1、 努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 1DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列反比例函数中的面积问题一、 导入：飞翔的蜘蛛信念是一种无坚不催的力量，当你坚信自己能成功时，你必能成功。 一天，我发现，一只黑蜘蛛在后院的两檐之间结了一张很大的网。难道蜘蛛会飞？要不，从这个檐头到那个檐头，中间有一丈余宽，第一根线是怎么拉过去的？后来，我发现蜘蛛走了许多弯路-从一个檐头起，打结，顺墙而下，一步一步向前爬，小心翼翼，翘起尾部，不让丝沾到地面的沙石或别的物体上，走过空地，再爬上对面的檐头，高度差不多了，再把丝收紧，以后也是如此。 温馨提示：蜘蛛不会飞翔，但它能够把网凌结在半空中。它是勤奋、敏感、沉默而坚
2、韧的昆虫，它的网制得精巧而规矩，八卦形地张开，仿佛得到神助。这样的成绩，使人不由想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。于是，我记住了蜘蛛不会飞翔，但它照样把网结在空中。奇迹是执着者造成的。二、 知识点回顾由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设 P 为双曲线 上任意一点，过点 P 作 x
3、轴、y 轴的垂线 PM、PN ，垂足分别为 M、N ，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形 PMON 的面积为 S=|PM|PN|=|y|x|=|xy| xy=k 故 S=|k| 从而得结论 1：过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积 S 为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论 2：在直角三角形 ABO 中，面积 S=结论 3：在直角三角形 ACB 中，面积为 S=2|k|结论 4：在三角形 AMB 中，面积为 S=|k|努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 2三、 专题讲解 考点一 已知面积，求
4、反比例函数的解析式（或比例系数 k） 【例 1】 如图，直线 OA 与反比例函数 的图象在第一象限交于A 点，ABx 轴于点 B，OAB 的面积为 2，则 k 分析：由图象知,k0,由结论及已知条件得 k=4（2）如图，已知双曲线 （ ）经过矩形 的边 的中点 ，且四边形 的面积为 2，则 分析：连结 OB，E、F 分别为 AB、BC 的中点 而 由四边形 OEBF 的面积为 2 得 解得 k=2评注：第小题中由图形所在象限可确定 k0，应用结论可直接求 k 值。第小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含 k 的方程求 k 值。如图，矩形 ABOD 的顶点 A 是函数
5、 与函数 在第二象限的交点， 轴于 B， 轴于 D，且矩形 ABOD 的面积为 3（1）求两函数的解析式（2）求两函数的交点 A、C 的坐标（3）若点 P 是 y 轴上一动点，且 ，求点 P 的坐标解：（1）由图象知 k0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数） ，分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图 5 所示的五个橄榄形（阴影部分） ，则这五个橄榄形的面积总和是 （用含 的代数式表示）分析：x,y 为正整数，x=1,2,4,8,16即 A、B、C 、 D、E 五个点的坐标为(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1
6、)，因五个橄榄形关于 y=x 对称，故有S= =13-26如图， A 和B 都与 x 轴和 y 轴相切，圆心 A 和圆心 B 都在反比例函数 的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 分析：因为圆心 A 中的非阴影部分与圆 B 中的阴影部分为对称图形，圆 A 中的阴影部分与圆 B 中的非阴影部分也关于原点对称，故两阴影部分面积的和等于圆的面积。设圆 A 的圆心 A 的坐标为(x,y)，由图可知，x=yA 点在反比例函数 图象上， 解得 x=1 从而所求面积为 评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。四、 巩固练习：（1） 选择题1、
