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1、第 5 章 力 法5.1 超静定结构的概念和超静定次数的确定1. 超静定结构的概念前面讨论的是静定结构，从本章开始我们讨论超静定结构的受力情况。关于结构的静定性可以从两个方面来定义从几何组成的角度来定义静定结构就是没有多余联系的几何不变体系；从受力的角度来定义，静定结构就是只用静力平衡方程就能求出全部反力和内力的结构。现在，我们要讨论的是超静定结构。它同样可以从以上两个方面来定义，从几何组成的角度来定义，超静定结构就是具有多余联系的几何不变体系；从受力的角度来定义，超静定结构就是只用静力平衡方程不能求出全部的反力或内力的结构。如图 5.1(a)所示的简支 梁 是 静 定 的 ， 当 跨 度 增

2、 加 时 ， 其 内 力 和 变 形 都 将 迅 速 增 加 。 为 减 少 梁 的 内 力 和 变 形 ， 在梁 的 中 部 增 加 一 个 支 座 ， 如 图 5.1(b)所 示 ， 从 几 何 组 成 的 角 度 分 析 ， 它 就 变 成 具 有 一 个 多 余联 系 的 结 构 。 也 正 是 由 于 这 个 多 余 联 系 的 存 在 ， 使 我 们 只 用 静 力 平 衡 方 程 就 不 能 求 出 全 部 4个 约束反力 Fax、F ay、F by、F cy 和全部内力。具有多余约束、仅用静力平衡条件不能求出全部支座反力或内力的结构称为超静定结构。图 5.1(b)和图 5.2

3、所示的连续梁和刚架都是超静定结构。图 5.3 给出了工程中常见的几种超静定梁、刚架、桁架、拱、组合结构和排架。本章讨论如何用力法计算这种类型的结构。图 5.1 图 5.2 图 5.3结构力学962. 超静定次数的确定力法是解超静定结构最基本的方法。用力法求解时，首先要确定结构的超静定次数。通常将多余联系的数目或多余未知力的数目称为超静定结构的超静定次数。如果一个超静定结构在去掉 n 个联系后变成静定结构，那么，这个结构就是 n 次超静定。显然，我们可用去掉多余联系使原来的超静定结构(以后称原结构) 变成静定结构的方法来确定结构的超静定次数。去掉多余联系的方式，通常有以下几种：(1) 去掉支座处

4、的一根支杆或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。如图 5.4 所示结构就是一次超静定结构。图中原结构的多余联系去掉后用未知力 x1 代替。图 5.4(2) 去掉一个单铰，相当于去掉两个联系(图 5.5)图 5.5(3) 把刚性联结改成单铰联结，相当于去掉一个联系(图 5.6)。图 5.6(4) 在刚性联结处切断，相当于去掉三个联系(图 5.7)。应用上述去掉多余联系的基本方式，可以确定结构的超静定次数。应该指出，同一个超静定结构，可以采用不同方式去掉多余联系，如图 5.8(a)可以有三种不同的去约束方法，分别如图 5.8(b)、(c) 、(d)所示。无论采用何种方式，原结构的超静定次数都是相同的

5、。所以说去约束的方式不是惟一的。这里面所说的去掉“多余联系”(或“多余约束”) ，是以保证结构是几何不变体系为前提的。如图 5.9(a)所示中的水平约束就不能去掉，因为它是使这个结构保持几何不变的“必要约束”(或“必要联系” )。如果去掉水平链杆(图 5.9b)，则原体系就变成几何可变了。第 5 章 力法 97图 5.7图 5.8图 5.9如图 5.10(a)所示的多跨多层刚架，在将每一个封闭框格的横梁切断，共去掉 34=12个多余联系后，变成为如图 5.10(b)所示的静定结构，所以它是 12 次超静定的结构。如图5.10(c)所示刚架，在将顶部的复铰 (相当于两个单铰)去掉后，变成为如图

6、5.10(d)所示的静定结构，所以它是 4 次超静定的结构。图 5.10结构力学985.2 力法原理和力法方程1. 力法基本原理力法是计算超静定结构最基本的方法。下面通过一个简单的例子来说明力法的基本 原理。如图 5.11(a)所示为一单跨超静定梁，它是具有一个多余联系的超静定结构。如果把支座 B 去掉，在去掉多余联系 B 支座处加上多余未知力 X1，原结构就变成静定结构，说明它是一次超静定结构。此时梁上(图 5.11b)作用有均布荷载 q 和集中力 X1，这种在去掉多余联系后所得到的静定结构，称为原结构的基本结构，代替多余联系的未知力 X1 称为多余未知力，如果能设法求出符合实际受力情况的

