1、第四章弹性变形塑性变形本构方程当我们要确定物体变形时其内部的应力分布和变形规律时，单从静力平衡条件去研究是解决不了问题的。因此，弹塑性力学研究的问题大多是静不定问题。要使静不定问题得到解答，就必须从静力平衡、几何变形和物性关系三个方面来进行研究。考虑这三个方面，就可以构成三类方程，即力学方程、几何方程和物性方程。综合求解这三类方程，同时再满足具体问题的边界条件，从理论上讲就可使问题得到解答。在第二、三两章中，我们已经分别从静力学和几何学两方面研究了受力物体所应满足的各种方程，即平衡微分方程式(2-44)和几何方程式 (3-2)等。所以，现在的问题是，必须考虑物体的物性，也即考虑物体变形时应力和
2、应变间的关系。应力应变关系在力学中常称之为本构关系或本构方程。本章将介绍物体产生变形时的弹性和塑性应力应变关系。大量实验证实，应力和应变之间的关系是相辅相成的，有应力就会有应变，而有应变就会有应力。对于每一种具体的固体材料，在一定条件下，应力和应变之间有着确定的关系，这种关系反映了材料客观固有的特性。下面我们以在材料力学所熟知的典型塑性金属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的应力应变曲线(如图 4-1 所示 )为例来说明和总结固体材料产生弹性变形和塑性变形的特点，并由此说明塑性应力应变关系比弹性应力应变关系要复杂的多。在图 4-1 中，OA 段为比例变形阶段。在这一阶段中，应力和应变之间的关系是线性的
3、，即可用虎克定律来表示:=E (4-1)式中 E 为弹性模量，在弹性变形过程中，E 为常数。A 点对应的应力称为比例极限，记作 P。由 A 点到B 点，已经不能用线性关系来表示，但变形仍是弹性的。B 点对应的应力称为弹性极限，记作 r。对于许多材料，A 点到 B 点的间距很小，也即 P 与 r 数值非常接近，通常并不加以区分，而均以 r 表示，并认为当应力小于 r 时，应力和应变之间的关系满足式(4-1)。在当应力小于 r 时，逐渐卸去载荷，随着应力的减小，应变也渐渐消失，最终物体变形完全得以恢复。若重新加载则应力应变关系将沿由 O 到 B 的原路径重现。BF 段称为屈服阶段。C 点和 D 点
4、对应的应力分别称为材料的上屈服极限和下屈服极限。应力到达 D 点时，材料开始屈服。一般来说，上屈服极限受外界因素的影响较大，如试件截面形状、大小、加载速率等，都对它有影响。因此在实际应用中一般都采用下屈服极限作为材料的屈服极限，并记作 s。有些材料的屈服流动阶段是很长的，应变值可以达到 0.01。由 E 点开始，材料出现了强化现象，即试件只有在应力增加时，应变才能增加。如果在材料的屈服阶段或强化阶段内卸去载荷，则应力应变不会顺原路径返回，而是沿着一条平行于 OA 线的 MO(或 HO、 KO)路径返回。这说明材料虽然产生了塑性变形，但它的弹性性质却并没有变化。如果在点 O(或 O、 O)重新再
5、加载，则应力应变曲线仍将沿着 OMFG (或OHEFG、O KFG)变化，在 M 点(或 H 点、K 点) 材料重新进入塑性变形阶段。显然，这就相当于提高了材料的屈服极限。经过卸载又加载，使材料的屈服极限升高，塑性降低，增加了材料抵抗变形能力的现象，称为强化(或硬化)。显然，我们注意到材料变形一旦进人塑性变形阶段，应力和应变就不再具有一一对应的关系。在 F 点之前，试件处于均匀应变状态，到达 F 点后，试件往往开始出现颈缩现象。如果再继续加载则变形将主要集中于颈缩区进行，F 点对应的应力是材料强化阶段的最大应力，称为强度极限，用 Qa表示。由于颈缩区的截面逐渐缩小，所以试件很快受拉被剪断。试件
6、在断裂之前。一般产生有较大的塑性变形。韧性较好的低碳钢材料的应力应变曲线所反映的变形特征既典型又具有代表性。这也为大量固体材料的力学试验结果所证实。综上所述.并对大量固体材料力学试验资料综合分析知，固体材料弹性变形具有以下特点:(1)弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做的功以能量（应变能) 的形式贮存在物体内，当卸载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得以完全恢复。(2)无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状态，在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系。(3)对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。因此，应力与应变是一一对应的关系。而固体材料的塑性变形具有以下特点:(l)塑
