1、解三角形中的五种类型题类型一:求边问题:根据条件作图分析,注意正弦、余弦定理的选择例 1.在ABC 中,若 b=2,B=30,C=135,则 a=_类型二:求角问题:(1) 结合余弦定理的特征求角 (2)正弦定理的一种变式 sinAsinBsinC=abc例 2.(1)在ABC 中,已知三边 a、b、c 满足(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则 C=()(A) 15(B) 30(C) 45(D) 60(2)在ABC 中,若 sinAsinBsinC=7813,则C=_.类型三:三角形解的个数问题 :在使用正弦定理解三角形时 ,常会碰到多解的情况,判断取舍的依据是(1)三角形内角和定理 (2
2、)大边对大角例 3.在ABC 中, A=60, a=, b=4,那么满足条件的ABC()(A)有 一个解 (B) 有两个解(C) 无解(D) 不能确定类型四:判断三角形的形状问题 两种思路:(1) 运用正弦定理边化角,结合两角和差公式进行变形、化简(2)角化边,将角的余弦直接用公式转化为边再化简例 4.在ABC 中,若 aCOSA+bCOSB=cCOSC 则ABC 的形状是什么 ?类型五:正弦、余弦定理应用问题:实际问题中要注意仰角、俯角,以及方位角,重在作图例 5.为了测量上海东方明珠的高度,某人站在 A 处测得塔尖的仰角为 75.5,前进 38.5m 后,到达 B 处测得塔尖的仰角为 80
3、.试计算东方明珠塔的高度(精确到 1m).练习:一、正弦定理的应用:正弦定理在解三角形中,对解的个数判断是难点,最有效的方法:大边对大角。正弦定理能实现边角的 转换,因此设置了第二题,可以利用正弦定理求三角形的面 积。1、满足 a=4,b=3 和 A=45,解三角形。2、在锐角ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,且 B=2A,求 b/a 的取值范围。3 、ABC 中,若 A=120,AB=5,BC=7,求ABC 的面积。二、余弦定理的应用:要求学生熟练地掌握余弦定理及其推论,会选择恰当的公式解决问题。1、在ABC 中 ,(a+bc)(a+b+c)=ab,角 C。2、在ABC
4、中 ,a=2,求 b.cosC+c.cosB三、正余弦定理的综合使用:使学生在解答问题的过程中,能根据题设的结构和设问的要求合理地选择正余弦定理。1、在ABC 中 ,C=2A,a+c=10,cosA=3/4,求 A。2、在ABC 中 ,已知 a2+b2=2010c2,求证:2sinAsinBcosC/sin2(A+B)为定值。四、利用正余弦定理判段三角形的形状: 根据题设的边角关系,判断三角形的形状。思路一般是边角转换,让学生学会从题设选择恰当的定理解决。1、在ABC 中 ,如果有性质 acosA=bcosB,试判断三角形的形状。2、ABC 中,若 (a-c.cosB).sinB=(b-c.c
5、osA).sinA,判断 ABC 的形状。五、解三角形在生活中的应用 :正、余弦定理在现实生活中有非常广泛的应用,常见题型有测量距离、高度、角度等,解决这类问题要有规范的解题步骤: 1、正确理解题意,分清已知和所求;2、据题意画出示意图; 3、分析与 问题有关的三角形; 4、正余弦定理,有序地解相关的三角形; 5、合运用立体几何与平面几何的知识。1、某观测点 C 在目标 A 的南偏西 25方向,从 A 出发有一条南偏东 35走向的公路,在 C 处测得与 C 相距 31km 的公路上有一人正沿着此公路向 A 走去,走 20km 到达 D,此时测得 CD距离为 21km.求此人在 D 处距 A 还有多远?2、人在塔的正东沿着南偏西 60的方向前进 40 米后,望见塔在东北方向,若测得塔的最大仰角为 30,求塔高。