7、X1，也就是支座 B 处的真实反力，那么，基本结构在荷载和多余力 X1 共同作用下的内力和变形就与原结构在荷载作用下的情况完全一样，从而将超静定结构问题转化为静定结构问题。如图 5.11(b)所示的基本结构上的 B 点，其位移应与原结构相同，即 B=0。这就是原结构与基本结构内力和位移相同的位移条件。基本结构上同时作用有荷载和多余未知力X1，称其为基本体系。我们可以把基本体系分解成分别由荷载和多余未知力单独作用在基本结构上的这两种情况的叠加( 图 5.11(c)和(e) 的叠加) 。用 表示基本结构在 X1 单独作用下 B 点沿 X1 方向的位移(图 5.11(c)，用 表示当1 1X1=1

8、时 B 点沿 X1 方向的位移，所以有 11= 。这里 时物理意义为：基本结构上，1由于 =1 的作用，在 X1 的作用点，沿 X1 方向产生的位移。用 1p 表示基本结构在荷载作用下 B 点沿 X1 方向的位移。根据迭加原理，B 点的位移可视为基本结构上，上述两种位移之和，即110有 (5-1)上式是含有多余未知为 X1 的位移方程，称为力法方程。式中， 称作系数； 称11为自由项，它们都表示静定结构在已知荷载作用下的位移。利用力法方程求出 X1 后就完成了把超静定结构转换成静定结构来计算的过程。上述计算超静定结构的方法称为力法。它的基本特点就是以多余未知力作为基本未知量，根据所去掉的多余联

9、系处相应的位移条件，建立关于多余未知力的方程或方程组，我们称这样的方程(或方程组)为力法典型方程，简称力法方程。解此方程或方程组即可求出多余未知力。下面计算系数 和自由项1132llEIEI4138qql把 和 代入 5-1 式得1第 5 章 力法 99( )138Xql计算结果 X1 为正值，表示开始时假设的 X1 方向是正确的(向上) 。多余未知力 X1 求出后，其内力可按静定结构的方法进行分析，也可利用迭加法计算。即将 X1=1 单独作用下的弯矩图 M1 乘以 X1 后与荷载单独作用下的弯矩图 MP 迭加。用公式可表示为 1通过这个例子，可以看出力法的基本思路是：去掉多余约束，以多余未知

10、力代替，再根据原结构的位移条件建立力法方程，并解出多余未知力。这样就把超静定问题转化为静定问题了。由于去掉多余联系的方式不同，同一个超静定问题可能选择几个不同的基本结构。 图 5.12(a)就是图 5.11(a)所示的单跨超静定梁的又一基本结构，其多余未知力 X1 是原结构固定端支座的反力偶。读者可根据位移条件列出力法方程，并按图 5.12 所示的 图和MMp 图，求出系数和自由项，解出 X1 并作出 M 图，如图 5.12(f)所示。应该指出的是：不论选用哪种基本结构，力法方程的形式都是不变的，但是力法方程中的系数和自由项的物理意义与数值的大小可能不同。图 5.11 图 5.122. 力法典

11、型方程以上我们以一次超静定梁为例，说明了力法原理，下面我们讨论多次超静定的情况。结构力学100如图 5.13(a)所示的刚架为二次超静定结构。下面以 B 点支座的水平和竖直方向反力X1、X 2 为多余未知力，确定基本结构，如图 5.13(b)所示。按上述力法原理，基本结构在给定荷载和多余未知力 X1、X 2 共同作用下，其内力和变形应等同于原结构的内力和变形。原结构在铰支座 B 点处沿多余力 X1 和 X2 方向的位移(或称为基本结构上与 X1 和 X2 相应的位移)都应为零，即 (5-2)120式(5-2)就是求解多余未知力 X1 和 X2 的位移条件。图 5.13如图 5.14 所示， 表

12、示基本结构上多余未知力 X1 的作用点沿其作用方向，由于荷1载单独作用时所产生的位移； 表示基本结构上多余未知力 X2 的作用点沿其作用方向，2由于荷载单独作用时所产生的位移； 表示基本结构上 Xi 的作用点沿其作用方向，由于ij=1 单独作用时所产生的位移。根据迭加原理，式(5-2) 可写成以下形式jX(5-3)112312 0X图 5.14式(5-3)就是为求解多余未知力 X1 和 X2 所需要建立的力法方程。其物理意义是：在基本结构上，由于全部的多余未知力和已知荷载的共同作用，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相等。在本例中等于零。在计算时，我们首先要求得式(5-3 中的系数和