7、性变形不可恢复，所以外力功不可逆。塑性变形的产生过程，必定要消耗能量(称耗散能或形变功) 。(2)在塑性变形阶段，应力和应变关系是非线性的。因此，不能应用叠加原理。又因为加载与卸载的规律不同，应力与应变也不再存在一一对应的关系，也即应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载的路径(即加载历史)。(3)当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的弹性区域和产生塑性变形的塑性区域。并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化。但判断物体中某一点是否由弹性状态转变到塑性状态，必然要满足一定的条件(或判据) ，这一条件就称为屈服条件。在分析物体的塑性变形时，材料的屈服条件是非常重要的关
8、系式(详见4-4) 。无疑，在弹性区，材料在加载或卸载的过程中都服从应力应变成线性比例关系，即广义虎克定律(详见4-3)。但在塑性区，加载过程服从塑性规律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。为了考虑材料的变形历史、应研究应力和应变增量之间的关系，以这种关系为基础的理论，称为增量理论。在比例变形条件下，通过对增量理论的应力和应变增量关系的积分，就可以得到全量理论的应力和应变关系。增量形式的应力与应变增量的关系和全量形式的应力应变关系都是非线性的关系式，它们就是塑性变形的应力应变关系(详见4-7) 。此外，若对材料加载，应力超过屈服极限后，卸去载荷，然后再反向加载(即由轴向拉伸改为压缩) ，则这
9、时产生的新的屈服极限将有所降低，如图 4-2 所示， s0。这表明，对于各向同性材料，应变能函数 Uo 恒为正值。例 4-1 将一橡皮方块放入与它等体积的铁盒内，在上面用铁盖封闭，使铁盖承受均匀压力 p，如图 4-l0 所示。假设把铁盖和铁盒视为刚体，且不计橡皮与铁之间的摩擦。试求：(1)铁盒内侧面所受的压力 q 以及橡皮块的体积应变；（2)若将橡皮换成刚体或不可压缩体时，其体积应变将有什么变化。解：取 xyz 坐标系的 z 方向与压力 p 方向一致，则有：因 x=y=0，故得到侧向压力 q 为：体积应变为：当换成刚体时，E ， 因此 = 0；当换成不可压缩体时， =1/2，因此， = 0。4
10、-4 屈服函数主应力空间常用屈服条件4-4-1 屈服函数与应力空间由本章中关于材料弹性变形和塑性变形的讨论及其特点的总结可看出，塑性应力应变关系比弹性应力应变关系要复杂得多。并且我们必须要做的一项工作就是首先要判断材料是处于弹性状态还是已经进人到塑性状态，而进行这一判断所依据的准则，就称为屈服条件，又称塑性条件。当材料处于单向拉伸(或压缩) 应力状态时，我们通过简单的试验如图 4-1 所示) 就可使这一问题容易地得到解决：当应力小于屈服极限 s 时，材料处于弹性状态，当达到屈服极限 s 时，便认为材料已进人塑性状态。即便是对那些应力应变曲线上弹塑性分界不明显的材料，通常将对应于塑性应变为 s=
11、0.2%时的应力 0.2 作为屈服极限来判明，如图 4-11 所示。但是，当材料一旦处于复杂应力状态时，问题就不那么简单了。因为一点的应力状态通常是由六个应力分量所共同确定，因而不能简单地选择其中某一个应力分量的数值来作为判断材料是否进人塑性状态的标准，而是应该考虑到所有这些应力分量对材料进入塑性状态的贡献。当然，也不能采用只根据不同的应力状态进行试验的方法来确定材料的屈服条件。因为要进行次数如此可观的实验是不切实际的，并且所需实验设备和实验方法也较复杂，甚至是目前根本做不到的。那么在复杂应力状态下材料的屈服条件如何确立呢？人们根据材料破坏的现象，总结材料破坏的规律，逐渐认识到：不管固体材料产
