1、第 卷 第 期 应 用 数 学 学 报年 月抽象凸空间上的拟变分不等式及其应用夏顺友贵州大学计算机科学与技术学院， 贵阳贵州师范学院数学与计算机科学学院， 贵阳摘 要 为了得到不具线性结构的抽象凸空间上的非连续泛函的拟变分不等式解的存在性， 首先， 利用抽象凸空间上的 定理得到抽象凸空间上的弱 不等式解的存在性， 进而得到弱拟变分不等式和拟变分不等式解的存在性 作为推论 得到抽象凸空间上的不动点定理、 不动点定理和 不动点定理 最后， 作为应用给出了抽象凸策略空间上的 人非合作广义博弈 平衡点的存在性关键词 抽象凸空间； 拟变分不等式； 不动点定理； 人非合作广义博弈； 平衡主题分类中图分类引
2、言年， 给出了重要的 不等式 年 把 不等式的解定义为 点并研究了它的稳定性 年， 而拟变分不等式是在研究与随机脉冲与控制相关的问题时提出来的 ， 年，在他们出版的专著里的第六章总结了关于 不等式、 引理、不动点定理等的等价关系， 以及与 引理、 拟变分不等式和 平衡等问题的关系 由于空间的紧性、 凸性和映射的连续性在非线性问题以及优化问题中的重要地位， 因此， 在 年， 提出了抽象凸空间的概念， 并给出关于 条件、 连续选择性质和不动点性质之间关系等结果 满足 条件的抽象凸结构包含了其它各种凸结构 ， 如线性凸、 凸 、 凸、 凸等， 另外 不等式也成为研究改进的主要对象之一 、 下面我们先
3、给出一些预备知识， 然后给出不具线性结构的抽象凸空间上的拟变分不等式解的存在性， 再给出其在博本文 年 月 日收到 年 月 日收到修改稿国家自然科学基金 贵州省科学技术基金 （ 资助项目1 期 夏顺友， 抽象凸空间上的拟变分不等式及其应用弈中的一个应用预备知识定义 如果拓扑空间 的子集族 满足条件：空集对其子集的交运算封闭， 即对任意 ， 若， 则那么称 是 的一个抽象凸结构， 称序对 ， 为抽象凸空间集合災 的抽象凸包定义为： 称 为抽象凸集， 若 显然， 为抽象凸集当且仅当定义 称抽象凸空间 （ 满足 条件， 如果凸结构 具有下面性质： 对每个有限子集 如， 存在连续映射：使得其中 是 维
4、标准单纯形， ， 是 中的标准正交基引理 设 （ 是满足 条件的抽象凸空间， 是一拓扑空间映射满足对任意 ： ， 都有 为闭集， 且 是 映射， 即对任意有限子集 ： 。 ， 都有则对任意有限子集 ， 都有。 进而若存在一个 使得巧耶）紧， 则 具有任意交性质， 即利用引理 和 方法可以得到下面抽象凸空间上的弱 不等式引理 设 （ 是满足 条件的抽象凸空间， 是 中一个非空抽象凸子集， 泛函 宄满足： 对任一 都有 彡 对任一 ； ， 都有 是拟抽象凹的 （即对任一 ， 都有 是抽象凸集 ；存在 使得 的闭包是紧集， 则存在 ， 存在收敛到工 的网 ， 使得对任意 都有 对任意 成立，其中 为
5、某一定向集证 定义集值映射厂又 为：对任意因为条件 对任一 ， 都有咖， ， 所以显然 故 的定义有意义 进而证明 映射 若否， 则存在某个有限集 ， 使 即存在， ， ， 但是 工。 从而有8 0应 用 数 学 学 报 卷为抽象凸集 于是有：因此有 ， 即有 这与条件 矛盾 故 是映射再定义 的闭包映射卞 ： 如下贝 易知闭包映射 歹 满足引理 的所有条件， 于是对任意 奶 ， 扣 ， 都有由条件， 存在 ， 使得 ： 的闭包是紧集， 即 是紧集 从而对任意 ， 都有 是紧集， 因此有：门设 则对任意 ， 都有兩由于兩是闭集， 所以对任意 存在网 使得 所以存在 存在网且忒使得对任意 都有。