13、自由项，然后代入式 (5-3)，即可求出X1 和 X2，剩下的问题就是静定结构的计算问题了。如图 5.15(a)所示为一 3 次超静定刚架，我们将原结构的横梁在中间处切开，取这样切第 5 章 力法 101为两半的结构作为基本结构，如图 5.15(b)所示。由于原结构的实际变形是处处连续的，显然，同一截面的两侧不可能有相对转动或移动。因此，在荷载和各多余力的共同作用下，基本结构切口两侧的截面，沿各多余力指向的相对位移都应为零，即：(5-4)1230图 5.15式(5-4)就是求解多余未知力 X1、X 2 和 X3 的位移条件。根据迭加原理，式(5-4)可改 写成 1121312223132330

14、这就是求解多余未知力 X1、X 2 和 X3 所需要建立的力法方程。因为 X1、X 2 和 X3 都是成对的未知力(或力偶)，所以式(5-5) 中与它们相应的 及 应理解为相对位移(相对移动或相对转动) 。3. 力法一般方程的建立用同样的分析方法，我们可以建立力法的一般方程。对于 n 次超静定的结构，用力法计算时，可去掉 n 个多余联系，得到静定的基本结构，在去掉的多余联系处代以 n 个多余未知力。相应地也就有 n 个已知的位移条件 。据此可以建立 n 个关于多余(1,2)i未知力的方程(5-6)11213112222123 1nnnnnnXX 当与多余力相应的位移都等于零，即 时，则式(5-

15、6)即变为0(1,)i(5-7)1121312222123 0nnnnnnXX 结构力学102式(5-6)或 (5-7)就是力法方程的一般形式。通常称为力法典型方程。在以上的方程组中，位于从左上方至右下方的一条主对角线上的系数 称为主()ij系数，主对角线两侧的其他系数 称为副系数，最后一项 称为自由项。所有系()iji数和自由项都是基本结构上与某一多余未知力相应的位移，并规定以与所设多余未知力方向一致为正。由于主系数 代表由于单位力 的作用，在其本身方向所引起的位移，i 1iX它总是与该单位力的方向一致，故总是正的。而副系数 则可能为正、为负或为零。()ij根据位移互等定理，有 ，它表明，力

16、法方程中位于对角线两侧对称位置的两个副ijji系数是相等的。力法方程在组成上具有一定的规律，其副系数具有互等的关系。无论是哪种 n 次超静定结构，也无论其静定的基本结构如何选取，只要超静定次数是一样的，则方程的形式和组成就完全相同。因为基本结构是静定结构，所以力法方程和式(5-6)及(5-7) 中的系数和自由项都可按静定结构求位移的方法求得。对于梁和刚架，可按下列公式或图乘法计算.(5-8)2ddiiijijiPiMsEIsI式中， 、 和 MP 分别代表在 Xi=1、X j=1 和荷载单独作用下基本结构中的弯矩。ij从力法方程中解出多余力 Xi(i=1,2,n)后，即可按照静定结构的分析方法

17、求原结构的反力和内力。或按下述叠加公式求出弯矩(5-9)12nM再根据平衡条件即可求其剪力和轴力。根据以上所述，用力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：(1) 去掉结构的多余联系得静定的基本结构，并以多余未知力代替相应的多余联系的作用。在选取基本结构的形式时，以使计算尽可能简单为原则。(2) 根据基本结构在多余力和荷载共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构相应的位移相同的条件，建立力法方程。(3) 作出基本结构的单位内力图和荷载内力图(或写出内力表达式) ，按照求位移的方法计算方程中的系数和自由项。(4) 将计算所得的系数和自由项代入力法方程，求解各多余未知力。(5) 求出多余未知力后，按

18、分析静定结构的方法，绘出原结构的内力图，即最后内力图。最后内力图也可以利用已作出的基本结构的单位内力图和荷载内力图按公式(5-9) 求得。第 5 章 力法 1035.5.3 用力法计算超静定结构1. 梁和刚架【例 5-1】试分析如图 5.16， (a)所示单跨超静定梁。设 EI 为常数。解：此梁具有 3 个多余联系，为 3 次超静定。取基本结构及 3 个多余力，如图 5.16(b)所示。根据支座 B 处位移为零的条件，可以建立以下力法方程 1121312223132330X其中，X 1 和 X3 分别代表支座 B 处的竖向反力和水平反力，X 2 代表支座 B 处的反力偶。作基本结构的单位弯矩图