12、生断裂或塑性屈服的表面现象多么复杂，对应某种破坏形式都具有共同的某一决定强度的因素。对于同一种材料，无论它处于何种应力状态，当导致它产生某种破坏的这一共同的因素达到某一个极限值时，材料就会产生相应的破坏。因此。我们可以通过材料的简单力学试验来确定这个因素的极限值。现在的问题就是考虑根据简单受力状态的试验结果去建立同复杂应力状态下所有的应力分量都相关的关系，也即屈服条件。在一般情况下，屈服条件与所考虑的应力状态有关，或者说，屈服条件是该点六个独立的应力分量的函数，即为：f（ ij）称为屈服函数。式 (4-40)表示在一个六维应力空间内的超曲面。所谓六维应力空间是以六个应力分量 x， y， 的全体
13、所构成的抽象空间。因为由六个应力分量组成，所以称它为六维应力空间。空间内的任一点都代表一个确定的应力状态。.f（ ij）是这个空间内的一个曲面。因为它不同于普通的几何空间内的曲面，所以称为超曲面。该曲面上的任意一点（称为应力点）都表示一个屈服应力状态，所以又称屈服面。例如，在单向拉伸时，屈服应力 s 应在屈服面上，如用六维应力空间来描述，则该点应为超曲面上的一个点，且该点坐标为( s，0,0,0,0,0）对于各向同性材料来说，坐标轴的转动不应当影响材料的屈服 。而一点的应力状态可用该点的主单元体来表示，因此可以取三个应力主轴为坐标轴。此时，屈服函数式(4-40)可改写为：前面曾经谈到，球形应力
14、状态只引起弹性体积变化，而不影响材料的屈服。所以。可以认为屈服函数中只包含应力偏量，即；这样一来，屈服函数就转化为用应力偏量表示的函数，而且可以在主应力 1、 2、 3 所构成的空间，即主应力空间来讨论。主应力空间是一个三维空间，物体中任意一点的应力状态都可以用主应力空间中相应点的坐标矢量来表示，如图 4-12 所示。因此，我们在这一主应力空间内可以形象地给出屈服函数的几何图象，而直观的几何图形将有助于我们对屈服面的认识。需要说明，在静水压力不太大的情况下，静水压力不影响材料的塑性性质这一假设，对许多金属材料和饱和土质是适用的，但对于岩土一类材料，这一假定并不符合实际.这时就应对式(4-42)
15、进行相应的修正。下面介绍几种特殊的应力状态在主应力空间中的轨迹：1 球应力状态或静水应力状态关于球应力状态，应力偏量为零。即 S1=S2=S3=0，且 1=2=3=m。 显然在主应力空间中，它的轨迹是经过坐标原点并与 1、 2、 3 三坐标轴夹角相同的等倾斜直线 On，如图 4-12 所示，其方向余弦为l1=l2=l3=1/3。On 直线的方程式为：On 直线上各点所对应的应力状态是取不同的 m 值的球应力状态。2 平均应力为零平均应力为零，即 m= 0，应力偏量 Sij 不等于零。在主应力空间中，它的轨迹是一个平面，该平面通过坐标原点并与 On 直线相垂直，也即过原点与坐标平面成等倾斜的平面
16、，我们称它为 平面图 4-12） 。其方程式为；设在主应力空间中。任一点的坐标矢量用 来表示，如图 4-12 所示，它可以分解为在直线 On 方向上的分量 和在 平面上的一个分量(即相当于 ）这就等于把应力张量 ij 分解为球应力张量 ，和偏应力张量 Sij。如果我们所研究的问题希望排除球张量而着重考虑偏张量，那么在主应力空间中，我们只濡要分析应力矢量在，平面上的投影就可以了。3 应力偏量为常量应力偏量为常量，即 S1=C1，S 2=C2，S 3=C3，(C 1、C 2、C 3 为常数)。这时， 1-C1=2-C2 =3-C3=m， 它在主应力空间中的轨迹是与 On 线平行但不经过坐标原点的直
17、线 L，如图 4-13 所示。其方程为；或写为：式（d）中 ， 。显然，直线 L 上各点对应的应力状态具有相同的偏张量，即：4 平均应力为常量平均应力为常量，即 (C 为常量)。其在主应力空间的轨迹为一个与 On 直线正交但不通过坐标原点的平面。显然该平面与 平面平行。其方程为：式（f）中的 d 为该平面与 平面间的距离。显然，该平面上的各点所对应的应力状态具有相同的球张量。我们知道。当应力 ij 较小时 .材料处于弹性状态。这就是说，在主应力空间中，围绕着坐标原点有一个弹性变形区域。在这个区域内，应力的无限小增量 dij 不会引起塑性变形。当应力增大到一定程度，材料便进人了塑性状态，这时应力
18、的增量 dij 就将引起塑性变形(或使塑性变形发生变化)。因此，我们可以设想：在主应力空间中，坐标原点附近的弹性区是被塑性区包围着的，若仅从 平面上来看，弹性区与塑性区的分界为一条曲线，而在主应力空间中，弹性区与塑性区的分界则为一曲面，该曲面就称为屈服面。它是屈服条件式(4-41)在主应力空间中的轨迹。屈服面的概念是拉伸或压缩)应力应变曲线的屈服极限概念的推广。若我们认为球应力静水压力)状态不影响材料的屈服，则上述屈服面必定是一个与坐标轴呈等倾斜的柱体表面，其母线垂直于 平面。显然我们对屈服面的讨论只需研究它与 平面的截迹 C 就可以了，如图 4-14 所示。曲线 C 就称为屈服曲线或屈服轨迹
