1、圆系方程及其应用一、常见的圆系方程有如下几种：1、以 为圆心的同心圆系方程： (,)ab22()()(0)xayb与圆 同心的圆系方程为： 2yxDxEy 2yxDxEy2、过直线 与圆 交点的圆系方程为： （AB2yxDE2yxDxEy ）（ ）xy3、过两圆 : 0， : 交点的圆系方程为： 1C2x11FyEx2C2yx2FyEx 2yx （ ）0（ -，此圆系不含 :FyED2D2C ）2x2x特别地，当 时，上述方程为根轴方程两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆 ，可等价转化为过圆 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:2C1C21
2、11112()()()0xyDEyFDxEyF二、圆系方程在解题中的应用：1、利用圆系方程求圆的方程：例 1 求经过两圆 x2+y2+6x-4=0和 x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线 x-y-4=0上的圆的方程。解一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数法：1用一般式； 2用标准式。（注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。）解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心：1两交点的中垂线与直线相交；2过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交；3两圆心连线与直线相交。解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。例、求经过两圆 3
3、2和 2 交点和坐标原点的圆的方程2yx3yxx解：方法 3：由题可设所求圆的方程为：（ 3 2） （ 2 ）2 （0，0）在所求的圆上， 有2 从而 故所求的圆的方程为： 0)123(2)3(2 yxxyx即 7 。2yxx2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：例 2（1）：求过两圆 和 的交点且面积最小的圆的方程。25xy22(1)()16xy分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。解：圆 和
4、的公共弦方程为25xy22(1)()16xy210xy过直线 与圆 的交点的圆系方程为05，即2(2)xyxy2(5)xyxy依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心 必在公共弦所在直线 上。即 ，则(,) 1021014代回圆系方程得所求圆方程 2279()()48xy例（2）; 求经过直线 ：2 4与圆： 2 4 1的交点且面积最小的圆的方程l yxy解：设圆的方程为： 2 4 1 （2 4）yxy即 （14 ）则 ，2yx)()1(54)8()41()()( 222 r当 时， 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为： 26 12 3758r 5
5、yxxy练习：1求经过圆 x2+y2+8x-6y+21=0与直线 x-y+7=0的两个交点且过原点的圆的方程。（常数项为零）2求经过圆 x2+y2+8x-6y+21=0与直线 x-y+5=0的两个交点且圆心在 x轴上的圆的方程。（圆心的纵坐标为零）3求经过圆 x2+y2+8x-6y+21=0与直线 x-y+5=0的两个交点且面积最小的圆方程。（半径最小或圆心在直线上）4求经过圆 x2+y2+8x-6y+21=0与直线 x-y+5=0的两个交点且与 x轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。（圆心到 x轴的距离等于半径）3、利用圆系方程求参数的值：例 3：已知圆 与直线 相交于 P，Q 两点，O 为坐
6、标原点，若 ，求实数260xym230xyOPQm的值。分析：此题最易想到设出 ，由 得到 ，利用设而不求的思想，联立方程，12(,)(,)PxyQOPQ120xy由根与系数关系得出关于 m的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系 ，不难得出 O在以 PQ为OPQ直径的圆上。而 P，Q 刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线 与圆 的交点的圆系方程为：230xy260xym，即6(3).2(1)xyxy依题意，O 在以 PQ 为直径的圆上，则圆心 显然在直线 上，则 ，1(,)2230xy12(3)0解之可得 又 满足方程，则 ，故 。(0,)30m34、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：例 4 圆系 2 （4 10） 10 20（ ， -）中，任意两个圆的位置关系如何？yxkxykk解：圆系方程可化为： 10 20 （2 4 10）2yxy 与 无关 即k012x5)(022易知圆心（，-）到直线 2 5的距离恰等于圆 的半径故直线 2 5与yyxxy圆 相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，22)5(yx故它们的关系是外切或内切总结：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。