19、和荷载弯矩图，如图 5.16(c)、(d)、(e)、(f)所示。利用图乘法求得力法方程的各系数和自由项为图 5.16312()llEIEI221l()lII13230结构力学10421 (3)()26PaPallEI EI2(1I30P关于 的计算分两种情况：不考虑轴力对变形的影响时， ；考虑轴力对变形3 30的影响时， 。将以上各值代入力法方程，而在前两式中消去 后，得16EI3221(3)0lXlPal解以上方程组求得213()lb2l由力法方程的第三式求解 X3 时，可以看出，按不同的假设有不同的结果。若不考虑轴力对变形的影响( 33=0)，则第三式变为 2233()000PalbPaX

20、l所以 X3 为不定值。按此假设，不能利用位移条件求出轴力。如考虑轴力对变形的影响，则 ，而 仍为零，所以 X3 的值为零。03P用迭加公式 计算出两端的最后弯矩，画出最后弯12nMM矩图，如图 5.16(g)所示。【 例 5-2】 试 作 如 图 5.17(a)所 示 梁 的 弯 矩 图 。 设 B 端 弹 簧 支 座 的 刚 度 为 k， EI 为 常 数。解：此梁是一次超静定，去掉支座 B 的弹簧联系，代以多余力 X1。得图 5.17(b)所示的基本结构。由于 B 处为弹簧支座，在荷载作用下弹簧被压缩，B 处向下移动 1X(负号表示移动方向与多余力 X1 的方向相反) ，据此建立如下力法

21、方程。10Pk或改写成11P第 5 章 力法 105图 5.17作基本结构的单位弯矩图和荷载弯矩图，利用图乘法可求得3211(3)6PlalELEL；将以上各值代入力法方程解得:221333()61balXItkkl由上式可以看出，由于 B 端为弹簧支座，多余力 X1 的值不仅与弹簧刚度 k 值有关，而且与梁 AB 的弯曲刚度 EI 有关。当 k=时，相当于 B 端为刚性支承情形，此时。221331()bPaalXl当 k=0 时，相当 B 端为完全柔性支承(即自由端) 情形，此时10X故实际上 B 端多余力(即 B 支座处竖向反力) 在 和 1之间。求得 X1 后，根据作出最后弯矩图，如图

22、5.17，c 所示。1PMX23AC23 311ELabbPaklMIEIlkl；【例 5-3】用力法计算如图 5.18(a)所示刚架。解：刚架是二次超静定结构，基本结构如图 5.18(b)所示。力法方程为1121220PX结构力学106图 5.18第 5 章 力法 107作 、 和 MP 图，用图乘法计算系数和自由项，得12323 131aEIKaEIK22； 3221aEIK4221 81431 qaqIqaIP 42 EKEK代入力法方程，解得qaX)43(11； qaX)43(2M 图如图 5.18(f)所示，读者按 M 图作出 Fs 图。【例 5-4】试作如图 5.19(a)所示刚架

23、的弯矩图。设 EI 为常数。解：此刚架是三次超静定，去掉支座 B 处的三个多余联系代以多余力 X1、X 2 和 X3，得如图 5.19(b)所示的基本结构。根据原结构在支座 B 处不可能产生位移的条件，建立力法方程如下。 112131222313330PXX分别绘出基本结构的单位弯矩图和荷载弯矩图，如图 5.19(c)、(d)、(e)和(f)所示。用图乘法求得各系数和自由项如下 EIIEI 14)6(31)62(21 图 5.19结构力学108EIEIEI132)621(3)6(2I8)13II90)(21 EEIE316231)63 II4)(22IP80)4131 EEIP7566(2 I

24、P12)3将系数和自由项代入力法方程，化简后得 12312345.50416X解此方程组得：X1=9 kN；X 2=6.3 kN；X 3=30.6 kNm按迭加公式计算得最后弯矩图如图 5.20。从以上例子可以看出，在荷载作用下，多余力和内力的大小都只与各杆弯曲刚度的相对值有关，而与其绝对值无关。对于同一材料构成的结构( 即梁、柱的 E 值相同) ，材料的弹性模量 E 对多余力和内力的大小也无影响。图 5.202. 超静定桁架和排架用力法计算超静定桁架，在只承受结点荷载时，由于在桁架的杆件中只产生轴力，故力法方程中的系数和自由项的计算公式为第 5 章 力法 109EAlFNiij2(5-10)