19、。屈服曲线在 平面内有下列重要性质：（1）屈服曲线是一条封闭曲线。并且坐标原点被包围在内。容易理解，坐标原点是一个无应力状态，材料不可能在无应力状态下屈服，所以屈服曲线必定不过坐标原点。同时，初始屈服面内是弹性状态，所以屈服曲线必定是封闭的，否则将出现在某种应力状态下材料不屈服的情况，这是不可能的。（2）屈服曲线与任一从坐标原点出发的向径必相交一次，且仅有一次。在只讨论初始屈服的条件下，材料既然在一种应力状态下达到屈服，就不可能又在与同一应力状态相差若千倍的另一应力状态下再次达到屈服。初始屈服只有一次。（3）屈服曲线对三个坐标轴的正负方向均为对称。因为材料认为是各向同性的，所以如果（ 1、 2
20、、 3）是屈服时的应力状态，那么( 1、 2、 3)必定也是屈服时的应力状态。这就表明，屈服轨迹应当对称于轴(即坐标轴 在 平面上的投影) 。同样道理，轨迹 C 也对称于轴和轴，如图 4-15 所示。这里需要指出的是图 4-15 所示仅表示理论曲线，未考虑其外凸性。由于我们假定当应力分量改变符号时，屈服函数 f（ ij）的值保持不变，即 f（ ij） =f（- ij） ，所以，如果我们从屈服轨迹上任一点引一条过原点的线段(表示应力按比例卸载，并按同样的比例向反方向加载) ，那末它必定在对称于原点的那一点处与轨迹 C 相交。由此可见，轨迹 C 不仅对称于轴 、，而且还对称于与它们垂直的三条直径，
21、如图 4-15 中虚线所示。这就是说，由这六条线段所分割的 12 个 30幅角中，轨迹的形状是相同的，因此，我们只需要考虑其中任一幅角里的应力矢量就可以了。（4）屈服曲线对坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。可以证明，屈服曲线必定是外凸的(殷绥域，1990)，这就意味着在 平面内任何一根直线至多与屈服曲线相交于两点 (除非该直线本身就是屈服轨迹 C 上的一部分)。下面再讨论一下屈服曲线的可能位置。为不失一般性，可以假设轨迹 C 通过轴上的 A 点，如图 4-16 所示。那么，根据上面讨论过的对称条件，可知 B、F 点( 它们分别在、轴上，且 )同样也是轨迹 C 上的两个点，而且连接 A、B
22、和 A、F 点的两条直线就是外凸的逐段光滑曲线。它通过 A、B 及 F 点，并对称于轴。同时也对称干与轴相邻的两轴(它们分别垂直于轴和轴，图中用虚线表示) 。显然，具有上述特征的其他曲线不可能位于折线 FAB 的内侧。其次，考虑到对轴的对称性，凡是经过 A 点并且是外凸的分段光滑的曲线不可能在直线 FAA的外侧。因此从图 4-17 可知，一切满足各向同性、不计包辛格效应、与球应力状态无关，并且外凸等条件的可能的屈服轨迹一定位于正六边形 ABCDEFA 与 ABCDEFA之间。必须强调指出，并非位于两个六边形之间的一切曲线都是许可的，只有外凸的曲线才是可能的屈服轨迹。4-2-2 常用屈服条件历史
23、上(从 19 世纪中叶开始 )曾经先后提出许多不同形式的屈服条件，如最大正应力条件 (G. Galilea )、最大弹性应变条件(B.Saint Venant)、弹性总能量条件(E.Beltrarni ) ,最大剪应力条件(H.Tresca ) 、歪形能条件(R. Von Mises） 、Mohr 条件 (（）. Mohr)等等。但经过大量的实验验证及工程实践的检验，证明符合工程材料特性，又便于在工程中应用的常用屈服条件有以下两种：1 Tresca 屈服条件1864 年，法国工程师屈雷斯卡(H.Tresea)在做了一系列金属挤压实验的基础上，发现在变形的金属表面有很细的痕纹，而这些痕纹的方向很
24、接近于最大剪应力的方向，因此他认为金属的塑性变形是由于剪切应力引起金属中晶格滑移而形成的。Tresca 提出：在物体中，当最大剪应力 max(指绝对值) 达到某一极限值时，材料便进人塑性状态。当 1 2 3 时，这个条件可写为如下形式：如果不知道主应力的大小和次序，则在主应力空间应将 Tresca 条件写为：在式（4 一 44）中，如果有一个式子为等式时，则材料便已进人塑性状态。若将式(4 一 44)改写为一般性公式，则为：在主应力空间中，式(4-45)的几何轨迹相当于图 4 一 18（a）中所示正六角柱体。该柱体与 12 平面的截迹将 3 代人式(4-45)即得为：这表示六条直线，如图 4-