6、 ，对任意 成立， 其中为某一定向集注 引理 中 的紧性减弱为条件 ， 若将条件 （ 换成 紧， 则得下面引理引理 设 ， 是满足 条件的抽象凸空间， 是 中一个非空抽象凸紧子集， 泛函 满足 ： 对任一 ， 都有 对任一 都有是拟抽象凹的， 则存在 ， 存在收敛到 的网 使得对任意 都有咖对任意 成立， 其中 为某一定向集主要结果定理 设 （ 为满足 条件的局部抽象凸拓扑空闾 是 中一个非空紧抽象凸子集， 集值映射 是上半连续且是非空抽象凸闭值的， 泛函 满足：对任一 工 ， 都有 对任一， 都有 在 上是抽象凹的；， 在 中是闭集，则存在 ， 使得且存在收敛到 的网 使得对任意 ， 都有工
7、 对任意 成立， 其中 为某一定向集1 期 夏顺友 抽象凸空间上的拟变分不等式及其应用证 用反证法 若对每一个， 或者对任意收敛到 的网 使得存在某个 和某个 使得 ，办）成立 令，则对每一 或者设 是 的任意有限子集 因为 （ 满足 条件， 故存在连续映射 使得其中 是 维标准单纯形， ， ， 是 中的标准正交基由是抽象凸闭集， 则存在 的有限子集 和上述使得 ， 由于 连续和 紧凸， 所以有 紧抽象凸， 且是上半连续闭值的 ， 即 是 的一个上半连续选择 设 ， 但是朱 定义映射 一 为 当 时， 当时， ） 于是 连续 由 与 的分离性， 存在连续线性泛函 使得即也即令 口： ， 则！
8、为开集再令 由条件 （ 有 为开集 而叫和 是紧集， 则存在有限覆盖， 设为 ， ， 以及与之相应的单位分解且幽当且仅当 ：对任意 ， ， 构造泛函 如下：下面验证满足引理 的条件对任一 都有 对任一 都有 是拟抽象凹的于是存在 存在收敛到 的网 使得对任意 都有 彡对任意 成立， 其中 为某一定向集8 2应用 数 学 学 报 卷对 若汍）则 于是对任意工。 必存在某个 后的所有而且 一 也即有 则可以选取 使得 ， ；若有某一 使得似工 则 ； ：于是对任意 必存在某个 后的所有 而且 也即有 。 ）从而存在 使得因此总有某个 后的网 化 而且 。 但是存在 使得￥ 矛盾定理 设 ， 为满足
9、 条件的局部抽象凸拓扑空间 是 中一个非空紧抽象凸子集， 集值映射 是上半连续且是非空抽象凸闭值的泛函 ，妒： 满足：对任一， 都有对任一 都有 在上是抽象凹的；： 矽， 彡 在 ： 中是闭集；对于使得 的每个 都存在 使得其中 表示集合 在 中的内点集， 则存在 使得 且彡 对任意 成立证 显然定理 的条件满足， 只需验证定理 中存在的 为定理 所求用反证法 若存在 使得， 则 ： 由条件， 对 、 存在某个 使得： ， 即存在 的一个邻域 使得讽 对任意乂 都成立这显然与定理 的解 满足的性质矛盾定理 设 为满足丑 条件的局部抽象凸拓扑空间 是 中一个非空紧抽象凸子集 集值映射 是上半连续