25、2NiijijijNiPijFlEAl桁架各杆的最后内力可按下式计算NnNN FXFXF21 +【例 5-5】试分析如图 5.21(a)所示桁架。设各杆 EA 为常数。解：此桁架是一次超静定。切断 BC 杆代以多余力 X1，得如图 5.21(b)所示的基本结构。根据原结构切口两侧截面沿杆轴方向的相对线位移为零的条件，建立力法方程 110P图 5.21分别求出基本结构在单位力 和荷载单独作用下各杆的内力 和 FNp(图 5.21(c)、1X1N(d)，即可按式(5-10) 求得系数和自由项22221 21()()1)(2)NilPPFaaEAEAPaPaEA代入力法方程求得1X各杆轴力按下式计算

26、1NNPF最后结果示于图 5.21(e)中。结构力学110【例 5-6】用力法计算如图 5.22(a)所示桁架各杆轴力。设各杆 EA 为常数。分析：(1) 本题桁架和荷载都是对称的，宜取对称的基本体系。取对称基本体系时，可计算半个桁架的杆件。(2) 计算 和 1P时，只考虑轴向变形的影响。计算半个桁架的变形时，EF 杆长度可取其一半长度。最后结果为半个桁架杆件变形总和的两倍。因取基本体系时作为多余约束的链杆已切断，基本结构在 X1=1 作用下， 1中应包含切断杆的变形影响；在荷载作用下切断杆轴力为零， 中切断杆的变形影响为零。1P解：(1) 切断对称轴上的 CD 链杆，代以多余未知力 X1，得

27、到基本体系和基本未知量，如图 5.22(b)所示。(2) 列力法方程： 110PX。(3) 计算 ，并求 、 。1NPF、1P、，图如图 5.22(c)、(d)所示。 11NllPPFEA2113.527N1FlEAEA160PPl(4) 解方程： 124.57(k)X(5) 利用叠加公式 计算机轴力。各杆轴力结果见表 5.1 及图 5.22(e) 1NNPF所示。具体计算可列表进行，见表 5.1。杆件 EA l (m) FNP(kN) 1N1NPFl1Nl1NNPFXAC EA 4.24 -56.57 0 0 0 -56.57AE EA 3.00 +40.00 0 0 0 +40.00CE

28、EA 3.00 +70.00 3/4 157.50 1.69 +35CF EA 5.00 -50.00 54312.50 7.81 +8.34EF EA 2.00 +80.00 1 160 2 +33.33CD EA 2.00 0 1 2 -46.67 630 13.5 第 5 章 力法 111图 5.22【例 5-7】如图 5.23 所示为两跨厂房排架的计算简图。求在图示吊车荷载作用下的内力。计算数据如下。1) 截面惯性矩左柱：上段 IS1=10.1104 cm4，下段 IX1=28.6104cm4右柱及中柱：上段 IS2=16.1104 cm4，下段 IX2=81.8104cm4图 5.2

29、3(2) 右跨吊车荷载竖向荷载 PH=108kN，P E=43.9kN。由于 PH、P E 与下柱轴线有偏心距 e=0.4m，因此在H、E 点的力偶荷载为 MH=PHe=43.2kN m；M E=PEe=17.6kN m。解：横梁 FG 和 DE 是两端铰接的杆件，在吊车荷载作用下横梁起链杆作用，只受轴力。此排架是两次超静定结构。取链杆 FG 和 DE 的轴力 X1 和 X2 为多余未知力。截断两个链杆的轴向约束，在切口结构力学112处加上轴力 X1 和 X2，得出基本体系如图 5.24(b)所示。图 5.24这里需要说明两点：第一，多余未知力 X1 和 X2 都是广义力，每个广义力是由数值相

30、等、方向相反的一对力组成的。第二，通常说的切断一根杆件，是指在切口处把与轴力、剪力和弯矩相应的三个约束全部切断。这里说的切断杆件中的轴向约束，即指切断与轴力相应的那一个约束，另外两个约束仍然保留。如图 5.24(b)所示为杆 FG 在切口处的详细情形。力法基本方程为 1121220PX这里 和 分别表示与轴力 X1 和 X2 相对应的广义位移，即切口处两个截面的轴向12相对位移。因此，这里力法基本方程所表示的变形条件为：切口处的两个截面沿轴向保持接触，即沿轴向的相对位移为零。作基本结构的 MP、 图( 图 5.25(a)、(b) 、(c)，由此求得自由项和系数如下 (图12和5.24(a)中小