25、18(b)所示，也即：该柱体与 平面的截迹则为一正六边形，如图 4-18（c）所示。上面出现的 k 值，只需通过简单受力状态的试验来测定。如采用单向拉伸试验，则 s 为屈服极限，于是有。 1=s， 2=3=0，则由式(4-43)得出：若采用纯剪切试验，则：，为剪切屈服极限 s，于是有 1=s， 2=0， 3=-s 得出比较式(4-48) 与式 (4 一 49） ，若 Tresca 屈服条件正确，则必有：最大剪应力的假设，由于和实验结果比较一致，因而一般是被接受的。但在使用 Tresca 条件时，主应力的人小和次序应该知道，因为这样才能求出最大剪应力 max 如果能知道主应力的次序，则使用 Tr
26、esca 条件是很方便的。因为从数学表达式来看，它是个线性的简单公式，使用它求解问题是非常方便的。此外。Tresca 的最大剪应力屈服条件忽略了中间主应力 2 对材料屈服的贡献，这是它的不足之处。2 Mises 屈服条件上面已经指出，Tresca 条件在预知主应力大小次序的问题中，应用起来很方便。但在一般情况下却相当麻烦。191 年德国力学家米塞斯(R. Von Mises)指出：在等倾面上， Tresca 条件六边形的六个顶点是由实验得到的，但是连接六个顶点的直线段却包含了假定(认为中间主应力不影响屈服) ，这种假定是否合适，需经实验证明。Miser 认为：用一个圆来连接这六个顶点似乎更合理
27、，并且可避免因曲线不光滑而造成的数学上的困难。Mises 屈服条件在主应力空间中的轨迹是外接于 Tresca 六角柱体的圆柱体，如图连一19（a）所示，该圆柱体垂直于正八面体斜面或 平面。因此它在 平面上的截迹则为一半径等于的圆，如图 4-19（c ）所示，它在 12 平面的截迹为外接于六角形的椭圆，如图 4-19(b)所示。如用方程表示，Miles 条件可写成：或者写成为上两式中的 k 为常量，其值可通过简单应力状态的试验来测定。若采用单向拉伸试验， s,为屈服极限，则 1=s， 2=3=0，由式（4-51)得：若采用纯剪切试验，同理得 s=k，于是知：也就是说 s0.577 s。1924
28、年汉基(H. Heneky)对 Mises 条件的物理意义做了解释.他指出式(4-51)相当于形状改变应变能密度 等于某一定值，即：Hencky 认为：当韧性材料的形状改变应变能密度 Uod 达到一定数值 k时，材料便开始屈服。若采用单向拉伸试验，则材料屈服时的 ，于是知式 (4-51)同式(4-55)是一致的。故也常将 Mises 屈服条件称为畸变能条件。1937 年纳达依(A. Nadai)对 Mises，条件的物理意义提出了另外的解释。Nadai 认为式(4 -51)相当于八面体剪应力 8 等于某一定值，即也就是说，当八面体剪应力达到一定数值时，材料开始屈服。1952 年诺沃日洛夫（B.
29、B. Harauricm)又对Mises 条件的物理意义用剪应力的均方值给了又一种解释(此略) 。总之，以上三种解释虽然表达形式不同，但实际上。它们之间是存在有内在联系的。有关验证上述屈服条件的试验资料很多。此处不再详细介绍。实验证明：畸变能条件比最大剪应力条件更接近于实验结果，并且不需要预先知道主应力的大小次序，也考虑到了中间主应力 2 对屈服的贡献。图 4-20 给出了薄管实验与拉扭实验的结果。图 4 - 20（a）为泰勒等人（G. I. Taylor,H.Quinney)的拉扭试验结果；图 4 一 20(b)为洛德(W. Lodc )薄管试验结果。例 4-2 有一等截面圆轴，处于弯扭组合
30、应力状态下，如图 4-21 所示。已测得材料的屈服极限为 s=300MPa ,且已知弯矩 Mw = 10kNm，扭矩 Mn=30kNm。若取安全系数为 n=1.2，试按材料力学有关公式和强度理论设计轴的直径。解：圆轴处于弯扭联合作用，故轴内危险点横截面上的两应力分量为：上式中 ，而主应力为：显然。该圆轴内某点的应力状态为 1=max， 2=0， 3=min。且 1、 3 分别为：根据 Tresca 条件知： 1 一 3=s，将式(3)代人，并考虑安全系数后得：解得：所以轴径可取 d10.9cm。根据 Mises 条件知： ，将式(3) 及安全系数计入并化简得：由式(6)解得：所以轴径可取 d1
