1、 学院学 术 论 文关于欧拉定理问题及其应用Euler theorem about application and application姓 名 所在学院 专业班级 学 号 指导教师 日 期 关于欧拉定理问题及其应用摘要：从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。关键词：欧 拉 定 理，数 学 思 想 方 法，应 用。Abstract: from the proof of the theorem of related euler, euler theorem proving mathematical way of thinking, which ref
2、lected on the basis of the application.Keywords: Euler Set Daniel, number and fixed thoughts, should use to party.在初等数论中，关于欧拉定理问题的理解、应用以及体现出的数学思想方法是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题的提出和总结的不够，尤其对它所体现的数学思想方法。为了加深对欧拉定理的有关理解，本文从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。一、 欧拉定理的证明及其体现的数学思想方法（一）定理1(Euler) 1: 设 n是大
3、于 1的整数， （a,n）=1,则a(n) 1 (mod n)证明 1： 首先证明下面这个命题： 对于集合 Zn=x1,x2,.,x(n),其中 xi(i=1,2,(n)是 (n)个 n的素数，且两两互素，即 n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合 S = a*x1(mod n),a*x2(mod n),.,a*x(n)(mod n) 则 S = Zn 1) 由于 a,n互质，xi 也与 n互质，则 a*xi也一定于 p互质，因此 任意 xi，a*xi(mod n) 必然是 Zn的一个元素 2) 对于 Zn中两个元素 xi和 xj，如果 xi xj 则 a*xi(mod n) a*
4、xi(mod n)，这个由 a、p 互质和消去律可以得出。 所以，很明显，S=Zn 既然这样，那么 （a*x1 a*x2.a*x(n)）(mod n) = （a*x1(mod n) a*x2(mod n) . a*x(n)(mod n)）(mod n)= （x1 x2 . x(n)）(mod n) 考虑上面等式左边和右边 左边等于(a*（x1 x2 . x(n)）) (mod n) 右边等于 x1 x2 . x(n)）(mod n) 而 x1 x2 . x(n)(mod n)和 n互质 根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：a(n) 1 (mod n) 证明 2. ：证明：设集合A1,A2,
5、.,Am为模 n的一个缩系（若整数 A1,A2,.,Am2模 n分别对应 0,1,2,.,n-1中所有 m个与 n互素的自然数,则称集合A1,A2,.,Am为模n的一个缩系） 则a A1,a A2,.,a Am也是模 n的一个缩系（如果 a Ax与 a Ay (x不等于 y)除以 n余数相同，则 a(Ax-Ay)是 n的倍数，这显然不可能） 即 A1*A2*A3*AmaA1*aA2*aAm(mod n) （这里 m=(n)） 两边约去 A1*A2*A3*Am即得 1a(n)（mod n）评注 1 ：注意到, Euler 定理的证明虽然十分简单, 但它揭示了重要的数学思想方法3“整体化思想方 法
6、” 。整体化思想方法就是把单个对象始终放在整体对象构成的系统中加以考察, 通过系统对象之间的整体联系或整体特征, 寻求原问题的解决途径。从以上的证明过程知道, Euler 定理的证明依赖于模 m 的简化剩余系的整体性质: “若r1,r2,r(m)是模 m 的简化剩余系, (a,m)=1, 则 ar_1,ar_2,ar(m)也是模 m 的简化剩余系,且模 m的任一简化剩余系中所有数的乘积模 m 都同余” 。类似地, 设a_1,a_2,am 为模 m的完全剩余系, 则 a_i与且只与某一个 i(1im)同余, 由此可得到完全剩余系的整体性质等。利用模 m 的完全剩余系( 或简化剩余系) 的整体性质