31、圆圈内的数字是各杆 EI 的相对值)112.609.35d7(43.2176)03(m)8.2.1.69.5.PPsEI1122 .6.2.59238.10.75.2(.67)86.73d16. .0231.(45)83MsIsEI12 45205.9(m)6.7.10()2 力法方程为 123.435.94.X解方程得第 5 章 力法 113114.3kN0.73kXX，在排架计算中，柱是阶梯形变成面杆件，柱底为固定端，柱顶与屋架为铰接。通常忽略屋架轴向变形的影响。利用迭加公式 作 M 图，如图 5.25(d)所示。12PM图 5.253. 超静定组合结构桁架是链杆体系，计算其位移时只考虑轴

32、向力的影响。组合结构中既有链杆又有梁式杆，计算位移时，对链杆只考虑轴力的影响，而对梁式杆通常可忽略轴力和剪力的影响，只考虑弯矩的影响。【例 5-8】如图 5.26(a)所示为一次超静定的组合结构，求在图示荷载作用下的内力。各杆的刚度给定如下。杆 AD 为梁式杆： EI=1.4104kN m2EA=1.99106kN杆 AC 和 CD 为链杆： EA=2.56105kN杆 BC 为链杆： EA=2.20105kN解：(1) 求基本体系和力法方程结构力学114切断多余链杆 BC，在切口处代以未知轴力 X1，得到如图 5.26(b)所示基本体系。基本体系由于荷载和未知力在 X1 方向的位移应当为零，

33、亦即切口处两截面的相对位移应为零。由此得力法方程： 110P图 5.26(2) 求系数和自由项。在基本结构切口处加单位力 X1=1。各杆轴力可由结点法求得，如图 5.27(a)所示。杆AD 还有弯矩，M 1 图如图 5.27(b)所示。基本结构在荷载作用下，各杆没有轴力，只有杆 AD 有弯矩，由集中荷载和均布荷载产生的两个 MP 图分别如图 5.27(c)和(d)所示。2 2111 62 25 511 41.4971d 1.49(.85.9).03.0(93)(0.8)9m/kN.602.1d971.49.NPPFls+EIAsI 1.35220.61.(35.7)0.38()3 (3) 求多

34、余未知力第 5 章 力法 11510.43810.5(kN)9PX压 力(4) 求内力内力叠加公式为 1NNPFXM各杆轴力及横梁 AD 弯矩图见图 5.28(a)、(b)所示。图 5.27(5) 讨论由图 5.28(b)可以看出，横梁 AD 在中点 B 受到下部桁架的支承反力为 104.5kN，这时横梁最大弯矩为 79.9kN 如果没有下部桁架的支承，则横梁 AD 为一简支梁，其弯矩图如图 5.29(a)所示，其最大弯矩为 148.3kNm。可见由于桁架的支承，横梁的最大弯矩减少了 46%。还需指出，这个超静定结构的内力分布与横梁和桁架的相对刚度有关。如果下部链杆的截面很小，则横梁的 M 图

35、接近于简支梁的 M 图(图 5.29(a)。如果下部链杆的截面很大，则横梁的 M 图接近两跨连续梁的 M 图( 图 5.29(b)。结构力学116图 5.28 图 5.29【例 5-9】用力法计算如图 5.30(a)所示组合结构的链杆轴力，作 M 图，其中 。210ILA并讨论当 EA0 和 EA 时链杆轴力及 M 图的变化。说明：(1) 组合结构是由梁式杆和链杆组成的，用力法计算时，通常切断链杆作为基本体系，以链杆轴力为基本未知量。(2) 计算系数和自由项时，注意系数中应包含切断链杆的轴向变形影响，因链杆已切断，自由项中的链杆轴向变形为零。解：这是一次超静定组合结构，取基本体系及相应的基本未

36、知量，如图 5.30(b)所示。力法方程为 110PX计算 ，如图 5.30(c)、(d)；计算 。1PNM、 、 、22 312113 25d ()3156NPPFLLxLLEIAEI EAPI 第 5 章 力法 117图 5.30结构力学118解方程 1356PLEIXA当 时， 。210ILA153XP(5) 作 M 图，如图 5.30(e)所示。(6) 校核。校核公式： (请同学自己完成。注意： 1 的计算公式中11d0NFxLEIA应含有链杆的轴向变形项)。(7) 讨论。由 可以看出。1356PLIXEA当 ，由 得到 M 图，如图 5.30(f)所示。这时链杆 AB12p时 1PM