31、0.4cm 。4 一 5 岩土材料的变形模型与强度准则4-5-1 岩土材料的变形特点及主要假设地质或采掘工程中的岩土、煤炭、土壤，结构工程中的混凝土、石料以及工业陶瓷等材料统称为岩土材料。在一般的常规材料试验机上，进行岩土类介质的材料力学实验时，由于试验机压头的位移量大于试件的变形量，试件在破坏时，试验机贮存的弹性变形能立即释放，对试件产生冲击作用并导致剧烈破坏，因此得不到材料应变软化阶段的规律，即不能得到全应力应变曲线。若采用刚性试验机，并能控制加载速度以适应试件的变形速度，就可获得全应力应变曲线。岩石和混凝土等材料的具代表性的全应力应变曲线如图 4-22 所示。实验表明，当应力较低时，试件
32、材料的内部裂隙被压实，在这个阶段(OA 段)，应力的数值增加不大，而压缩应变较大；在内部裂隙被压实之后，应力与应变呈现近似线性增长，在这个阶段( AB 段)中，伴有体积变化，而 B点的应力值称为屈服强度，随着应力的增加，材料的微裂纹也在不断发生与扩展，因此应力和应变之间表现出明显的非线性增长，也表现出一定的应变硬化特性(BC 段)，C 点的应力值称为强度极限(压缩强度极限 bc 或拉伸强度极限 bt）在 C 点附近，试件总的体积变形从收缩转人扩胀，即材料出现宏观裂纹，裂纹的扩展使得材料的变形不断增加，而应力不断下降，将这一阶段（CD 段)称为应变软化阶段；DE 阶段则显示出了材料的剩余强度。在
33、达到强度极限时积蓄于材料内的应变能的数值为峰值左侧曲线 OABCF 所包围的面积，记为 U1，从裂缝到破坏整个过程所消耗的能量为峰值右侧曲线(FCDE) 所包围的面积 U2。若 U1U 2，则材料破坏后仍剩余一部分能量，这部分变形能的突然释放会伴随有“岩爆” ；若 U1U 2,则变形能在试件破坏过程中全部释放，不会出现岩爆。综上所述。可将岩土材料的应力应变曲线大体分为三段。第 I 阶段( OABC)为应力应变非线性上升，第阶段(CD) 为应变软化阶段，而第阶段(DE)为剩余强度阶段，在有些材料中并不出现该阶段。通常在拉伸情况下，材料的应力应变曲线的变化规律与压缩时相似，但表征各阶段的应力和应变
34、的数值与压缩时有很大的差别。岩土材料的受压强度比受拉时要高得多。关于岩土类材料，通常是处于三向或双向受压状态下。在岩石力学和土力学中，模拟三向受力状态的试验被称为“三轴试验”口三轴试验中最常见的是模拟三向受力状态的一种特殊情况，即在三个相互垂直方向上保持两方向上的压力值相等，而改变另一方向上的压力的大小。这种试验可以在三轴实验机上完成，图 4-23 为这种三轴实验机的主体构造原理示意图。试验时在圆柱体试件周围环绕着流体，把这种流体施以高压来向试件提供围压。在试验过程中，通常使围压保持到某一恒定值，用一个可以推进的活塞压头向试件施加轴向压力，不断增大压力，直到试件产生破坏。一般可以彼此独立地控制
35、围压和轴向载荷，并且设有专门的装置来测量试验时的轴向载荷、围压以及变形量。一般围压愈低，材料屈服强度也愈低，应变软化阶段也愈明显，随着围压的增大，屈服强度增大，塑性性质也明显增加。图 4-24 是伍姆比杨(Wombeyan )大理岩在常规实验机上进行的三轴试验的结果。图 4-24（ a）为伍姆比杨(Wombeyan)大理岩的三轴压缩试验中，随围压增，图 4-24(b)为不同围压下伍姆比杨大理岩的破裂或流动类型。另一种三轴试验就是模拟三个相互垂直方向的压力各自独立变化。为了和上述三轴试验相区别，通常称之为“真三轴试验” 。真三轴试验通常是在立方体岩石试件的三组相互正交对应的表面上，独立地加载来进
36、行的。试验时要特别注意减小受载岩石试件表面上的摩擦，以使试件获得三向受力状态的良好近似值。可想而知，进行真三轴试验要比三轴试验复杂和困难得多，目前这方面还有许多问题有待解决。通过以上讨论和对大量岩土材料的试验资料的分析，人们认识到，由于岩土材料组成上的不均匀性、缺陷以及有裂隙的分布，使得材料在受载过程中细微裂隙进一步扩展与运动，并导致材料的宏观强度和刚度的降低。因此，材料的非弹性变形主要是由微裂隙和缺陷的产生与扩展所引起的。岩土材料的压硬性(抗剪强度随压应力的增高而提高)、剪胀性在剪应力作用下产生塑性体积应变) 、等压屈服(在各向相等的压力作用下产生塑性屈服)，使得岩土塑性理论与金属塑性理论有
