1、拉格朗日插值公式的证明及其应用摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了 Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中“线性化“ (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的
2、应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷.关键词： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点 是准确的，这些数据点所表现的准nkfx0,确函数关系 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线 且点点通过这些点，插值问题不仅xf P要讨论这种近似曲线 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线 是否稳定地收敛于未知P x函数 ，我们先研究一种简单常用的插值拉格朗日插值.xf一.定义，推导及其在解题中的应用.线性插值. 线性插值的定义假定已知区间 的端点处的函数值 , 1,kxkkxfy,要求线性插值
3、多项式 使它满足 , 11kkxfy xL1y1L的几何意义:通过两点 和 的直线，xy1 kyx,1,k如图所示， 的表达式由几何意义直接给出，即 1(点斜式)， 图kkkxxyL11(两点式)1111 kkkyx y=L1x()y=fx()yk+1yk xk+1xkoy x2由两点式方程看出， 由两个线性函数 , 的线性组合得xL11kkxlkxl1到,其系数分别为 及 ,即 ky1 lyxlkk1显然, 及 也是插值多项式,在节点 及 上满足条件xlkl1， ， ， kx01kxl0kxl11kxl称函数, （图）及 （图）为一次插值基函数或线性插值基函数.xlkl1图象为： 图 2 图
4、 3. 线性插值例题例 1. 已知 用线性插值计算.,5274.06.sin,487.03.sin,314567.0.sin 解：由题意取 ， ， 02.xy.1yx3.2yx若取 为节点，则线性插值为：34.,2.10x00101 367.67sin xxyL.365.1.2.89345. 若取 为节点，则线性插值为：36.0,4.21x11211 367.07.36.0sin xxyL80.84. lk+1x()xy1xk+1xkolk+1x()xy1xk+1xko3.二次插值. 二次插值的定义若 时,假定插值节点为 要求二次插值多项式 ,使它满足2n11,kkxxL2jjyxL2( )1
5、,kj的几何意义:通过三点的 , , 的抛物线.xLy2 1,kyxkyx1,ky例如 ，因为它有两个零点 ，故可表示为： .xlk1 1,kx11kkk xAxl由 得 .1kl1kkA所以， .111 kkk xxl同理 ， .11kkk xxl kkk xxl 111函数 , , 称为二次插值基函数或抛物插值基函数.xlk1lklk1在区间 上的图形分别为 : 1,利用二次插值基函数 , xlk1 ., 0, , ,1111 jll jlljkkjkk()klxo1xk+1xkxk-1 lk-1x()yxxk-1o1xk+1xklk+1x()yxxk-1o1xk+1xklkx()yx4,
6、 ,立即可得到二次插值多项式xlklk1xlyxllyxLkkk 112 显然,它满足条件 .jjyx2,即 + ky + xL21ky1kkx11kkxx1kykkxx1. 拉格朗日公式（二次插值）在解题中的应用例 2. 已知函数 （ 为实数 ） 。若 ， ，则caf2,4f2f的最大值是多少？8f提示：由 是偶函数，得 .caxf21ff令节点 ，由拉格朗日插值公式（抛物插值）得,1207218820100 xxl21011 l 218812022 xxl771 fffffff注：用高中知识很难解决该题，从此题中可知拉格朗日公式在解题中的方便与快捷.例 3. 已知 求证： 中至少有一个值不