37、X相当于一刚性杆，结构可以看成是 B 端为固定铰支座的刚架，如图 5.30(h)所示。5.4 对称性的利用对于超静定结构来说，对称结构是几何形状和刚度分布都对称的结构。而对于静定结构来说，不论刚度分布是否对称，只要几何形状对称就是对称结构。我们用力法分析超静定结构时，力法方程是多余未知力的线性代数方程组，需要计算方程的系数和解联立方程。其结构的超静定次数越高，方程数量越多，计算工作量就越大。而主要工作量的大小取决于典型方程，并且需要计算大量的系数和自由项并求解该线性方程组。我们利用对称性来计算超静定结构，其目的就是要简化计算过程。要简化计算必须从简化典型方程着手。在典型方程中若能使一些系数和自

38、由项等于零，则计算可得到一定程度的简化。通过对典型方程中系数的物理意义的分析我们知道，主系数是恒为正数，因此只能从副系数、自由项和基本未知量这三个方面考虑。力法简化的原则是：使尽可能多的副系数和自由项等于零。这样不仅简化了系数的计算工作，也简化了联立方程的求解工作。为达到这一目的，本节我们讨论利用结构的对称、荷载的对称和反对称，来简化计算。实际工程中很多结构是对称的，利用它的对称性可简化计算过程。1. 选取对称的基本结构对称结构如图 5.31(a)所示，它有一个对称轴。对称包含两方面的含义。(1) 结构的轴线形状对称，几何形状和支承情况对称。(2) 各杆的刚度(EI 和 EA 等)对称。第 5

39、 章 力法 119取对称的基本结构如图 5.31(b)所示，此时，多余未知力有 3 对，它们是一对弯矩 X1和一对轴力 X2 是正对称的，还有一对剪力 X3 是反对称的。所谓正对称是指绕对称轴折叠后其两个力的大小、方向和作用线均重合；所谓反对称是指绕对称轴折叠后两个力的大小、作用点相同，而方向相反，作用线重叠。图 5.31绘出基本结构在各多余未知力单位力作用下的弯矩图，如图 5.32 所示。可以看出， 图和 图是正对称的，而 图是反对称的。由于正对称和反对称的图形图乘时恰 1M2 3M好正图 5.32负抵消，使结果为零，所以可得典型方程中的副系数 。于是，132300，典型方程便简化为 112

40、22330PX由此可见，典型方程已分为两组，一组只含正对称的多余未知力 X1 和 X2，而另一组只含反对称的多余未知力 X3。2选择对称或反对称的荷载( 荷载分组)如果作用在对称结构上的荷载也是正对称的(图 5.33(a)，则 MP 图也是正对称的 (图 5.33b)，于是有 。由典型方程的第 3 式可知反对称的多余未知力 X3=0，因此只30P须计算正对称的多余未知力 X1 和 X2。最后的弯矩图为 ，它也将是12P正对称的，其形状如图 5.33(c)所示。由此可推知：对称结构在正对称荷载作用下，结构上所有的反力、内力及位移(图 5.33(a)中虚线所示)都是正对称的。同时必须注意，此时剪力

41、图是反对称的，这是由于剪力的正负号规定所致，而剪力的实际方向则是正对称的。结构力学120(a) (b) (c)图 5.33如果作用在结构上的荷载是反对称的，如图 5.34(a)所示，作出 MP 图如图 5.34(b)所示，则同理可证，此时正对称的多余未知力 X1=X2=0，只剩下反对称的多余未知力 X3。最后弯矩图为 ，它也是反对称的，如图 5.34(c)所示，且此时，结构上所有反力、3PMX内力和位移都是反对称的。但必须注意，剪力图是正对称的，剪力的实际方向则是反对称的。图 5.34通过前面的分析可得出如下结论：(1) 对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的。(2) 对称结构在

42、反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的。也就是说，对称结构在正对称荷载作用下，反对称多余未知力必等于零；在反对称荷载作用下，正对称的多余未知力必等于零，只需计算反对称多余未知力。【例 5-10】求作如图 5.35(a)所示刚架在水平力 P 作用下的弯矩图。解：荷载 P 可分解为正对称荷载(图 5.35(b)和反对称荷载(图 5.35(c)。图 5.35在正对称荷载作用下(图 5.35b)，可以得出只有横梁承受压力 P/2，而其他杆无内力的结论。这是因为在计算刚架时通常忽略轴力对变形的影响，也就是忽略横梁的压缩变形。在这个条件下，上述内力状态不仅满足了平衡条件，也同时满足了变形条件，所以它就