10、且是非空抽象凸闭值的 泛函 ： 满足：对任一：， 都有 对任一 都有 在 上是抽象凹的；在 中是闭集；对于使得 的每个 都存在 使得1 期 夏顺友 抽象凸空间上的拟变分不等式及其应用其中 表示集合 在 中的内点集， 则存在 使得 且彡 对任意 成立证 只需在定理 中令 即得注 满足定理 条件 时， 称映射 是关于 可转移下半连续的推论 设 为满足 条件的局部抽象凸拓扑空间 是 中一个非空紧抽象凸子集， 集值映射 是上半连续且是非空抽象凸闭值的 泛函 满足对任一 ， 都有对任一久， 都有 在 上是抽象凹的 ；在 中是闭集；对任一，都有 ： 在 上都是下半连续的 ，则存在 使得且 对任意 成立证显
11、然只需验证推论 中条件 蕴含定理 中条件 即可 因为 关于下半连续必是关于 ： 耶時移下半连续的， 所以推论 中条件 （ 蕴含定理 中条件推论 抽象凸空间中的不动点定理） 设 （ 为满足条件的局部抽象凸拓扑空间是中一个非空紧抽象凸子集， 集值映射是上半连续且是非空抽象凸闭值的 ， 则存在 使得证 只需在推论 中令 即得推论 抽象凸空间中的 不动点定理） 设 是局部抽象凸有限维空间中一个非空紧抽象凸子集， 集值映射 是上半连续且是非空抽象凸闭值的，则存在 使得证 由推论立即可得推论 抽象凸空间中的 不动点定理 设 （， 为满足 条件的局部抽象凸拓扑空间是中一个非空紧抽象凸子集， 则对于连续映射
12、必有使得证 由推论立即可得在博弈论中的应用人非合作广义博弈模型：，是局中人集合；”对任意局中人 ， 是局中人 的策略空间 ； 兄是策略组合空间；对任意局中人 ，是局中人 的支付函数对每一个局中人 记 又 是局中人 的回应映射， 即对每一 ，： ： 表示局中人 的策略选择范围应 用 数 学 学 报 卷记此人非合作广义博弈为 称为博弈 的一个 平衡点 如果有 ， ，：对任意成立定理 若 人非合作广义博弈 ， 满足对每个 是满足 条件的局部抽象凸拓扑空间中的某一紧抽象凸子集；对每个上黾 上的连续泛函 ；对每一 在足上是拟抽象凹的；对每一工， 是上半连续紧抽象凸值的，则广义博弈 存在 平衡点证 方法一
13、： 用推论 ， 即抽象凸空间上的拟变分不等式证明构造泛函 中 为“队， 工一： “ ， ， ，令 为 ， 则 是上半连续紧抽象凸值的容易验证 满足推论 的全部条件：对任一 都有对任一 ， 都有 在上是抽象凹旳；， 在 中是闭集；对任一 ， 都有 工 ， 在上是连续的， 因此是下半连续的从而存在 使得 彡 ， 即 ：取 则 代入式子 有；队，彡 人，即 对任意 成立， 即点 是广义博弈 的平衡点方法二： 用推论 即抽象凸空间上的不动点定理证明对每一个 定义局中人 的最优反应映射 、 为： 乂叫，工 乃于是由 第 章 推论 知巧： 叉 是上半连续的 由 是抽象凸值及人关于而抽象凹知 是抽象凸值的 非空显然 由 是紧值的， 从而 是闭值的以及1 期 夏顺友 抽象凸空间上的拟变分不等式及其应用关于 连续知 是闭值的 ， 从而是紧值的 令 为 ， 、则 厂是非空紧抽象凸值且上半连续旳 ， 故存在 使得 即且也即点 是广义博弈 的平衡点参 考 文 献，：，”，俞建 博弈论与非线性分析 北京， 科学出版社，俞建 自 反 空间中 点的存在性应用数学学报， ，俞建 平衡的存在性和稳定性 糸蚝科学与数学， ，8 6 应 用 数 学 学 报卷俞建 关于良定问题 应用数学学报，彭定涛 非紧集上不连续函数的 不等式及其等价形式和应用 应用 数学学报，、 ，