7、反比例函数 的图象如图所示，点 M 是该函数图象上一点，MN 垂直于 x 轴，垂xky足是点 N，如果 SMON2，则 k 的值为（ ）D(A)2 (B)-2 (C)4 (D)-42、 （四川绵阳）若 A（a 1，b 1） ，B（a 2，b 2）是反比例函数 图象上的两个点，且 a1a 2，则 b1xy2与 b2 的大小关系是（ ）DAb 1b 2 Bb 1 = b2 Cb 1b 2 D大小不确定3、 （福建龙岩）函数 与 在同一坐标系内的图象可以是（ ）Byxm(0)yxxyOAxyOBxyOCxyOD努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 6CBBAAA(第 7 题图)yxO（2） 填空题4
8、、 （湖北潜江）如图，反比例函数 的图象与直线 相交于 B 两点，xy5)0(kxyAC 轴，BC 轴，则ABC 的面积等于 个面积单位 . 10yx（3）解答题5、如图 所示，反比例函数 的图象经过点 ，过点 A 作 AB 垂直 x 轴于点 B，AOB 的面ykxAb3，积为 。（1）求 k 和 b 的值；（2）若一次函数 的图象经过点 A，并且与 x 轴相交于点 M，求 AB：OM 的值。a1分析：以面积为突破口，可求出 A 点纵坐标 b 和系数 k，结合 A 点的双重特性（A 点既在直线上，又在反比例函数图象上）求解相应问题。解：（1）ABBO，A 点坐标为 3， 即又 点 在 双 曲
9、线 上 SBObAykxkO2323|()（2）点 A 在直线 上 a1 231a 3 yx1当 y=0 时， 所以 M 点的坐标为x0， ： ：ABOM2点评：纵观近年来的中考试题，关于反比例函数的综合题大多是与一次函数相结合，做题时常利用交点的双重特性来构造方程（组）解决问题。6.如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A（-2，1） ，B（1，n）两点mx（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围7已知：如图，函数 y=-x+2 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，一直线 L 经过点 C（
10、1，0）将AOB的面积分成相等的两部分（1）求直线 L 的函数解析式；（2）若直线 L 将AOB 的面积分成 1：3 两部分，求直线 L 的函数解析式努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 7五、 拓展训练已知：如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3） 是反比例函数图象上的一动点，其中 过点 作直线轴，交 轴于点 ；过点 作直线 轴交 轴于点 ，交直线于点 当四边形 的面积为 6 时，请判断线段 与 的大小关系，并说明理由分析：（1）由点 A（3，2）
11、在两函数图象上，可求得k=6,a= ，正比例函数为 ,反比例函数为(2)0x3(3)设 D 点坐标为（ 3，t） ，则 M 点坐标为（由四边形 OADM 的面积为 6 得 3+6+3=3t 解得 t=4故点 M 为（ D 点为（3，4）从而 M 点为 BD 中点，BM=DM评注：第小问考查求正比例和反比例函数解析式的基本方法，第小问考查分析图形的能力，第小问考查反比例函数中的面积的计算问题。三个小问题层次分明，有梯度，是一道较好的中考题目六、反思总结努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 8当堂过手训练 （快练 5 分钟，稳准建奇功）1、已知正比例函数 与反比例函数 的图象都过 ，求此正比例函数
12、的解析式及另一个ykxyx3Am()， 1交点的坐标。分析：由 A 点坐标满足 可求得 m 值，再将 A 点坐标代入 可求得正比例函数解析式，联立ykx方程组可求得另一交点坐标。解：因 图象过 ，即 ，故 ，即 A（3，1）yx3()， 13将 A（3，1）代入 ，得k所以正比例函数解析式为 yx3联立方程组得 yxy13132， 解 得 或另一交点坐标为（ ），点评：解此类题时，一般是先构造方程或方程组再来解决问题。2、如图所示，反比例函数 与一次函数 的图象交于 A、B 两点。yx8yx2（1）求 A、B 两点的坐标；（2）求AOB 的面积。3、 （2008 山东省） （1）探究新知： 如图 1，已知ABC 与ABD 的面积相等，试判断 AB 与CD 的位置关系，并说明理由（2）结论应用： 如图2，点 M，N 在反比例函数 （k 0）的图象上，过点 M 作xyMEy 轴，过点 N 作 NFx 轴，垂足分别为 E，F 试证明：MNEF 若 中的其他条件不变，只改变点 M，N 的位置如图3所示，请判断 MN 与 EF 是否平行。