43、是真正的内力状态。因此，为了求如图 5.35(a)所示刚架的弯矩图，只须求作如图 5.35(c)所第 5 章 力法 121示中刚架在反对称荷载作用下的弯矩图即可。图 5.36在反对称荷载作用下，基本体系如图 5.36(a)所示。切口截面的弯矩、轴力都是对称的未知力，应为零；只有反对称未知力 X1 存在。基本结构在荷载和未知力方向的单位力作用下的弯矩图，如图 5.36(b)、(c)所示。由此得 211231124PhLEI代入力法方程，并设， 得：21IhkL162PkhXl刚架的弯矩图如图 5.37(a)所示。图 5.37结构力学122结合上例讨论如下：弯矩图随横梁与立柱刚度比值 k 而改变。

44、(1) 当横梁刚度比立柱刚度小很多时，即 k 很小时，弯矩图如图 5.37(b)所示，此时柱顶弯矩为零。(2) 当横梁刚度比立柱刚度大很多时，即 k 很大时，弯矩图如图 5.37(d)所示，此时柱的弯矩零点趋于柱的中点。(3) 一般情况下，柱的弯矩图有零点，此弯矩零点在柱上半部范围内变动，当 k=3 时零点位置与柱中点已很接近( 图 5.37(c)。【例 5-11】如图 5.38(a)所示为一对称结构，试讨论怎样选取对称的基本体系进行简化？在正对称荷载和反对称荷载分别作用下，讨论怎样选取半结构计算。解：(1) 选取对称的基本体系如图 5.38(a)所示结构，是三次超静定的对称结构。在对称轴上截

45、断中间铰 E 和链杆CD，在铰 E 上加上对称的水平未知力 X1 和反对称的竖向未知力 X2，在 CD 切口 F 处加一对称的水平未知力 X3，得到一对称基本体系和相应的基本未知量，如图 5.38(b)所示。图 5.38(a)原结构 (b)基本体系一 (c)基本体系二；(d) 对称荷载的半边结构； (e) 反反对称荷载的半边结构也可以将固定支座 A、B 改成铰支座，再截断链杆 CD，在铰支座 A、B 上作用有对称的未知力偶 X1 和反对称的未知力偶 X2，在链杆 CD 的切口上，加上一对称的未知水平力X3，得到另一个对称的基本体系和相应的基本未知量，如图 5.38(c)所示。(2) 选取半边结

46、构第 5 章 力法 123 在对称荷载作用下，根据对称结构的内力、变形对称的性质，分析对称轴上 E 点和 F 点的变形和内力特点，如图 5.38(a)所示。刚架在对称轴上铰结点 E 可以有竖向位移和转角，水平位移为零；相应的内力情形为 E 点的竖向力、弯矩为零，水平力 XE(X1)不等于零。链杆 CD 在对称轴上的 F 点，可以有竖向位移水平位移和转角为零；相应的内力情形为 F 点的竖向力为零，水平力 XF(X3)和弯矩 MF(X2)不等于零。注意，此时的弯矩 X2 是静定的量，如链杆 CD 上无横向荷载作用，则弯矩 X2 为零。因此，根据上述变形、内力特点，在对称轴上切开后，E 点保留铰结点

47、，加一水平支杆；在 F 点为两个平行水平支杆，得到对称荷载作用下的半边结构，如图 5.38(d)所示。 在反对称荷载作用下，根据对称结构的内力、变形反对称的性质，如图 5.38(a)所示刚架在对称轴上 E 点和 F 点可以有水平位移和转角，竖向位移为零；相应的内力情形为 E 点和 F 点的水平力、弯矩为零，竖向力 X1、X 2 不等于零。因此，在对称轴上切开后，E 点分别保留铰结点，加一竖直支杆，得到在反对称荷载作用下的半边结构，如 图5.38(e)所示。注意，此时的 X2 是静定的量，如链杆 CD 上无横向荷载作用时，在 F 点的竖向力 X2 为零。5.5 温度变化和支座移动时超静定结构的计算超静定结构由于多余联系的存在，在温度改变、支座移动时，通常将使结构产生内力，这是超静定结构的特性之一。用力法计算温度变化和支座移动的超静定结构时，根据前述的力法原理，也需