7、, 就可以另辟蹊径, 获得巧妙简捷的解(证) 题效果。例题 1：设(a, m) = 1, 0d是使a1（mod m）成立的最小正整数，则（i） 0d/ )(ii)对于任意的 I , j , 0 I , j 0d-1 , I j , 有jia (mod m) （3）解：(i) 由 Euler 定理， 0 )(m （因 )(满足同于式 ，而 0d是最小的）因此 ，由带余除法 ，有)(m= q 0d+r ，q Z, q0 ,0r0.故 a/b=q/( t-1) 即 a( t1-1)=bq .由 (a ,b)=1 即得 b/( t0-1),因而（b ，10）=1(ii) 若（b ，10）=1，则由定理
8、 1知有一正整数 t 使得t101(modb), 0t(b) 成立，因此 ta=qb+a,且 0q t1a/t0(1-1/b)t-1故 ta/b=q+a/b令 q=10 1q+ ta, 1=10 2q+ 1ta, 1tq=10 t+ 1a,0 9i,则 q=tttt 0.01.由 0q 0t,即得 t=0，且 2 . ta不全是 9，也不全是 0。因此q/ t1=0. 1a2 . t,a/b=0. . t+1/ t10*(a/b).反复应用上式即得a/b=0. 1a2 . t1a2. t=0. ta.1.评注 3:在定理 3的条件下，若 t 是使得 0t(modb)能成立的最小正整数，且 (b
9、)=gt,则全体以 b为分母的即约分数化成小数后，若可以分为 g个组，每个组有 t个循环小数，每个循环组小数有 t 个循环数码，这 t个循环数码在这同节的首位数码变为末尾的就行了。（二） 有关欧拉定理在信息安全上的应有（1）目前主要应用在信息安全上。根据 Euler-Fermat定理得到的 RSA（公开密匙）体制是较为安全的加密方法。利用它可以实现数据加密、数字签名。RSA原理如下：设 N=P1*P2.（P1、P2 是两个非常大的素数，通常是一百多位).令 e1*e2=1(mod(P1-1)*(P2-2).假设有需要加密的数据 C(叫做原文)，作变换令 B=Ce1(mod N)，则将数据 C加
10、密成为密文B.这里把 e1、e2 叫做密匙.当接收数据的一方接到密文 C后，根据 Euler-Fermat定理、及预先知道的 e2就可以解出原文 C=Be2 (mod N).从上面可以知道，当第三方截获加密规则并到到密文 B，也就是知道 N、B、e1（这就是公开密匙的内涵） ，欲解出原文 C，还必须知道 e2，但要知道 e2就必须解出 P1-1、P2-1，也就是要知道 P1及 P2.这就牵涉到大数的分解问题，一般来说，按照现在的数学理论及其先进的计算工具，要分解这样的大数没有十来年是办不到的！这就是该算法的一种相对保密性.当然，不排除数学理论会有突飞猛进的时候，那时，这样的算法是否安全，值得商
11、榷.但是这个理论却给出了一种加密的可行之道，就是加密函数的反函数非常不容易求出，所以现在在此原理上已经有另外的加密算法了.设传送密文的为甲方，接收密文的为乙方，那么甲、乙都有自己的一对密匙，甲传送时，按乙的密匙传送，并把自己的签名用自己的密匙加密，那么，只有拥有乙密匙的人才可以解读密文，并且从签名的加密可以知道，这个密文只有拥有甲的密匙的人才能发送.故对数据起到最大的保密效果.（2）经济学中的“欧拉定理”在西方经济学里，产量和生产要素 L、K 的关系表述为 QQ(L，K)，如果具体的函数形式是一次齐次的，那么就有：QL(Q/L)K(Q/K)，换句话说，产品分配净尽取决于 Q能否表示为一个一次齐
12、次函数形式。 因为Q/LMPLw/P 被视为劳动对产量的贡献，Q/KMPKr/P被视为资本对产量的贡献，因此，此式被解释为“产品分配净尽定理” ，也就是所有产品都被所有的要素恰好分配完而没有剩余。因为形式上符合数学欧拉定理，所以称为欧拉定理。欧拉定理中蕴含了丰富的数学思想方法,其应用于我们生活的各方面，在生活、生产中有着非常重要的作用。 其知识结构和数学思想方法形成一个经纬交织, 融会贯通的知识网络, 需要我们去挖掘、揭示。因此, 在初等数论的学习过程中, 应充分利用教材和习题的功能, 注重展示解决问题的思路、思维过程, 体现解决问题策略与方法的多样性, 引导沟通知识间的内在联系, 突出问题的背景和思想方法的阐述, 注重数学思想方法的总结、提炼, 数学知识和相关数学思想方法有机联系起来, 使我们从整体上把握初等数论的理论体系, 理解数学思想方法的内涵,开阔思维视野, 健全认知结构。参考文献：1闵嗣鹤,严士健.初等数论M.北京:高等教育出版社,2003.91-95.2于秀源,瞿维建.初等数论M.济南:山东教育出版社,2001.66- 68.3潘承洞,潘承彪.数学思想方法M.北京:北京大学出版社,1999.144-145.