7、小于 cbxf2 3,2ff 21证明：根据二次函数的插值公式 31321312 fxfxfxf 比较上式两边 的系数，有2 2ff假若 都小于 ，3,1ff 2则 1= 12.1.312 ffff5得出矛盾.所以， 中至少有一个值不小于3,21ff 21注：这是一道全国高中数学联赛题，对高中生有一定难度，但应用高等数学知识来做却易如反掌。从这方面可看出高等数学的学习对我们中学数学教学的指导有重要作用。例 4设 为非等腰 的三边长， 为面积。求证：cba,CAS2143333 Sbcabaca 分析：由不等式左边分母联想到拉格朗日插值公式证明：构造二次多项式： xxf3则由拉格朗日插值公式得
8、cxbaxcbacbaxcabx 333比较等式两边 的系数得2pcabcbacba 2333 由海伦公式得 273432 ppS 因为 不全相等，所以，上式等号不成立.cba,于是， 21432143SpSp小结：由此可推广：设 为互不相等的 个数，则 nx,21 ninknjjknxx1例 5二次函数 满足 ，则 的值是多少？xf92,76,90fff 208f提示：由拉格朗日插值公式可设210626102106 fxfxff 例已知 求 的近似值,4,39,47解：令 ，列表xy6x4091x162xy2y3y4y1).用线性插值多项式三组数据中，可以任取两组数据构造线性插值多项式 鉴于
9、插值点所处的位置，应选取xL1构造 10,yxxL1 453923492410 xxyll所以 ， 6.7L2).用抛物插值多项式用全部数据构造抛物插值多项式 x2491631694216492102 xxylxlylxL所以， 8.753872L结论：对比 时，抛物插值更精确,1n例 7.已知 满足 求 的02acbxf ,831,25,1fff 4f取值范围.分析：解决本题关键是用 表示 ，用高中知识联立方程组3,21ff4f cbaff392求出 并代入 ，从而确定 的取值范围，这样做过程较繁，而使用二次函cba, cbaf46f数的拉格朗日公式却恰到好处.解：由二次拉格朗日公式得 21
10、3213212 xfxfxfxf则 314f由已知得 89f3. 次 Lagrange 插值多项式n上面对 及 2n的情况,得到一次与二次插值多项式 xL1及 , 用插值基函数表示的方1 27法容易推广到一般情形.下面讨论 个节点 的 次插值多项式 ,假定它满足1nnxx10 xLn条件（）jjnyL,为了构造 ,先定义 次插值基函数xLn定义：若 次多项式 在 个节点 上满足条件xlj ,10 1nnxx10jklkj,就称这 个 次多项式 为节点 上的 次插值基函数类似 及1nxllxn,10 nx,10 1n2的推导方法，可得 次插值基函数为 nnkkkkk xxl 110k,10满足（
11、）的插值多项式可表示（）nkxlyxL0由 的定义知 xlkjjnkjnlyxL0 ,1形如()式的插值多项式 称为 Lagrange 插值多项式n令 nn xxxw101易求 nkkkk x 11则（）可改写为： nkknkwxyxL01注意: 次插值多项式 通常是次数为 的多项式,特殊情况次数可能小于 nn n二拉格朗日（Lagrang）插值公式的证明设已知函数 在 个互异的点 处的函数值 ， 现构造xf1nnx,10 jjyxfn,10一个次数不超过 的多项式，使满足8， .（）knyxLn,101.唯一存在性满足插值条件（）的次数不超过 次的多项式()nnn xxaxaxaxL 101
12、02010是唯一存在。证明：把条件（）带入（）式得： nnnnn yxxaxayy 1001010以 的系数组成的行列式为na,10 11001 nnnnn xxxD 11001 nnn由于 互异，所以 ，这样 有唯一的解，所以 唯一存在.nx,10 nDa, xLn2.证明过程证明：以 代入（）式得：10, 1010yxay解得： 010xya从而有 10101010101 lyxyxyxxyaL 这里 ，10xl01xl9易证： . jk,0 1jkxl这就证明了 时，公式成立.现假设 时公式成立，则 时，我们把 代入（）得2n1pnpnpx10010 pp xaxaxL解得：（）10 2
13、01pp ppp xxa 从而 1010010 xxaLaxxL ppppppp 把（）式代入上式得 10101 pppnpp xxLyL从假设得： 111010 pkkkkkp xxyL 1010 1110 - ppk pkkkk pppp xxy 111010 pkkkkk xx 101110010 ppkpkkkk ppk xxyxy 10111010 pkkpkppkkkkpk xx 10111010 pkkpkpkkkkppk xxyxy xlpk0这里 pkkkkk xxxxl 11010易证： jk,0 1jkxl即 时成立 .得证.pn从证明过程可看出，插值基函数的结构和由来是