37、着重要的差异。这些差异主要表现为：（1）在静水压力不太大或环境温度不太高的工程环境下，岩土类介质表现出应变软化的特性。（2）岩土材料的压硬性决定了岩土的剪切屈服与破坏必须考虑平均应力与材料的内摩擦性能。（3）材料的弹性系数与塑性变形无关是金属材料的特点，而岩土材料则需考虑弹塑性的耦合。（4）在岩土材料中需考虑奇异屈服面。（5）金属材料中的正交流动法则在岩土材料中亦不再适用。由于岩土材料与金属材料在变形特性上的显著差异，岩土材料的强度准则(在金属塑性理论中称屈服条件，在岩土塑性理论中也可称为塑性条件).应包含平均应力；并且能反映应力、应变张量中球形分量与偏斜分量之间存在着交叉影响；体积应变的屈服
38、则使强度准则曲面的端部是封闭的，等等。材料变形的复杂性与描述应力应变模型的多样性，是求解岩土材料承载能力时首先遇到的问题。合理简化应力应变曲线，正确选择强度准则，对求解具有重要意义。由于影响岩土塑性变形的因素较多，且有些因素是不能忽略的，因此岩土塑性理论中的假设相对较少，主要假设有：（1）连续性假设 虽然岩土介质在肉眼可见的尺度内呈现不均匀性和不连续性，但是在进行工程问题的力学分析时，可作为连续介质岩土力学问题，即在更大的尺度范围内来描述各种力学量时，取其统计平均值。（2）不计时间与温度的影响在多数情况下，可以忽略蠕变与松弛效应，并可略去应变率对变形规律的影响。在一般工程问题中，温度的变化是不
39、大的，可以不计温度的影响。4-5-2 岩土材料的变形模型根据大量岩土材料的试验资料，我们可对岩土材料的应力应变曲线进行简化，并将强度极限作为岩土材料变形特性的转折点，则可采用以下几种基本变形模型：(1)理想弹塑性模型该模型假设应力达到最大值后保持不变，而材料的变形仍可继续增长，如图 4-25（a）所示，数学表达式为：该模型适用于材料应变软化不明显时，即在 C 点附近存在着一段应力下降不明显的情况。(2)脆塑性模型如图 4-25(b)所示，在该模型中，应力达到最大值时产生“跌落” ，下降后的应力值称为剩余强度，数学表达式为：其中 B 称为剩余强度系数，且 0B 1。当应变软化剧烈时，采用该模型可
40、以反映出应力跌落的特性。（3）线性软化模型如图 4-25（c）所示，将应变软化过程近似为线性的，即：选取不同的斜率 E1，可以描述材料的不同软化特性。考虑到岩土材料应力应变实验曲线的多样性，也可将上述变形模型进行不同的组合。4-5-3 岩土材料的强度准则在岩土材料实验中，当 时，材料出现宏观裂纹。在复杂应力状态下，将材料出现宏观裂纹时，应力之间所满足的条件称为强度准则。这种提法与金属塑性理论中的屈服条件相类似，所以也可将强度准则称为塑性条件，该条件表示材料将由弹性状态进人非弹性变形状态，两者的临界状态即表示材料进人塑性或出现宏观裂纹，其应变与变形模型相关，对于理想弹塑性模型则表示进人无约束塑性
41、变形状态；对、于脆塑性模型和线性软化模型则分别代表将产生应力跌落和进人线性软化状态。在 C 点(见图 4-22)以后的应力组合仍满足强度准则，但这时表征材料力学性能参数的数值按不同模型有所差别，例如，对于理想弹塑性模型，力学性能参数的值 b 不变，而在脆塑性模型中强度值由 b 降为 Kb， 线性软化模型中强度值的下降与 及 E 有关。因此岩土材料的承载特性不仅与变形模型相关，也与强度准则有关。对于一般岩土材料来说，随着静水压力的增加，屈服应力和破坏应力都有很大增长。即使在初始各向同性的假定下，也应该对式(4-42)进行修正，而采用形式为：的屈服条件。岩土力学中的强度准则通常可表述如下：在介质一
42、点单元体的任何微截面上，其剪应力 n 的大小都不能超过某一临界值。当 n 达到该临界值时，材料就要产生剪切滑移。在最简单的情况下，上述的临界值和破裂面上的正应力 n 之间呈线性关系，即有：这就是库伦(C. A. Coulomb)剪切强度准则。上式中：C 通常为一常量，是固体材料在 n=0 微截面上的抗剪强度。在岩石力学中常称为粘聚力； 为内摩擦角( 在岩上力学中，一般取压应力为正，此时 n 前的负号应改为正号)。在更一般的情况下，式 (4-61）中的 将随 (-n)的增加而减小，也即：这就是莫尔强度准则。莫尔强度准则可用曲线(如双曲线、抛物线、摆线等) 来表示 值随 n 的增加而变化的情况如图
43、 4-26（b）所示。当我们仅考虑 值为常数的情形时，就是库伦剪断裂准则式(4-61) ，表示的是一对射线。如图 4-25(a)所示。介质应力状态的最大应力圆应处于由这两条射线或莫尔包络线 MN 和 MN所包围的区域内，当材料产生剪切滑移时，极限应力圆应与射线或包络线相切。莫尔强度准则的包络线可以通过材料的一系列不同应力状态下的试验，材料产生破坏时的极限应力圆来确定。而在库伦剪切强度准则中，则可用单拉抗拉强度 bt 与单向抗压强度 bc 来表示粘聚力 C 和内摩擦 ，它们之间的关系为：实验表明，用式(4-61)或式(4-62)表示材料中的微裂纹即将开始活动可能更恰当些，故通常以它们来作为岩土材
