場的 形式時，我們才可能利用 源 來 計算。然， 相 用 不是 ， 其是有費子場在的中，會出現行 式 ，那是場的高度性 ，所以無 利用 源 來 計算。至於Metropolis ，是由另一組初始的場組態出發 ( )， 隨機
12、的產生一組的場組態( )，接，否以的機率接。可以證 Metropolis 的條件， 有 偏 11。是，Metropolis 在 計算中有重大 點，所以也較少 採用。其重大 點 ：隨機產生的場組態會導的“ 小，使組態currency1不會 接， 會一直“在的場組態 ，通常要經過一 時間的時間(假想時間軸的時間)才會走 一組的場組態 。 表示Metropolis 在 應用時，沿著假想時間軸會有 的相 時間度，也就是在隨機currency1 有率。fi Metropolis 的 點，fl 大學的 小組在1987引入一個Hybrid Monte Carlo (HMC) 11， 個 是利用 學中的 Ha
13、milton 運動程 由的場組態產生的場組態的運動程(當然是沿著假想時間軸的運動)，一產生的場組態，以 機率來接。HMC相較於Metropolis ，在決定是否接產生出來的組態的部”，和Metropolis 相同。 可以證 HMC ，所以HMC是 有 偏的；另 ，在產生的場組態 ，Metropolis 是純隨機式的， 可以說是“目的“，然HMC 是利用Hamilton 學的 運動程來產生的， 不是目的， ，由能量可以”出一， 者的數“也會相 小，使的接組態的機率不會太 ， 在 計算中，可以 的就能接的組態，於是能夠在較 的時間之 走過相當一部分的場間， 隨機currency1 。所以HMC 具
14、有Metropolis 的點：無 偏，在 計算中 有Metropolis 的點， 然可以currency1Metropolis 之，在有費子場的中 其是 。 ，現在在 量子場論 計算時，一 是採用HMC 。以 就是 於隨機過程在量子場論中應用的大概 。 的來說，我們 計算量子場論中的 個 機率 林函數的重積分式，首先引入一個假想的時間軸，然後 引入一個可以產生沿著假想時間軸的動 學的動 學機制， 個動 學機制會產生一個隨機過程，在 個隨機過程中出現的場組態會依 來分布， 就達 隨機currency1 的目的， 也近似的計算出我們想要計算的重積分。當然，前 的是度量子場論， 函積分中所表的是量子
15、動。在有限度時， 有量子動 有 動，當 在 態時，其態可由密度算 來 。由於密度算 在數學形式 和時間算 (即 子)一個時間 時間的變換，其中時間相當於度的數，其 相同，所以我們可以直接 有限度量子場論 的密度算 的fi歐式時中的函積分，然後 的計算度量子場論 之 的近似 就可以 過來，近似的計算有限度時之密度算 12。不過，在度時底間之時間軸的度原 可以是無限的。在有限度時， 我們是在計算密度算 ，所以底間之“時間軸“之度必須 於度的數， 是有限的。解：1D.C. Khandekar et. al. , Path-Integral Methods and Their Application
16、(World Scientific), 一 。2 SE中之 E是表Euclidean。我們Wick之後的時間中的 歐氏時間(Euclidean Time)。3當然，量子機率和 機率的來源是不同的。 就導一個重大的 ：在量子物理中，有一個機率 重要的概念，那就是機率 ，其 “ 才是機率。在 物理中，有機率 有機率 的概念。嚴 來說，量子 學的 子給出的是機率 ，不是機率。所以量子 之 子的路徑積分式中的是表機率 。 Wick之後 的然是表機率 。 ， 裡所說的物理 的 應，其是無規行走中的路徑的機率 應於量子 學 子之路徑的機率 。4在量子場論之 時 中，由於 連續currency1“，所以 式
17、 是出現-函數。5L.Ryder, Quantum Field Theory (Cambridge University Press), 。6 於由量子 學的 量子 出Feynman路徑積分之推導過程，可以 考Shankar之Principles of Quantum Mechanics ，H.J. Rothe, Lattice Gauge Theories (World Scientific) 。7L.Ryder, Quantum Field Theory (Cambridge University Press), 。8D. Lurie, Particles and Fields, (Int
18、erScience Publisher), 。9由於所有的物理 是於閔氏時中，所以在歐氏時中 計算個物理量 立的 函數必須要能夠經由一個Wick換 閔氏時中， 才表示在歐氏間中的計算是有 的，其結果是 確的。然歐氏間中的 函數未必能夠解析 閔氏間。也就是說，直接在歐氏時中下來的量子場論模型不一定能 應 的量子 。 考I. Montvay, G. 所著Quantum Fields on a Lattice (Cambridge University Press) 一 之 一 。10H. J. Rothe, Lattice Gauge Theories (World Scientific), 。11H. J. Rothe, Lattice Gange Theories (World Scientific), 十 。12H. J. Rothe, Lattice Gange Theories (World Scientific), 十 。林立19896在 fl 大學 地 分 currency1物理 學位，同9 DESY理論組 任後 ，後 斯特大學 一理論物理所 事 後 。於19942 任於中 大學物理 。林立原 事於 點量子場論的 ，大 前起，改 性物理 計模型及凝態物理之相 。E-mail: llinphys.nchu.edu.tw?物理雙刊（廿卷 期）20056500