14、自然而合理的.三拉格朗日插值公式在实际生活（资产评估）中的应用1资产评估公式资产评估就是在利用现时条件下,被评估资产全新状态的重置成本减去资产的各种陈旧贬值后的差额作为被评估资产现时价值,基本计算公式为:资产价值 = 重置全价 ( 实体性贬值 + 功能性贬值 + 经济性贬值 )2. 理论方法与实际应用分析假设某类设备 个功能参数与价格,即已知 个功能参数: ,及其相对1n1nnx,10的 个价格: ,现在的问题是如何根据此组数据列表 :1nnyy,20x01x2 nxyy y功能与成本数据表找出功能与成本之间的函数关系: xfy假设在该参数区间( 插值区间 ) 内存在一条代数多项式的函数曲线,
15、在该曲线上的数值均满足以上各点的数值对应关系,以此函数曲线作为关系式 的模拟曲线，就xfy是所谓的拉格朗日插值法.利用这条曲线（图）,输入新的功功能参数,即可得到重置成本参考价. 图 函数曲线拉格朗日插值多项式为(6)nkkkknk xxxyxL 1100由此公式,代入 时,可看出结果就是对应的 ,假设令 ,即只有两n,1 yy,20 1个数据时,就得到两点插值计算公式:( 7 )01011 xxyxLy=fx()yxyny2y1y0 xnx2x1x0o11这是个线性函数,利用已知两点作一条直线,作为拟合曲线,代表功能与成本之间的关系,也叫线性插值( 图 )若 时,则得到 3 点插值计算公式:
16、2n（8）120221012010 xxyxyxxyL 这是个二次函数,在图形上,即通过已知各点作一条抛物线,代表功能与成本之间的关系,叫抛物线插值( 图 )图 图2.计算机运算方法分析根据以上理论,已知设备信息点越多,曲线拟合也越复杂,品评估的准确率就越高,计算公式也相应地复杂起来.所以只能依靠计算机来解决.为便于计算,可将拉格朗日插值多项式改写为 y( 9 )nkjkjxyxL01编制程序时,只须利用一个二重循环就可完成 值的计算:先通过内循环,即先固定 ，令 从 0n kj到 累乘;然后再通过外循环 ,即令 从 0 到 累加得出插值结果 .nkxLn程序流程图见图:输入 及niyxi ,
17、1,0,x,nk,10py2x2y=fx()y1y0x1x0oyxy=fx()y1y0x1x0oyx12图3. 结论由以上分析可知,采用拉格朗日插值法计算设备的功能重置成本,计算精度较高,方法快捷。但是,由于上述方法只能针对可比性较强的标准设备,方法本身也只考虑单一功能参数,因此,它的应用范围受到一定的限制。作为一种探索,可将此算法以及其他算法集成与计算机评估分析系统中,作为传统评估分析方法的辅助参考工具,以提高资产价值鉴定的科学性和准确性。四评价与总结拉格朗日插值方法式最基本的插值方法，其插值公式形式对称，便于记忆，在了解，证明，应用拉格朗日插值公式的过程中，不仅要注重理论上的认识，更加要应
18、用于实际生活中的各种问题中，不仅只有大学才能用拉格朗日公式来解决各种问题，高中的有些题也可以用它来解决会更加方便快捷，尤其是线性函数和二次函数方面。对于高次函数来说，我们并不了解它的性质特征，而拉格朗日插值公式却能轻易解决这个问题。参考文献:1.李庆扬，王能超，易大义.数值分析.版. 武汉：华中科技大学出版社,2006 年. 2李培明.拉格朗日插值公式的一个应用.高等函授报（自然科学版）.1999 年第 3 期.3.潘铁.浅谈应用多项式的拉格朗日插值公式解题.中等数学报.2010 年第 10 期.nj,1,0?ikjkjxxp1jkyp输出 yx,1134.沈文选，冷岗松.奥林匹克数学中的代表
19、问题M.长沙：湖南师范大学出版社， 20095.贺启君，李树林.谈构造法在高考和数学竞赛中的应用.中等数学报.2010 年第 10 期.8.张可村,赵英良.数值计算的算法与分析M.北京:科学出版社.20039.梁锦鹏.关于拉格朗日插值公式的注释.广东工学院报.1993 年第 10 期.9.王沫然. MATLAB 与科学计算 M.北京: 清华大学出版社 .200010.华东师范大学数学系.数学分析（上,下册）.北京:高等教育出版社.1991.11. 徐长发,王邦.实用计算方法. 武汉:华中科技大学出版社.2005.12. 张光澄. 实用数值分析. 成都：四川大学出版社. 2004.13.李岳生，黄友谦.数值逼近.北京：人民教育出版社，1978.14.张韵华.数值计算方法与算法.北京：科学技术出版社，2007