44、料的屈服条件。经研究证明，库伦剪切强度准则实际上可认为是莫尔强度准则的线性化表示，所以也常称之为莫尔一库伦准则。为了用主应力 1 2 3 表示库伦剪切强度准则，将：代人式(4-61) 得：或写成式(4-64) 中的两个主应力应分别用 1、 2 和 3 轮换，则可分别得到六个表达式。而式(4-64)左端的第二项则反映了静水压力对屈服条件的影响。我们注意到则式(4-64) 还可写成为：式(4-54) 或式(4-65）在 1、 2、 3 主应力空间中形成的屈服面与二平面的截迹为图 4- 27 所示六边形ABCDEF，该六边形的边长相等，但夹角并不相等。而且六边形的大小是随着 m 的增大而线性缩小，当
45、1=2=3=Ccot 时，图形收缩成一点 O。因此，该准则的屈服面为以 平面上六边形为底，以 O为顶的六棱锥体的侧面。由几何表示可知，在库伦准则中考虑到了材料拉压强度极限的明显差异以及静水压力对强度准则的影响。另一种考虑静水压力影响的强度准则是卓柯一普拉格(Trucker-Prager,1952)准则，它是Mises 条件的推广，如图 4-28 所示，可写成：式中 I1=和 1 2 3； 和 K 均为正的材料常数，它们与 C 和 的关系取决于圆锥面与六棱锥面之间的相互关系。若取两个锥面的顶点重合，当 Mises 圆的半径与图 4-27 中 B 的长度相等，即为外接圆锥时有：当为内切圆锥时有：关
46、于材料的屈服条件或强度准则，除已经介绍的 Tresca 条件、Mises 条件、Coulomb 准则、Molr 准则和 Drurker-Prager 准则外，还有选用材料的单拉屈服极限 s 或剪切屈服极限 K 来表示的双剪应力屈服条件(俞茂宏等，1988)，选用单拉抗拉强度 bt 与单向抗压强度 bc 以及双压强度极限 来描述的强度准则，以及根据混凝土破坏包络面的几何特性，建议采用以八面体应力表达的强度准则过镇海等,1991)等，此处由于篇幅所限，就不一一介绍了。4-6 加载准则加载曲面加载方式4-6-1 判别加载与卸载的准则在 4-1 中已经指出，当材料进人塑性状态以后，其应力应变关系对于加
47、载过程和御载过程是不同的，需分别进行研究。因此，我们在具体讨论塑性应力应变关系之前，还需要明确按照什么准则来区分加载过程和卸载过程。在单向拉伸中，当应力 小于 s 时，材料是处于弹性状态的，应力应变关系服从虎克定律。这时不必区分加载和卸载的过程。但是，当应力大于 s 后，材料便处于塑性状态，这时应力应变关系对加载过程和卸载过程便遵循不同的规律。如图 4-29(a)所示，设 M 点的应力为，如果再附加上一个无限小的增量d 时，那么根据拉伸试验的结果可知，当 d 0 时，在拉伸曲线上表征应力状态的点从 M 变化到 M，引起了塑性变形的增长相应的塑性应变的增量 如图 4-29(a)中 NN所示 ；同
48、时材料的屈服极限也提高了，这是强化材料的重要特性，由此而形成的新的屈服点( 如图中 M点) 称为后继屈服点。应力的这种变化(即 d 0)称为加载。如果 d 0，那么新的应力状态便不 M点，而是图 4-29(b)中的 M点。这时材料不会产生新的塑性变形，而且只要应力不超过 ，应力应变关系的变化总是遵循弹性规律，这种情况(即 d 0)称为卸载。由以上分析可知，在简单受力情况下(例如单向拉伸、单向压缩、纯剪切等) ，加载过程和卸载过程是容易区分的。但是，对于复杂应力状态，如何来判别加载和卸载呢？这个问题就要困难得多。当材料已进人塑性状态，设其中某一点的应力状态为 ij，如果给应力状态 ij 一个无限小的增量 dij，则是否会引起新的塑性变形呢？换言之，这个过程是属于加载呢？还是卸载呢？由于塑性变形时所产生的物理过程的复杂性以及实验资料的不充分，目前还不能够较完善地回答这个间题。但是，人们还是建立了一些加载准则，使之能相当广泛地适用于各种加载情况，下面介绍一种最简单的加载准则。因为在单向拉伸( 0)时，d 0 为加载,，d 0 为卸载；而在单向压缩( 0)时，d 0为卸载，d 0 则为加载。如果把这两种情况结合起来，即可得单向受力状态的加载准则如式（4-64)左半部分所示。若将这一加载准则加以推广，则对于复杂应力
